アフィン多様体

代数幾何学において、アフィン代数集合は、多項式環内の何らかの多項式族の代数的に閉体k上の共通零点の集合である。アフィン多様体またはアフィン代数多様体は、定義多項式によって生成されるイデアルが素数であるようなアフィン代数集合である。 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots,X_{n}].}$

いくつかのテキストでは、任意の代数集合に対して多様体という用語を使用し、定義イデアルが素数（上記の意味でのアフィン多様体）である代数集合 に対して既約多様体という用語を使用します。

いくつかの文脈では（例えば、ヒルベルトの零点定理を参照）、係数が考慮される体k を、共通の零点が考慮される代数的に閉じた体K（kを含む）と区別することが有用である（つまり、アフィン代数集合の点はK ⁿにある）。この場合、多様体はk上で定義されていると言われ、 k ⁿに属する多様体の点はk有理またはk上で有理的であると言われる。 kが実数体である一般的なケースでは、k有理点は実点と呼ばれる。^[1]体kが指定されていない場合、有理点とは有理数上で有理な点である。例えば、フェルマーの最終定理は、 x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0で定義されるアフィン代数多様体（曲線）には、 2より大きい任意の整数nに対して有理点が存在しないことを主張している。

アフィン代数集合は、kに係数を持つ多項式方程式系の代数的に閉じた体kにおける解の集合である。より正確には、kに係数を持つ多項式の場合、それらはアフィン代数集合を定義する。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

アフィン（代数）多様体は、2 つの適切なアフィン代数部分集合の和集合ではないアフィン代数集合です。このようなアフィン代数集合は、既約であると言われることがよくあります。

X がアフィン代数集合で、I がX上で零となるすべての多項式のイデアルである場合、商環 は${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots,x_{n}]/I}$Xの座標環。X がアフィン多様体であれば、Iは素数なので、座標環は整域です。座標環R正則関数または多項式関数とも呼ばれます。これらは、多様体上の正則関数の環、または単に多様体の環を形成しますXの構造層の大域切断の空間です。

多様体の次元は、あらゆる多様体、さらにはあらゆる代数集合に関連付けられた整数であり、その重要性は同値の定義の数の多さに依存します ( 「代数多様体の次元」を参照)。

• アフィン多様体Xの超曲面の補集合(つまり、ある多項式fに対してX \ { f = 0 } ) はアフィンです。その定義方程式は、 Xの定義イデアルをfで飽和させることで得られます。したがって、座標環は局所化です。 ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• 特に、 （原点を除いたアフィン直線）はアフィンです。${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• 一方、（原点を除いたアフィン平面）はアフィン多様体ではありません。ハートッグスの拡大定理を参照してください。${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• アフィン空間における余次元 1 の部分多様体は、まさに超曲面、つまり単一の多項式によって定義される多様体です。${\displaystyle k^{n}}$
• 既約アフィン多様体の正規化はアフィンであり、正規化の座標環は多様体の座標環の整閉包である。(同様に、射影多様体の正規化は射影多様体である。)

代数的に閉体K上のアフィン多様体とKの部分体kに対して、Vのk有理点とは点、つまり、座標がkの元であるVの点のことです。アフィン多様体Vのk有理点の集合は、しばしば と表記されます。多くの場合、基底体が複素数Cである場合、 R有理数 ( Rは実数)の点は多様体の実点と呼ばれ、Q有理数点 ( Qは有理数) は単に有理点と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$${\displaystyle V(k).}$

例えば、(1, 0)は、Vにある多様体のQ有理点かつR有理点であり、その座標はすべて整数です。点( √ 2 /2, √ 2 /2)は、 Q有理数ではないVの実点であり、 R有理数ではないVの点です。この多様体は、そのR有理数点の集合が単位円であるため、円と呼ばれます。この多様体には、次の点である Q有理数が無限に存在します。${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

ここでtは有理数です。

円は、 Q有理点を持たない 2 次代数曲線の例です。これは、 4 を法として2 つの平方数の和が3にならないという事実から推測できます。 ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Q有理点を持つ 2 次代数曲線には、他のQ有理点が無限に存在することが証明できます。このような各点は、曲線と、有理点を通過する有理傾斜を持つ直線との 2 番目の交点です。

複素多様体にはR有理点はありませんが、複素点は多数あります。 ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

