推測

数論において、n予想は、 abc予想を3 つ以上の整数に一般化したものとして Browkin と Brzeziński (1994) によって述べられた予想です。

が与えられた場合、次の3 つの条件を満たすものとします。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }$

（私）${\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$

（ii）${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}$

（iii）等しいものの適切な部分和がない${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$${\displaystyle 0}$

最初の定式化

n予想は、任意の に対して、および に依存する定数が存在し、次のようになることを述べています。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot \ldots \cdot |a_{n}|)^{2n-5+\varepsilon }}$

ここで、 は整数 の根号を表し、の異なる素因数の積として定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {rad} (m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

2番目の処方

品質を次のように 定義する${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

n予想は、次のことを述べています。 ${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=2n-5}$

Vojta (1998) は、の集合的相互素性が のペア的相互素性に置き換えられた、n予想のより強力な変種を提案しました。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

この強い n予想には 2 つの異なる定式化があります。

が与えられた場合、次の3 つの条件を満たすものとします。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {Z} }$

(i)は互いに素である${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

（ii）${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=0}$

（iii）等しいものの適切な部分和がない${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$${\displaystyle 0}$

最初の定式化

強い n予想は、任意の に対して、および に依存する定数が存在し、次のようになることを述べています。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|)<C_{n,\varepsilon }\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot \ldots \cdot |a_{n}|)^{1+\varepsilon }}$

2番目の処方

品質を次のように 定義する${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

${\displaystyle q(a_{1},a_{2},...,a_{n})={\frac {\log(\operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,...,|a_{n}|))}{\log(\operatorname {rad} (|a_{1}|\cdot |a_{2}|\cdot ...\cdot |a_{n}|))}}}$

強いn予想は、次のことを述べています。 ${\displaystyle \limsup q(a_{1},a_{2},...,a_{n})=1}$

• Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). 「 abc予想に関するいくつかのコメント」. Math. Comp . 62 (206): 931–939. Bibcode :1994MaCom..62..931B. doi :10.2307/2153551. JSTOR  2153551.
• Vojta, Paul (1998). 「より一般的な abc 予想」. International Mathematics Research Notices . 1998 (21): 1103–1116. arXiv : math/9806171 . doi : 10.1155/S1073792898000658 . MR  1663215.