滑らかな射影

させて${\displaystyle f}$スキームの射とする

$\displaystyle \operatorname {Spec} _{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

ヤコビアン条件により滑らかである：ヤコビアン行列

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

ポイントで消える${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$これは多項式との交点が空であるため、

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

これらは両方ともゼロではない。

滑らかなスキームが与えられた場合${\displaystyle Y}$射影射影

${\displaystyle Y\times X\to X}$

滑らかです。

すべてのベクターバンドル${\displaystyle E\to X}$スキーム上の は滑らかな射である。例えば、 の関連ベクトル束は、${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$以上$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$重み付き射影空間から一点を引いたものです

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

送信中

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

直和束に注目してください${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$繊維製品を使用して構築することができる

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

体拡張について思い出してください${\displaystyle K\to L}$は、プレゼンテーションが与えられた場合に限り分離可能と呼ばれる。

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

私たちはそれを持っています${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$この定義をケーラー微分を用いて次のように再解釈できます。場の拡張が分離可能であるのは、

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0.}$

これには、有限体や標数0の体など、すべての完全体が含まれることに注意してください。

考慮すると${\displaystyle \operatorname {Spec} }$基礎となる代数の${\displaystyle R}$射影多様体の場合${\displaystyle X}$アフィン錐と呼ばれる${\displaystyle X}$すると、原点は常に特異点となる。例えば、5次関数のアフィン錐を考えてみよう。${\displaystyle 3}$-fold は

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

すると、ヤコビ行列は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

原点で消滅するため、この円錐は特異点を持つ。このようなアフィン超曲面は、比較的単純な代数構造でありながら、その根底にある豊かな構造ゆえに、特異点理論において広く用いられている。

特異多様体の別の例として、滑らかな射影多様体の射影錐が挙げられます。${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$その射影錐は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$交差する${\displaystyle X}$例えば、点の射影錐

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

この計画は

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

見てみると${\displaystyle z\neq 0}$図表、これが計画です

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

そしてそれをアフィン線に投影する${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$これは、原点で縮退する4つの点の族である。このスキームの非特異性は、ヤコビアン条件を用いて確認することもできる。

フラットファミリーを考えてみましょう

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

すると、原点を除いてすべての繊維が滑らかになります。滑らかさは基底の変化に対して安定しているため、この族は滑らかではありません。

例えば、フィールド${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$は分離不可能であるため、スキームの関連射は滑らかではありません。体拡大の最小多項式を見ると、

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

それから${\displaystyle df=0}$したがって、ケーラー微分はゼロにならない。