V が複素数C上で定義されたC ²のアフィン多様体である場合、VのR有理点を紙やグラフ作成ソフトウェアで描くことができます。右の図は、${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C}^{2}.}$

V を多項式によって定義されるアフィン多様体とし、をVの点とします。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Vのaにおけるヤコビ行列 J V ₍ a )は偏微分行列である。

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

点a は、 J _V ( a )の階数がVの余次元に等しい場合、正則点であり、そうでない場合は特異点である。

aが正則な場合、aにおけるVの接空間は、線型方程式^[2]によって定義されるアフィン部分空間である。${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

点が特異な場合、これらの方程式によって定義されるアフィン部分空間は、一部の著者によって接空間とも呼ばれますが、他の著者は、特異点には接空間が存在しないと主張しています。^[3] 座標を使用しないより本質的な定義は、ザリスキ接空間によって与えられます。

k ⁿのアフィン代数集合は、 k ⁿ上の位相の閉集合を形成し、ザリスキ位相と呼ばれます。これは、およびという事実から導かれます(実際、アフィン代数集合の可算な共通部分はアフィン代数集合です)。 ${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$

ザリスキ位相は、基本開集合によって記述することもできます。ここで、ザリスキ開集合は、の形式の集合の可算な和集合です。これらの基本開集合は、単一の多項式の閉集合零点のk ⁿにおける補集合です。kがネーターである場合(たとえば、kが体または主イデアル領域である場合)、kのすべてのイデアルは有限生成であるため、すべての開集合は基本開集合の有限和集合です。 ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

V がk ⁿのアフィン部分多様体である場合、V上のザリスキ位相は、単にk ⁿ上のザリスキ位相から継承された部分空間位相です。

アフィン多様体の幾何学的構造は、その座標環の代数的構造と深く結びついている。IとJ を、アフィン多様体Vの座標環k[V]のイデアルとする。I(V)をVで消える の多項式全体の集合とし、 をイデアルIの根号、つまりfのあるべきがIに含まれる多項式fの集合とする。基底体が代数的に閉じている必要がある理由は、アフィン多様体は自動的にヒルベルトの零点定理を満たすためである。 kが代数的に閉じた体である のイデアルJに対して、${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

k[V]の根基イデアル (それ自身根基であるイデアル) は、Vの代数的部分集合に対応する。実際、根基イデアルIおよびJに対して、である場合に限り、したがってV(I)=V(J)である場合に限り、I=Jである。さらに、アフィン代数集合Wを取り、Wのすべての点で消えるすべての関数の集合であるI(W)を返す関数は、零点定理によって、根基イデアルに代数集合を割り当てる関数の逆である。したがって、アフィン代数集合と根基イデアルの対応は一対一である。アフィン代数集合の座標環は簡約(冪零でない) であり、環RのイデアルI が根基であるための必要十分条件は、商環R/Iが簡約される場合に限ります。 ${\displaystyle I\subseteq J}$${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$

座標環の素イデアルはアフィン部分多様体に対応する。アフィン代数集合V(I)は、真イデアルJとK がIと等しくない場合(この場合は)、 I=JKであるときのみ、他の 2 つの代数集合の和集合として表すことができる。これは、 I が素数でない場合に限る。アフィン部分多様体とは、まさに座標環が整域であるものである。これは、イデアルが素数となるのは、環をイデアルで割った商が整域である場合のみである。 ${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

k[V]の極大イデアルは、 Vの点に対応します。IとJが根基イデアルである場合、である場合に限ります。極大イデアルは根基であるため、極大イデアルは極小代数集合（適切な代数的部分集合を含まないもの）に対応し、これはVの点です。Vが座標環を持つアフィン多様体である場合、この対応は、写像によって明示されます。ここで、は多項式 の商代数Rの像を表します。 代数的部分集合が点である場合、そしてその場合に限り、部分集合の座標環は体であり、これは環と極大イデアルの商が体であるためです。 ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$${\displaystyle I\subseteq J.}$${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

