線形関係

線型代数では、ベクトル空間またはモジュールの要素間の線型関係、または単に関係は、これらの要素を解として持つ 線型方程式です。

より正確には、環R上の（左）加群Mの元（体上のベクトル空間の場合は特別な場合）の場合、 Rの元の列の関係は、 ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

間の関係は加群を形成します。一般に、が有限生成加群Mの生成集合である場合に関心が持たれます。この場合、関係の加群はMのシジジー加群と呼ばれることがよくあります。シジジー加群は生成集合の選択に依存しますが、自由加群との直和を除いて一意です。つまり、と が同じ加群の 2 つの生成集合に対応するシジジー加群である場合、それらは安定同型であり、つまり とが同型 となる2 つの自由加群とが存在することを意味します。 ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

高次のシジジー加群は再帰的に定義されます。加群Mの最初のシジジー加群は、単にそのシジジー加群です。k > 1の場合、Mのk番目のシジジー加群は、 ( k – 1)番目のシジジー加群のシジジー加群です。ヒルベルトのシジジー定理は、が体上のn不定量の多項式環である場合、すべてのn番目のシジジー加群は自由であると述べています。n = 0の場合は、すべての有限次元ベクトル空間が基底を持つという事実であり、n = 1の場合は、 K [ x ]が主イデアル領域であり、有限生成自由K [ x ]加群のすべてのサブ加群も自由であるという事実です。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots,x_{n}]}$

高次のシジジー加群の構成は自由分解の定義として一般化され、これによりヒルベルトのシジジー定理を、体上のn個の不定元内の多項式環が大域ホモロジー次元 n を持つと言い換えることができる。

aとb が可換環 Rの 2 つの元である場合、( b , – a ) は自明であると言われる関係です。イデアルの自明な関係の加群は、イデアルの生成集合の元の間の自明な関係によって生成されるイデアルの最初のシジジー加群のサブ加群です。自明な関係の概念は、より高次のシジジー加群に一般化することができ、これはイデアルのKoszul 複合体の概念につながり、イデアルの生成元間の非自明な関係に関する情報を提供します。

Rを環とし、Mを左R加群とする。線型関係、または単にMのk個の元間の関係とは、 Rの元の列であって、 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

がMの生成集合である場合、その関係はしばしばMのシジジーと呼ばれます。シジジー モジュールは選択された生成集合に依存しますが、そのプロパティのほとんどは独立しているため、に関係なくのシジジーと呼ぶのは理にかなっています。以下の § 安定したプロパティを参照してください。 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$

環Rがノイザン、または少なくともコヒーレント であり、M が有限生成 である場合、シジジー加群も有限生成です。このシジジー加群のシジジー加群は、Mの2 番目のシジジー加群です。この方法を続けると、すべての正の整数kに対してk番目のシジジー加群を定義できます。

ヒルベルトのシジジー定理は、M が体上の多項式環 上の有限生成加群である場合、任意のn番目のシジジー加群は自由加群であると主張します。 ${\displaystyle K[x_{1},\dots,x_{n}]}$

一般的に言えば、 K 理論の言語では、十分に大きな自由モジュールとの直和をとることによって真になるプロパティは安定しています。シジジー モジュールの基本的なプロパティは、関与するモジュールの生成セットの選択が「安定的に独立」であることです。次の結果は、これらの安定したプロパティの基礎です。

証明。 は生成集合なので、それぞれは次のように書くことができます。 これは、間の 関係を提供します。ここで、が任意の関係である場合、 は 間の 関係のみです。言い換えると、 間のすべての関係は、間の関係と の線形結合の合計です。この分解が一意であることは簡単に証明でき、これは結果を証明します。${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \blacksquare }$

これは、最初のシジジー モジュールが「安定的に一意」であることを証明します。より正確には、モジュールMの 2 つの生成セットとが与えられ、およびが関係の対応するモジュールである場合、およびが同型である 2 つの自由モジュールとが存在します。これを証明するには、2 つの生成セットの和集合間の関係のモジュールの 2 つの分解を得るための前述の命題を 2 回適用するだけで十分です。 ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

