ホッジ予想

数学において、ホッジ予想は、特異でない複素代数多様体の代数位相とその部分多様体とを関連付ける、代数幾何学と複素幾何学における主要な未解決問題です。

簡単に言えば、ホッジ予想は、特定の幾何学的空間、複素代数多様体における穴の数などの基本的な位相情報は、それらの空間内に存在する可能性のある美しい形状、つまり多項式方程式のゼロセットを研究することによって理解できると主張しています。後者のオブジェクトは、代数と解析関数の計算を使用して研究することができ、これにより、他の方法では簡単に視覚化できない、多くの場合高次元の空間の大まかな形状と構造を間接的に理解することができます。

より具体的には、この予想は、特定のド・ラーム・コホモロジー類が代数的である、つまり、それらは部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和であるというものである。これは、複素代数多様体の場合に存在する追加の構造を含めるようにド・ラーム・コホモロジーの記述を豊かにする1930年から1940年の研究の結果として、スコットランドの数学者ウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジによって定式化された。マサチューセッツ州ケンブリッジで開催された1950年の国際数学者会議でホッジが演説するまで、この予想はほとんど注目されなかった。ホッジ予想はクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つであり、ホッジ予想を証明または反証できる者に100万ドルの賞金が与えられる。

X を複素次元nのコンパクトな 複素多様体とする。すると、X は実次元 の有向滑らかな多様体となり、そのコホモロジー群は 0 次から 次までの範囲に存在する。X がケーラー多様体であると仮定すると、そのコホモロジーには複素係数による分解が存在する。 ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),}$

ここで、は型の調和形式で表されるコホモロジー類の部分群である。つまり、これらは微分形式で表されるコホモロジー類であり、局所座標の選択によっては、調和関数の倍数 として表すことができる。${\displaystyle H^{p,q}(X)}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.}$

X はコンパクトな有向多様体なので、 X には基本クラスがあり、したがってX は上で積分できます。

Z をk次元のXの複素部分多様体とし、包含写像をとします。型の微分形式を選択します。プルバック関数を使用してZ上で積分できます。 ${\displaystyle i\colon Z\to X}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle i^{*}}$

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .}$

この積分を評価するには、 Zの点を とします。Z が Xに含まれているということは、 X上の局所基底を選択して(ランクヌル定理)が得られることを意味します。 の場合、 はZ上で 0 に戻るどこかを必ず含みます。の場合も同様です。したがって、 の場合、この積分は 0 になります。 ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{k})}$${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$${\displaystyle p>k}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle dz_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle d{\bar {z}}_{j}}$${\displaystyle q>k}$${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$

ホッジ予想は（大まかに言えば）次のように問いかけます。

のどのコホモロジー類が複素部分多様体Zから来ますか?${\displaystyle H^{k,k}(X)}$

させて

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

これをX上の2 k次ホッジ類の群と呼びます。

ホッジ予想の現代的な記述は

ホッジ予想。Xを非特異複素射影多様体と する。すると、 X上のすべてのホッジ類は、 Xの複素部分多様体のコホモロジー類の有理係数を持つ線型結合となる。

射影複素多様体は、複素射影空間に埋め込むことができる複素多様体です。射影空間はケーラー計量、フビニ・スタディ計量を持つため、そのような多様体は常にケーラー多様体です。チャウの定理により、射影複素多様体は滑らかな射影代数多様体でもあります。つまり、それは同次多項式の集まりの零点集合です。

ホッジ予想を別の言い方で表現すると、代数的サイクルという考え方になります。X上の代数的サイクルとは、Xの部分多様体の形式的な組み合わせです。つまり、次のような形式です。

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}.}$

係数は通常、整数または有理数として扱われる。代数的サイクルのコホモロジー類は、その構成要素のコホモロジー類の和として定義される。これは、ド・ラーム・コホモロジーのサイクル類写像の例である。ヴェイユ・コホモロジーを参照のこと。例えば、上記のサイクルのコホモロジー類は次のようになる。

