オペラド

数学において、オペラドとは、それぞれが固定された有限個の入力（引数）と 1 つの出力を持つ抽象演算と、これらの演算を構成する方法の仕様から構成される構造です。オペラド が与えられた場合、上の代数を、の抽象演算とまったく同じように動作するこの集合に対する具体的な演算とともに、 として定義します。たとえば、上の代数がまさにリー代数であるようなリーオペラドが存在します。つまり、 はすべてのリー代数に共通する演算をある意味で抽象的にエンコードします。オペラドと代数の関係は、群と群表現の関係と同じです。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

オペラドは代数位相幾何学に由来し、反復ループ空間を特徴付けるために1968年にJ.マイケル・ボードマンとライナー・M・ヴォクトによって導入された^{[1] [2]。}また、1972年にはJ.ピーター・メイによって導入された^[3]。

マーティン・マークル、スティーブ・シュナイダー、ジム・スタシェフはオペラドに関する著書の中で次のように書いている。^[4]

「オペラドという名前と正式な定義は、1970 年代初頭の J. ピーター メイの「反復ループ空間の幾何学」で初めて登場しましたが、それより 1 年以上前に、ボードマンとヴォクトは、アダムスとマック レーンの PROP と PACT に触発されて、標準形式の演算子のカテゴリという名前で同じ概念を説明しました。実際、その前史は豊富にあります。ワイベル [ウェイ] は、この概念が 1 世紀前にAN ホワイトヘッドの1898 年に出版された「普遍代数の論文」で初めて登場したと指摘しています。」

「オペラド」という言葉はメイが「オペレーション」と「モナド」を組み合わせた造語として作った（また彼の母親がオペラ歌手だったことにも由来している）。^[5]

オペラドへの関心は、マクシム・コンツェビッチの初期の洞察に基づいて、ヴィクター・ギンズバーグとミハイル・カプラノフが有理ホモトピー理論におけるいくつかの双対性現象がオペラドのコスール双対性を使って説明できることを発見した90年代初頭に大幅に再燃した。 ^{[6] [7]オペラドはそれ以来、}ポアソン多様体の変形量子化、ドリーニュ予想、^[8]またはマクシム・コンツェビッチとトーマス・ウィルヴァッハーの研究におけるグラフホモロジーなど、多くの応用が見出されている。

が集合であるとし、に対して定義する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(n):=\{f\colon X^{n}\to X\}}$、

のコピーの直積からまでのすべての関数の集合。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

これらの関数を合成することができます。、が与えられた場合、関数 ${\displaystyle f\in P(n)}$${\displaystyle f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})}$

${\displaystyle f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$

は次のように定義されます:から引数が与えられた場合、それらをブロックに分割し、最初のブロックには引数があり、2 番目のブロックには引数があり、というように分割し、最初のブロックに を適用し、 2 番目のブロックに を適用します。次に、から取得した値のリストに を次のように適用します。 ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

議論を並べ替えることもできる。つまり、対称群の右作用 は次のように定義される。 ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle (f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})}$

、およびの場合。 ${\displaystyle f\in P(n)}$${\displaystyle s\in S_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$

以下に示す対称オペラドの定義は、これら 2 つの演算との基本的な特性を捉えています。 ${\displaystyle \circ}$${\displaystyle *}$

非対称オペラド（順列のないオペラド、非${\displaystyle \Sigma }$オペラド、またはプレーンオペラドと呼ばれることもあります）は、次の要素で構成されます。

• 集合の列。その要素は-ary 演算と呼ばれる。${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle n}$
• の単位元と呼ばれる要素、${\displaystyle 1}$${\displaystyle P(1)}$
• すべての正の整数に対して、合成関数${\displaystyle n}$${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

次の一貫性公理を満たす:

• 身元：${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• 結合性:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

対称オペラド（単にオペラド と呼ばれることが多い）は、上のような非対称オペラドに、 に対する対称群の右作用を​​加えたもので、 で表され、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle *}$

