ワグスタッフプライム

数論では、ワグスタッフ素数とは、次の形式の 素数である。

${\displaystyle {{2^{p}+1} \over 3}}$

ここで、p は奇数の素数です。ワグスタッフ素数は数学者サミュエル・S・ワグスタッフ・ジュニアにちなんで命名されています。素数のページには、フランソワ・モランが 1990 年の Eurocrypt カンファレンスでの講演で命名したことが記されています。ワグスタッフ素数は新メルセンヌ予想に登場し、暗号化に応用されています。

最初の3つのワグスタッフ素数は3、11、43です。

${\displaystyle {\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}}$

最初のいくつかの Wagstaff 素数は次のとおりです。

3、11、43、683、2731、43691、174763、2796203、715827883、2932031007403、768614336404564651、...（OEISの配列A000979）

ワグスタッフ素数または推定素数を生成する指数は次のとおりです。

3、5、7、11、13、17、19、23、31、43、61、79、101、127、167、191、199、313、347、701、1709、2617、3539、5807、...（OEISのシーケンスA000978）

^{[2] を}より一般的 に考えると、

${\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}}$

ここで、底は奇数 なので、${\displaystyle b\geq 2}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}(-b)}$

これらの数は「ワグスタッフ数基数」と呼ばれ、負の基数を持つレプユニット数の一例と考えられることもある^[3]。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle -b}$

の特定の値については、すべて（非常に小さい の例外は考えられます）は「代数的」因数分解により合成数になります。具体的には、 が奇数指数の完全累乗の形をとる場合（8、27、32、64、125、128、216、243、343、512、729、1000 など（OEISのシーケンスA070265））、が奇数で で割り切れるという事実は、これらの特殊なケースでは が で割り切れることを示しています。もう 1 つのケースは、 で、k が正の整数の場合（4、64、324、1024、2500、5184 など（OEISのシーケンスA141046 ））で、この場合はオーリフィーユ因数分解 となります。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle Q(b,n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x^{m}+1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle Q(a^{m},n)}$${\displaystyle a^{n}+1}$${\displaystyle b=4k^{4}}$

しかし、 が代数的因数分解できない場合、無限個の値が素数になると考えられ、それらはすべて奇数の素数であることに注意してください。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Q(b,n)}$${\displaystyle n}$

の場合、素数自体は次のようになります: 9091、909091、90909090909090909091、909090909090909090909090909090909091、… ( OEISのシーケンスA097209 ) 、これらのnは、5、7、19、31、53、67、293、641、2137、3011、268207、… ( OEISのシーケンスA001562 ) です。 ${\displaystyle b=10}$

一般化ワグスタッフ素数 の基数の一覧については、Repunit#Repunit 素数を参照してください。(一般化ワグスタッフ素数 の基数は、奇数 の一般化レプユニット素数 の基数です) ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle -b}$${\displaystyle n}$

が素数となる最小の素数p は( n = 2 から始まり、そのようなp が存在しない場合は 0 となる) ${\displaystyle Q(n,p)}$

3、3、3、5、3、3、0、3、5、5、5、3、7、3、3、7、3、17、5、3、3、11、7、3、11、 0、3、7、139、109、0、5、3、11、31、5、 5、3、53、17、3、5、7、103、7、5、5、7、1153、3、7、21943、7、3、37、53、3、17、3、7、11、 3、0、19、7、3、757、11、3、 5、3、... （OEISの配列A084742）

が素数となる最小の基数bは（ n = 2 から始まる）${\displaystyle Q(b,prime(n))}$

2、2、2、2、2、2、2、2、7、2、16、61、2、6、10、6、2、5、46、18、2、49、16、70、2、5、6、12、92、2、48、89、30、16、147、19、19、2、16、11、289、2、12、52、2、66、9、22、5、489、69、137、16、36、96、76、117、26、3、... (OEISのシーケンスA103795 )

• ジョン・レンゼとエリック・W・ワイスタイン。 「ワグスタッフプライム」。マスワールド。
• クリス・コールドウェル、The Top Twenty: Wagstaff at The Prime Pages。
• Renaud Lifchitz、「(2p + 1)/3 形式の数の効率的な確率素数テスト」。
• Tony Reix、「素数を法とする x2 − 2 の有向グラフのサイクルに基づく、メルセンヌ数、ワグスタッフ数、フェルマー数の素数性判定に関する 3 つの予想」
• -50 から 50 までのレプユニットのリスト
• 2 から 160 までのワグスタッフ素数の一覧