高次のシジジー加群について同様の結果を得るには、Mが任意の加群でL が自由加群である場合、MとM ⊕ L が同型シジジー加群を持つことを証明する必要があります。 Mの生成集合とLの基底からなるM ⊕ Lの生成集合を考えれば十分です。この生成集合の要素間のすべての関係について、Lの基底要素の係数はすべてゼロであり、 M ⊕ Lのシジジーは、係数がゼロのMのシジジーとまったく同じです。これで、次の定理の証明が完了します。

R加群の生成集合が与えられた場合、新しい不定値を持つ基底 L の自由加群を考えることができる。これは正確なシーケンスを定義する。${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

ここで、左矢印は、それぞれを対応するものにマッピングする線形マップです。この左矢印の核は、 Mの最初の朔望加群です。 ${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle g_{i}.}$

この核をMの代わりに用いてこの構成を繰り返すことができる。この構成を何度も繰り返すと、長い正確なシーケンスが得られる。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

ここで、すべては自由加群です。定義により、このような長い正確な列はMの自由解析です。 ${\displaystyle L_{i}}$

あらゆるk ≥ 1に対して、から始まる矢印の核はMのk番目のシジジー モジュールです。したがって、自由分解の研究はシジジー モジュールの研究と同じになります。 ${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle L_{k-1}}$

が自由である場合、自由分解は長さ≤ nの有限です。この場合、すべてのk > nに対して、および(ゼロモジュール) を取ることができます。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$${\displaystyle L_{k}=0}$

これにより、ヒルベルトのシジジー定理を言い換えることができます。 が体K上のn 個の不定量の多項式環である場合、すべての自由分解は最大でnの長さの有限体です。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

可換ノイザン環のグローバル次元は、無限であるか、またはすべての自由解像度が最大でn の長さの有限であるような最小のnです。可換ノイザン環は、グローバル次元が有限である場合に正則です。この場合、グローバル次元はそのクルル次元に等しくなります。したがって、ヒルベルトのシジジー定理は、多くの数学を隠した非常に短い文で言い換えることができます。体上の多項式環は正則環です。

可換環Rでは、常にab – ba = 0が成り立つ。これは、 ( b , – a )がaとbの間の線型関係であることを自明に意味する。したがって、イデアル I の生成集合が与えられたとき、サブモジュールの各元を、2つの生成元間のこれらの自明な関係によって生成されるシジジー モジュールと呼ぶ。より正確に は、自明なシジジーのモジュールは、関係によって生成される。 ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

そのような場合やそうでない場合。 ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$ ${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$${\displaystyle x_{h}=0}$

syzygy という単語は、アーサー・ケイリーの研究によって数学に登場しました。^[1]その論文で、ケイリーはそれを結果と判別式の理論で使用しました。^[2] syzygy という 単語は天文学で惑星間の線形関係を表すために使用されていたため、ケイリーはそれを2×3 行列の場合のように、行列の 小行列間の線形関係を表すために使用しました。

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

その後、シジジーという言葉は、1890 年にデイヴィッド ヒルベルトが発表した論文によって (数学者の間で) 普及しました。 この論文には、多項式に関する 3 つの基本定理、ヒルベルトのシジジー定理、ヒルベルトの基底定理、ヒルベルトの零点定理が含まれています。

ケイリーは論文の中で、数学者ジャン＝ルイ・コズルが微分幾何学で行った同様の構成にちなんで、後に^[3]コズル複体と呼ばれるようになった特殊なケースを利用している。

• Cox, David ; Little, John; O'Shea, Donal (2007)。「理想、多様体、アルゴリズム」。数学の学部テキスト。ニューヨーク、NY: Springer New York。doi :10.1007 / 978-0-387-35651-8。ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN  0172-6056.
• Cox, David; Little, John; O'Shea, Donal (2005)。「代数幾何学の使用」。Graduate Texts in Mathematics。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /b138611。ISBN 0-387-20706-6。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）。「代数幾何学に向けた可換代数」。数学の大学院テキスト。第150巻。シュプリンガー出版。doi ： 10.1007 / 978-1-4612-5350-1。ISBN 0-387-94268-8。
• David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Graduate Texts in Mathematics, vol. 229, Springer, 2005.