• 同値性：順列が与えられた場合、${\displaystyle t\in S_{n}}$

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t(1)},\ldots ,\theta _{t(n)}))*t'}$

（ここで 、右側の は、セットをサイズ の最初のブロック、サイズ の 2 番目のブロック、サイズ の番目のブロックに分割することによってセットに作用する の要素を指します。その後、各ブロックをそのままにして、これらのブロックを で並べ替えます）${\displaystyle t'}$${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

そして順列が与えられると、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(ここで、 は、これらのブロックの最初のものを、2 番目のものをなどと並べ替え、全体の順序をそのまま維持するの要素を表します)。${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

この定義の順列アクションは、ループ空間への元のアプリケーションを含むほとんどのアプリケーションにとって重要です。

オペラドの射影はシーケンスから構成される ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

それ：

• アイデンティティを保持します:${\displaystyle f(1)=1}$
• 合成を保存する: すべてのn項演算および演算に対して、${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• 順列アクションを保存します: 。${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

したがって、オペラドはで表されるカテゴリを形成します。 ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

これまでオペラドは集合のカテゴリでのみ考慮されてきました。より一般的には、任意の対称モノイドカテゴリ Cでオペラドを定義することができます。その場合、それぞれはCのオブジェクトであり、合成はCの射であり(ここで はモノイドカテゴリのテンソル積を表します)、対称群の要素の作用はCの同型によって与えられます。 ${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$${\displaystyle \otimes }$

一般的な例としては、モノイド積が直積によって与えられる位相空間と連続写像のカテゴリがあります。この場合、位相オペラドは、集合ではなく空間の列 によって与えられます。オペラドの構造写像 (対称群の合成と作用) は連続していると仮定されます。結果は位相オペラドと呼ばれます。同様に、オペラドの射の定義では、関係する写像が連続していると仮定する必要があります。 ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

オペラドを定義するための他の一般的な設定には、たとえば、可換環上のモジュール、連鎖複体、群素(またはカテゴリのカテゴリ自体)、余代数など があります。

可換環 Rが与えられたとき、R上の加群のカテゴリを考える。R上のオペラドは、ある有限性条件を満たす、 R上の自己関数子のモノイドカテゴリ内のモノイドオブジェクトとして定義できる（モナドである）。^{[注 1]}${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$

例えば、上の「多項式自己関数」のカテゴリのモノイドオブジェクトはオペラドである。^[8]同様に、対称オペラドは、対称群を意味する -オブジェクトのカテゴリのモノイドオブジェクトとして定義できる。 ^[9]組合せ種のカテゴリのモノイドオブジェクトは、有限集合のオペラドである。 ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$

上記の意味でのオペラドは、一般化された環として考えられることもあります。たとえば、ニコライ・デュロフは、一般化された環を、フィルターされた余極限と可換な自己関数のモノイド圏におけるモノイド対象として定義しています。^[10]これは環の一般化です。なぜなら、通常の環R はそれぞれ、集合X をXによって生成された自由R加群の基底集合に送信するモナドを定義するからです。 ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle R^{(X)}}$

「結合性」とは、演算の合成が結合的である（関数が結合的である）ことを意味し、カテゴリ理論の公理に類似しています。演算自体が演算として結合的であることを意味するものではありません。以下の結合オペラドと比較してください。 ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

オペラド理論における結合性は、演算の結合性によって、括弧を省略しても曖昧さなく積を記述できるのと同様に、演算を含む式を省略された合成から曖昧さなく記述できることを意味します。

たとえば、 が二項演算である場合、または と記述されます。したがって、 は結合的である場合もそうでない場合もあります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta (a,b)}$${\displaystyle (ab)}$${\displaystyle \theta }$

すると、一般的に書かれているものは、オペラ的に と明確に書かれます。これはを に送り（最初の 2 つには を適用し、3 つ目に恒等式を適用します）、次に左側のを で「乗算」します。これはツリーとして表すとより明確になります。 ${\displaystyle ((ab)c)}$${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (ab,c)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle ab}$${\displaystyle c}$

