リャプノフ次元

力学系の数学において、リアプノフ次元の概念は、アトラクターのハウスドルフ次元を推定するために、カプランとヨークによって提案されました^[1]。さらに、この概念は多くの論文で発展し、厳密に正当化されており、今日ではリアプノフ次元の定義に対してさまざまな異なるアプローチが使用されています。非整数のハウスドルフ次元を持つアトラクターは、ストレンジアトラクターと呼ばれることに注意してください。^[2]アトラクターのハウスドルフ次元を直接数値計算することは、多くの場合、非常に複雑な問題であるため、リアプノフ次元による推定が広く普及しました。リアプノフ次元は、リアプノフ指数と密接な関係があることから、ロシアの数学者アレクサンドル・リアプノフにちなんで名付けられました^[3]。

動的システム を考えます。ここで、 は、連続的に微分可能なベクトル関数 を持つ常微分方程式、、または差分方程式の解 に沿ったシフト演算子です 。この場合、は線形化システム および の解の基本行列で表され、 は代数的重複度に関する特異値で 、任意のおよびについて減少順に並べられています。 ${\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}}$${\displaystyle \varphi^{t}}$${\displaystyle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}$ ${\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}$${\displaystyle t=0,1,...}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}$${\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t}$

有限時間リャプノフ次元の概念とリャプノフ次元の関連定義は、 N.クズネツォフ^{[4] [5]}の研究で開発されたもので、有限時間しか観測できない数値実験には便利です。有限時間リャプノフ指数に対する カプラン・ヨークの公式の類似を考えてみましょう。

${\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},}$

${\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},}$

点における有限時間リアプノフ指数 の順序集合に関して定義される。不変集合に関する力学系の有限時間リアプノフ次元は 次のように定義される。 ${\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).}$

このアプローチでは、カプラン・ヨークの公式の類似物の使用は、ドゥアディ・オステルレ定理^[6]によって厳密に正当化され、これは、任意の固定された閉有界不変集合の 有限時間リャプノフ次元が ハウスドルフ次元の上限推定値であることを証明している。 ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).}$

このような推定を最も良くするために 、リャプノフ次元は次のように定義される。^{[4] [5]}${\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).}$

時間制限と上限オーバーセットの順序を変更する可能性については、例えば^{[7] [8]で議論されている。}

上で定義したリャプノフ次元はリプシッツ微分同相写像に対して不変であることに注意する。^{[4] [9]}

平衡点の1つにおける ヤコビ行列が単純な実固有値を持つとすると、 ${\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}$${\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})}$

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).}$

すべての平衡を含むグローバルアトラクター上の局所リャプノフ次元の最大値が平衡点で達成される場合、グローバルアトラクターの正確なリャプノフ次元の解析式を得ることができます（対応するエデンの予想を参照）。

統計物理学のアプローチに従い、エルゴード性を仮定すると、 アトラクターのリャプノフ次元は、アトラクターに属する典型的な軌道 の局所リャプノフ次元の極限値によって推定される^[1] 。この場合、 およびである。実用的な観点から、エルゴードなオセレデック定理の厳密な使用、検討中の軌道が典型的な軌道であることの検証、および対応するカプラン・ヨークの公式の使用は困難な作業である（例えば、^[10]の議論を参照）。有限時間リャプノフ指数の正確な極限値が存在し、すべての に対して同じである場合、それは絶対値と呼ばれ^[3]、カプラン・ヨークの公式で使用されている。リャプノフ指数と次元の計算にエルゴード理論を厳密に使用した例は、^{[11] [12] [13]にある。}${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}$${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}$${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{ i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|} }}$${\displaystyle u(t,u_{0})}$${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}$