次の表は、アフィン多様体の代数的部分集合と対応する座標環のイデアルについて、この対応をまとめたものである。

アフィン多様体の積は、同型A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m}を使って定義でき、この新しいアフィン空間に積を埋め込むことができます。A ⁿとA ^{m が}それぞれ座標環k [ x ₁ ,...,  x _n ]とk [ y ₁ ,...,  y _m ]を持つとします。そのため、それらの積A ^{n + m は}座標環k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ]を持ちます。V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N )をA ⁿの代数的部分集合とし、 W = V ( g 1 ,..., g M ) を A m の代数的部分集合とします。すると、 各 f i は_k [  x ₁ , ... ^, x n ]の_多項式となり、_各g  j_はk [ y 1 _, ... , y _m ] に_含まれます。VとWの積は、 A ^{n + m}における代数集合V  ×  W  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ,  g ₁ ,...,  g _M )として定義される。各V、Wが既約であれば、積は既約である。^[4]

A ⁿ  ×  A ^m 上のザリスキ位相は、2 つの空間上のザリスキ位相の位相積ではありません。実際、積位相は、基本開集合U _f  =  A ⁿ  −  V (  f  )とT _g  =  A ^m  −  V (  g  ) の積によって生成されます。したがって、k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ]に含まれるが、 k [ x ₁ ,...,  x _n ]の多項式とk [ y ₁ ,...,  y _m ]の多項式の積として得られない多項式は 、A ⁿ  ×  A ^m上のザリスキ位相に含まれるが積位相には含まれない代数集合を定義します。

アフィン多様体の射、または正則写像は、各座標において多項式となるアフィン多様体間の関数です。より正確には、アフィン多様体V ⊆ k ⁿおよびW ⊆ k ^mに対して、VからWへの射は、 φ  : V → W の写像で、形式はφ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n ))です。ここで、各i = 1, ..., mに対して、 f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ]です。これらは、アフィン多様体の カテゴリにおける射です。

代数的に閉じた体k上のアフィン多様体の射と、逆方向のk上のアフィン多様体の座標環の準同型との間には、一対一の対応関係がある。このため、 k上のアフィン多様体とその座標環との間に一対一の対応関係があるという事実と合わせて、 k上のアフィン多様体のカテゴリは、k上のアフィン多様体の座標環のカテゴリと双対である。k上のアフィン多様体の座標環のカテゴリは、まさにk上の有限生成冪零でない代数のカテゴリである。

より正確には、アフィン多様体の各射φ  : V → Wに対して、座標環の間に（反対方向に向かう）準同型φ ^#  : k [ W ] → k [ V ]が存在し、そのような準同型に対して、座標環に関連付けられた多様体の射が存在します。これは明示的に示すことができます。V ⊆ k ⁿとW ⊆ k ^{m を}、それぞれ座標環k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / Iとk [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J を持つアフィン多様体とします。φ :  V → Wを射とします。実際、多項式環θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I間の準同型は、環k [ X ₁ , ..., X _n ]を介して一意に因数分解し、準同型ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ]は、 Y ₁ , ..., Y _mの像によって一意に決定されます。したがって、各準同型φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] は、各Y _iの像の選択に一意に対応します。次に、 VからWへの任意の射φ = ( f ₁ , ..., f _m )が与えられた場合、準同型φ ^#  : k [ W ] → kを構築できます。 [ V ]はY _iを に送信します。ここで はk [ V ]におけるf _iの同値類です。 ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

同様に、座標環の各準同型に対して、アフィン多様体の射を逆方向に構成できます。上の段落を反映して、準同型φ ^#  : k [ W ] → k [ V ]はY _iをk [ V ]の多項式に送信します。これは、 φ ( a 1 _, ... , a n ₎ = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n ))で定義される多様体φ : V → Wの射に対応します。 ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$

以下に説明する構造層を備えたアフィン多様体は、局所環空間です。

座標環Aを持つアフィン多様体X が与えられたとき、 k代数の層は、 をU上の正則関数の環とすることによって定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Aの各fに対してD ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 }とします。これらはXの位相の基底を形成し、開集合D ( f ) 上の値によって決定されます。(参照:加群の層#加群に関連付けられた層。) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

ヒルベルトの零点原理に本質的に 依存する重要な事実は次のとおりです。

証明: ^[5]包含 ⊃ は明らかです。その反対に、g を左側に、をイデアルとします。x がD ( f )にある場合、g はx の近くで正則なので、となるxの開いたアフィン近傍D ( h )が存在します。つまり、h ^m g はAにあり、したがってx はV ( J )にありません。言い換えると、であり、したがってヒルベルトの零点定理はf がJの根号にあることを意味します。つまり、 です。${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$${\displaystyle f^{n}g\in A}$${\displaystyle \square }$