これは3項演算を生成します。

しかし、この式は、先験的に曖昧です。つまり、内部合成が最初に実行される場合はを意味する可能性があり、外部合成が最初に実行される場合は を意味する可能性があります (操作は右から左に読み取られます)。 と書くと、これはではなくです。つまり、ツリーには「垂直括弧」がありません。 ${\displaystyle (((ab)c)d)}$${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

上位 2 行の操作が最初に合成された場合 (行に上向きの括弧を配置し、最初に内部合成を実行)、結果は次のようになります。 ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

これは明確に評価され、4項演算を生成します。注釈付きの式として:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

下の 2 行の操作が最初に合成された場合 (行に下向きの括弧を配置し、最初に外側の合成を行う)、結果は次のようになります。 ${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

これは明確に評価され、4 項演算が生成されます。

オペラドの結合性公理は、これらが同じ結果を生むということであり、したがって、式は明確であるということです。 ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

アイデンティティ公理（二項演算用）は、次のようにツリーで視覚化できます。

つまり、得られる 3 つの演算は等しいということです。つまり、恒等式との事前合成または事後合成は違いを生じません。カテゴリに関しては、は恒等公理の系です。 ${\displaystyle 1\circ 1=1}$

最も基本的なオペラドは、上記の「直感」のセクションで説明したものです。任意の集合 に対して、すべての関数 からなる自己準同型オペラドが得られます。これらのオペラドは、オペラド代数を定義するのに役立つため重要です。がオペラドである場合、 上のオペラド代数は、集合とオペラド射によって与えられます。直感的には、このような射 は、 の各「抽象的な」演算を集合 上の「具体的な」-ary 演算に変換します。したがって、 上のオペラド代数は、オペラド によって抽象的に指定された規則に従う上の具体的な演算を伴う集合で構成されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$${\displaystyle X^{n}\to X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

kが体ならば、k上の有限次元ベクトル空間のカテゴリを考えることができる。これは、 k上の通常のテンソル積を用いたモノイドカテゴリとなる。次に、このカテゴリにおける自己準同型オペラドを次のように定義することができる。V を有限次元ベクトル空間とする。 Vの自己準同型オペラドは^[11]で構成される。 ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= 線型写像の空間、${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (合成) 、、...、が与えられた場合、それらの合成は写像によって与えられ 、${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$
3. （恒等） の恒等元は恒等写像であり、${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$
4. (対称群作用) は、のテンソルの成分を並べ替えることによって に作用します。${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

がオペラドである場合、 上のk線型オペラド代数は、k上の有限次元ベクトル空間Vとオペラド射によって与えられます。これは、の演算のように動作するV上の具体的な多重線型演算を指定することに相当します。(オペラドとオペラド代数と、環と加群の類似性に注意してください。環R上の加群は、アーベル群Mと環準同型 によって与えられます。) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

アプリケーションに応じて、上記のバリエーションが可能です。たとえば、代数位相幾何学では、ベクトル空間とそれらの間のテンソル積の代わりに、（合理的な）位相空間とそれらの間の直積を使用します。

2 ディスクの小オペラドは、原点を中心とするの単位ディスク内のn 個の互いに素なディスクの順序付けられたリストで構成される位相オペラドです。対称群は、小ディスクのリストを並べ替えることで、このような構成に作用します。小ディスクのオペラド合成は、右の添付図に示されています。ここで、要素は要素と合成され、の構成を縮小してのi番目のディスクに挿入することによって得られる要素を生成します(の場合) 。 ${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \theta \in P(3)}$${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle i=1,2,3}$

同様に、単位球内の互いに素なn球の配置を考えることによって、小さなn円盤オペラドを定義することができる。^[12]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

もともと、リトル n キューブ オペラドまたはリトル インターバル オペラド(最初はリトルnキューブPROPと呼ばれていました)は、マイケル ボードマンとライナー フォークトによって、単位ハイパーキューブ内の互いに素な軸に沿った n次元ハイパーキューブ(n 次元インターバル)の構成に関して、同様の方法で定義されました。^{[13]その後、メイ[14]によって}リトル凸体オペラドに一般化され、「リトル ディスク」は「リトル凸体」から派生した「伝説」の一例です。^[15]