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}].}$

このようなコホモロジー類は代数的と呼ばれる。この表記法を用いると、ホッジ予想は次のようになる。

X を射影複素多様体とします。すると、X 上のすべてのホッジ類は代数的になります。

ホッジ予想における、X が代数的 (射影的複素多様体) であるという仮定は弱めることはできない。1977 年、スティーブン・ザッカーは、ホッジ予想の反例として、射影的代数的ではない、型の解析的有理コホモロジーを持つ複素トーラスを構築できることを示した。(ザッカー (1977) の付録 B を参照) ${\displaystyle (p,p)}$

ホッジ予想に関する最初の結果は、レフシェッツ (1924) によるものです。実際、この結果は予想より古く、ホッジの動機の一部を提供しました。

定理( (1,1)-類のレフシェッツ定理) の任意の元は上の因子のコホモロジー類である。特に、ホッジ予想は に対して真である。${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}}$

層コホモロジーと指数完全列を使用すると、非常に簡単に証明できます。(因子 のコホモロジー類は、その最初のチャーン類に等しいことがわかります。) レフシェッツの最初の証明は、アンリ・ポアンカレによって導入された正規関数によって進められました。しかし、グリフィスの横断定理は、このアプローチでは高次コ次元部分多様体に対するホッジ予想を証明できないことを示しています。

ハード・レフシェッツ定理により、次のことが証明できる: ^[1]

定理。 あるものに対してホッジ予想が次数 のホッジ類に対して成り立つ場合、ホッジ予想は次数 のホッジ類に対して成り立ちます。${\displaystyle p<{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2n-p}$

上記の 2 つの定理を組み合わせると、次数 のホッジ類に対してホッジ予想が成り立つことが示されます。これは、 の次元が最大 3 である 場合のホッジ予想を証明します。${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle X}$

(1,1)-類に関するレフシェッツの定理は、すべてのホッジ類が因子のホッジ類によって生成される場合、ホッジ予想が真であることを意味します。

系。 代数が によって生成される場合、ホッジ予想は に対して成立します。${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{1}(X)}$${\displaystyle X}$

強いレフシェッツ定理と弱いレフシェッツ定理によれば、超曲面に対するホッジ予想の唯一の非自明な部分は、2 m次元超曲面の次数m の部分（つまり、中間コホモロジー）である。次数dが 2 の場合、つまりXが2 次曲面の場合、ホッジ予想はすべてのmに対して成立する。、つまり 4 次多様体の場合、ホッジ予想は に対して成立することが知られている。^[2]${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle d\leq 5}$

ほとんどのアーベル多様体に対して、代数 Hdg*( X ) は次数 1 で生成されるため、ホッジ予想が成り立つ。特に、ホッジ予想は、十分に一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積、素数次元の単純アーベル多様体に対して成立する。^{[3] [4] [5]しかし、Mumford (1969) は、Hdg 2} ( X ) が因子類の積によって生成されない アーベル多様体の例を構築した。Weil (1977) はこの例を一般化し、多様体が虚数 2 次体による複素乗算を持つときはいつでも、Hdg ² ( X ) は因子類の積によって生成されないことを示しました。Moonen & Zarhin (1999) は、5 未満の次元では、Hdg*( X ) が次数 1 で生成されるか、多様体が虚数 2 次体による複素乗算を持つことを証明しました。後者の場合、ホッジ予想は特殊な場合にのみ知られています。

ホッジの当初の推測は次の通りでした。

積分ホッジ予想。Xを射影複素多様体と する。すると、X のあらゆるコホモロジー類は、 X上の整数係数を持つ代数サイクルのコホモロジー類となる。${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

これは現在では誤りであることが分かっています。最初の反例は Atiyah & Hirzebruch (1961) によって構築されました。K 理論を使用して、彼らは捩れコホモロジー類の例を構築しました。つまり、ある正の整数nに対してnα  = 0となるコホモロジー類αですが、これは代数的サイクルの類ではありません。このような類は必然的にホッジ類です。Totaro (1997) は、コボルディズムの枠組みでその結果を再解釈し、このような類の例を多数発見しました。