まず第一に、この主張は、Xが「局所的に環を持つ」空間であることを意味する。

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

ここでです。第二に、この主張はが層であることを意味します。実際、関数がD ( f ) 上で (点ごとに) 正則である場合、その関数はD ( f )の座標環になければならないと述べられています。つまり、「正則性」はつなぎ合わせることができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

したがって、は局所的に環状の空間です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

セールの定理は、アフィン多様体のコホモロジー的特徴付けを与える。つまり、代数多様体がアフィンであるための必要十分条件は、X上の任意の準連接層Fに対してである。(カルタンの定理 B を参照)。これにより、アフィン多様体のコホモロジー的研究は存在しないことになり、直線束のコホモロジー群が中心的な関心事である射影的な場合とは著しい対照をなす。 ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$${\displaystyle i>0}$

代数的に閉じた体k上のアフィン多様体G は、次の条件を満たすとき アフィン代数群と呼ばれます。

• 乗算μ :  G  ×  G  →  Gは結合公理に従う正則射であり、つまり、 G 内のすべての点 f 、 g 、 hに対してμ ( μ ( f 、 g  )、  h ) =  μ ( f、  μ ( g、  h ))となる。
• Gの任意のgに対してμ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  gとなるような単位元 e。
• 逆射、つまりGのすべてのgに対してμ ( ι ( g ),  g ) =  μ ( g , ι  ( g ) ) =  eとなる正則全単射ι :  G  →  G。

これらを合わせると、多様体上の群構造が定義されます。上記の射は、通常の群記法を使用して記述されることがよくあります。μ ( f ,  g ) は、f  +  g 、 f ⋅ g、またはfgと記述できます。逆ι ( g )は、 − gまたはg ⁻¹と記述できます。乗法記法を使用すると、結合法則、恒等法則、逆法則は次のように書き直すことができます。f ( gh ) = ( fg ) h、ge  =  eg  =  g、gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e。

アフィン代数群の最も顕著な例は、 n次一般線型群GL _n ( k )です。これはベクトル空間k ⁿの線型変換の群です。k ⁿの基底が固定されている場合、これはkの要素を持つn × n可逆行列の群に相当します。任意のアフィン代数群はGL _n ( k )の部分群と同型であることが示されます。このため、アフィン代数群は線型代数群と呼ばれることがよくあります。

アフィン代数群は有限単純群の分類において重要な役割を果たします。これは、リー型の群がすべてアフィン代数群のF _q有理点の集合であり、 F _{q が}有限体であるためです。

• 著者がアフィン多様体の基底体が代数的に閉じていることを要求する場合（この記事のように）、代数的に閉じていない体上の既約アフィン代数集合はアフィン多様体の一般化です。この一般化には、実数上のアフィン多様体が含まれます。

• アフィン多様体は代数多様体の局所チャートとしての役割を果たします。つまり、射影多様体などの一般的な代数多様体は、アフィン多様体を貼り合わせることで得られます。多様体に付随する線型構造も（自明に）アフィン多様体です。たとえば、接空間、代数ベクトル束のファイバーなどです。

• アフィン多様体は、アフィンスキームの特殊なケースであり、可換環のスペクトルに同型な局所環空間です(カテゴリの同値性まで)。各アフィン多様体には、それに関連付けられたアフィンスキームがあります。V (I)がk ⁿ内のアフィン多様体で座標環R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / Iである場合、V(I)に対応するスキームはSpec( R )、つまりRの素イデアルの集合です。アフィンスキームには、多様体の点 (したがって多様体の座標環の最大イデアル) に対応する「古典点」と、多様体の各閉じたサブ多様体の点 (これらの点は座標環の素で最大でないイデアルに対応します) があります。これにより、各閉じたサブ多様体にサブ多様体で稠密な開点を割り当てることで、アフィン多様体の「一般点」のより明確な概念が作成されます。より一般的には、アフィン スキームは、代数的に閉じた体k上で、既約、有限型である場合にアフィン多様体と呼ばれます。

• 代数多様体
• アフィンスキーム
• 座標環上の表現

元の記事は、対応するフランス語の記事を人間が部分的に翻訳して作成されました。

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