グラフ理論では、根付き木は自然なオペラドを形成します。ここで、はn 個の葉を持つすべての根付き木の集合であり、葉には 1 からn まで番号が付けられています。グループは、葉のラベルを並べ替えることでこの集合に作用します。オペラド合成は、のi番目の葉をi番目の木 の根で置き換えることによって得られます( の場合)。これにより、 n 個の木が に接続され、より大きな木が形成されます。この木の根は の根と同じになり、葉には順に番号が付けられます。 ${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

スイスチーズオペラドは、単位n半円盤内の互いに素なn次元円盤と、単位半円盤の底部を中心としてその中にあるn次元半円盤の構成で定義される 2 色の位相オペラドです。オペラドの構成は、単位円盤内の「小さな」円盤の構成を別の単位半円盤内の「小さな」円盤に接着し、単位半円盤内の「小さな」円盤と半円盤の構成を別の単位半円盤に接着することで得られます。

スイス・チーズ・オペラドはアレクサンダー・A・ヴォロノフによって定義された。^[16]マキシム・コンツェビッチはこれを用いてホックシルト・コホモロジーに関するドリーニュ予想のスイス・チーズ版を定式化した。^[17]コンツェビッチの予想はポー・フー、イゴール・クリズ、アレクサンダー・A・ヴォロノフによって部分的に証明され^[18]、その後ジャスティン・トーマスによって完全に証明された。^[19]

オペラドの別の例としては、結合代数、可換代数、リー代数などの代数構造を捉えたものがあります。これらはそれぞれ、2 項演算によって生成される 3 つのオペラドのそれぞれにおいて、有限に提示されたオペラドとして表すことができます。

例えば、結合オペランドは、次の条件のみを満たす 二項演算によって生成される対称オペランドである。${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

この条件は二項演算 の結合性に対応します。乗法的に書くと、上記の条件は です。この演算の結合性は、任意のオペランドに当てはまる合成の結合性と混同しないでください。上記の結合性の公理を参照してください。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (a,b)}$${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

結合オペラドでは、それぞれが対称群によって与えられ、その対称群に対して右乗法が作用します。合成オペランドは、ブロック内の入力を に従って並べ替え、ブロック内では適切な に従って並べ替えます。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau _{i}}$

結合オペラド上の代数は、まさに半群、つまり単一の二項結合演算を伴う集合です。結合オペラド上のk線型代数は、まさに結合k代数です。

終端対称オペラドは、各nに対して単一のn項演算を持ち、各演算が自明であるオペラドです。このオペラド上の代数は可換半群であり、k線型代数は可換結合k代数です。 ${\displaystyle S_{n}}$

同様に、それぞれがアルティン組紐群によって与えられる非オペラドが存在する。さらに、この非オペラドは組紐オペラドの構造を持ち、オペラドの概念を対称群から組紐群に一般化している。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \Sigma }$

線型代数では、実ベクトル空間はすべての線型結合のオペランド上の代数とみなすことができます^[要出典] 。このオペランドはに対してによって定義され、成分を並べ替えるという明らかな動作と、ベクトルの連結によって与えられる合成 ( )によって定義されます。たとえば、ベクトルは係数 2,3,-5,0,... を持つ線型結合を形成する操作を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$

この観点は、線形結合がベクトル空間における最も一般的な種類の演算であるという概念を形式化します。つまり、ベクトル空間が線形結合のオペランド上の代数であると言うことは、ベクトル空間におけるすべての可能な代数演算が線形結合であると言うこととまったく同じです。ベクトル加算とスカラー乗算の基本演算は、すべての線形結合のオペランドの生成セットであり、線形結合のオペランドはベクトル空間におけるすべての可能な演算を標準的にエンコードします。