積分ホッジ予想の最も単純な調整は次のとおりです。

捩れを法とする積分ホッジ予想。Xを射影複素多様体とする。すると、 Xのすべてのコホモロジー類は、捩れ類と、 X 上の整数係数を持つ代数サイクルのコホモロジー類の和になる。${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

同様に、捩れ類で割った後、すべての類は整数代数サイクルのコホモロジー類の像になります。これも誤りです。Kollár (1992) は、代数的ではないが、代数的である整数倍を持つホッジ類αの例を見つけました。 ${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$

Rosenschon & Srinivas (2016) は、正しい積分ホッジ予想を得るためには、モティヴィックコホモロジー群としても表現できる Chow 群を、エタール(またはリヒテンバウム)モティヴィックコホモロジーとして知られる変種に置き換える必要があることを示した。彼らは、有理ホッジ予想がこの修正されたモティヴィックコホモロジーに対する積分ホッジ予想と同等であることを示している。

ホッジ予想を自然に一般化すると、次のようになります。

ケーラー多様体に対するホッジ予想、素朴版。X を複素ケーラー多様体とする。すると、 X上のすべてのホッジ類は、 Xの複素部分多様体のコホモロジー類の有理係数を持つ線型結合になる。

これは楽観的すぎます。なぜなら、これを機能させるには亜種が十分ではないからです。代わりに、次の 2 つの質問のいずれかを尋ねることもできます。

ケーラー多様体に対するホッジ予想、ベクトル束バージョン。X を複素ケーラー多様体とします。すると、 X 上のすべてのホッジ類は、 X上のベクトル束のチャーン類の有理係数との線形結合になります。

ケーラー多様体に対するホッジ予想、コヒーレント層バージョン。X を複素ケーラー多様体と します。すると、 X上のすべてのホッジ類は、X上のコヒーレント層のチャーン類の有理係数との線型結合になります。

Voisin (2002) は、連接層のチャーン類はベクトル束のチャーン類よりも厳密に多くのホッジ類を与えること、および連接層のチャーン類はすべてのホッジ類を生成するのに不十分であることを証明しました。その結果、ケーラー多様体に対するホッジ予想の唯一の既知の定式化は誤りです。

ホッジは、積分ホッジ予想よりもさらに強い予想を立てた。X上のコホモロジー類がコレベル c (コニヴォー c)であるとは、それがXのc次元部分多様体上のコホモロジー類のプッシュフォワードであることを意味する。少なくともcレベルのコホモロジー類はXのコホモロジーをフィルタリングし、フィルタリングのc番目のステップN ^c H ^k ( X , Z ) が次を満たす ことは容易にわかる。

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

ホッジ氏の当初の声明は次の通りです。

一般化されたホッジ予想、ホッジのバージョン。 ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

グロタンディーク (1969) は、右辺が必ずしもホッジ構造ではないため、有理数係数であってもこれは当てはまらないと指摘しました。彼が修正したホッジ予想は次のようになります。

一般化ホッジ予想。N c H ^k ( X , Q ) は^、 H ^k ( X , Z ) に含まれる最大のサブホッジ構造である。${\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).}$

このバージョンはオープンです。

ホッジ予想を支持する最も強力な証拠は、Cattani、Deligne & Kaplan (1995) の代数性の結果です。単連結基底上のXの複素構造を変化させると仮定します。すると、 Xの位相コホモロジーは変化しませんが、ホッジ分解は変化します。ホッジ予想が正しい場合、ファイバーのコホモロジーがホッジ類である基底上のすべての点の軌跡は、実際には代数的部分集合、つまり多項式方程式によって切り取られることが知られています。Cattani、Deligne & Kaplan (1995) は、ホッジ予想を仮定せずに、これが常に正しいことを証明しました。

• テイト予想
• ホッジ理論
• ホッジ構造
• 期間マッピング

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