同様に、アフィン結合、円錐結合、および凸結合は、それぞれ、ベクトルの項の合計が 1 になる、項がすべて非負である、またはその両方であるサブオペランドに対応すると考えることができます。図式的に言えば、これらは、無限アフィン超平面、無限超八分面、および無限単体です。これは、または標準単体がモデル空間であるという意味と、すべての有界凸多面体は単体の像であるなどの観察を形式化します。ここで、サブオペランドは、より制限された演算、したがってより一般的な理論に対応します。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

可換環オペラドは、その代数が可換環であるオペラドです。これは によって定義され、 の明らかな作用と、変数を（番号が付け直された変数を持つ）多項式に置き換えることによって与えられるオペラド合成を持ちます。代数が何らかの固定された基底体上の結合的可換代数である同様のオペラドを定義できます。このオペラドのKoszul デュアルはリーオペラド（その代数はリー代数）であり、その逆も同様です。 ${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle S_{n}}$

典型的な代数構成（例えば、自由代数構成）はオペラドに拡張できます。は、グループが作用する集合をオブジェクトとするカテゴリを表します。すると、忘却関手が存在します。これは、オペラド合成を単に忘れます。この忘却関手の左随伴関数を構成することは可能です（これが自由関手の通常の定義です）。演算のコレクションEが与えられた場合、はE上の自由オペラドです。${\displaystyle \mathbf {Set} ^{S_{n}}}$${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle \Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}}$${\displaystyle \Gamma (E)}$

群や環と同様に、自由構成により、生成元と関係の観点からオペラドを表現することができます。オペラドの自由表現とは、自由オペラドの商として記述することを意味します。ここで、 E はの生成元を表し、エピモーフィズムの核は関係を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

（対称）オペラドは、が生成元であり関係が に含まれるような自由表現を持つ場合、二次的と呼ばれます。^[20]${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

クローンとは、引数の識別も閉じているオペラドの特殊なケースです (一部のデータを「再利用」)。クローンは、ミニオン (またはクロノイド) でもあるオペラドとして同等に定義できます。

Stasheff (2004) の中で、Stasheff は次のように書いています。

オペラドは、「ホモトピー」の適切な概念を持つカテゴリにおいて特に重要かつ有用であり、高次のホモトピーの階層を編成する上で重要な役割を果たします。

• PRO（カテゴリー理論）
• オペラド上の代数
• 高階オペラド
• E∞オペラド
• 擬似代数
• マルチカテゴリ

• トム・レンスター (2004)。高等オペラド、高等カテゴリー。ケンブリッジ大学出版局。arXiv : math /0305049。Bibcode : 2004hohc.book..... L。ISBN 978-0-521-53215-0。
• Martin Markl、Steve Shnider、Jim Stasheff (2002)。代数、位相幾何学、物理学におけるオペラッド。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-4362-8。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Markl, Martin (2006 年 6 月). 「Operads and PROPs」. arXiv : math/0601129 .
• Stasheff, Jim (2004 年 6 月～7 月)。「オペラドとは何か?」(PDF)。アメリカ数学会誌51 (6): 630–631 。2008年1 月 17 日閲覧。
• ジャン=ルイ・ロデー; Bruno Vallette (2012)、Algebraic Operads (PDF)、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 346、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-642-30361-6
• Zinbiel, Guillaume W. (2012)、「Encyclopedia of types of algebras 2010」、Bai, Chengming、Guo, Li、Loday, Jean-Louis (eds.)、Operads and universal algebra、Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics、vol. 9、pp. 217–298、arXiv : 1101.0267、Bibcode :2011arXiv1101.0267Z、ISBN 9789814365116
• フレッセ、ブノワ（2017年5月17日）「オペラドとグロタンディーク・タイヒミュラー群のホモトピー」、数学概論およびモノグラフ、アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-3480-9、MR  3643404、Zbl  1373.55014
• Miguel A. Mendéz (2015).組合せ論とコンピュータサイエンスにおける集合オペラド。SpringerBriefs in Mathematics。ISBN 978-3-319-11712-6。 
• Samuele Giraudo (2018).組合せ論における非対称オペラド. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6 . 

• nラボのoperad
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html