モジュラス（代数的整数論）

数学において、代数的数論の分野において、モジュラス（複数形はモジュライ）（またはサイクル、^[1]または拡張イデアル^[2]）は、大域体（つまり代数的数体または大域関数体）の場所の形式的な積である。これは、大域体の アーベル拡大の分岐データを符号化するために使用される。

K を整数環 Rを持つ大域体とする。法は形式積である^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathbf {m} =\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{\nu (\mathbf {p} )},\,\,\nu (\mathbf {p} ) \geq0}$

ここでp は有限または無限のKのすべての位に渡って走り、指数 ν( p )は有限個のpを除いてゼロです。Kが数体の場合、実数位では ν( p ) = 0 または 1、複素数位では ν( p ) = 0 です。Kが関数体の場合、すべての無限位では ν( p ) = 0 です。

関数体の場合、係数は実効因子と同じものであり、^[5]数体の場合、係数はアラケロフ因子の特別な形とみなすことができます。^[6]

合同の概念はモジュライの設定に拡張できる。aとbがK ^×の元である場合、 a  ≡ ^∗ b  (mod  p ^ν )の定義はpがどのような素数であるかに依存する: ^{[7] [8]}

• もしそれが有限ならば

${\displaystyle a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} ^{\nu })\Leftrightarrow \mathrm {ord} _{\mathbf {p} }\left({\frac {a}{b}}-1\right)\geq \nu }$

ここで、ord _{p は}pに関連付けられた正規化された評価です。

• もしそれが実数体上の位置でありν = 1ならば、

${\displaystyle a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} )\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}>0}$

pに関連付けられた実埋め込みの下で。

• それが他の無限の場所であれば、条件はありません。

そして、a を法mとすると、 ν( p ) > 0 と なるすべてのpに対してa  ≡ ^∗ b  (mod  p ^{ν( p )} ) が成立する場合、 a  ≡ ^∗ b  (mod  m ) となります。

mを法とする光線は[ ^{9] [10] [11]}

${\displaystyle K_{\mathbf {m} ,1}=\left\{a\in K^{\times }:a\equiv ^{\ast }\!1\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {m} )\right\}.}$

モジュラスm は、それぞれ有限位置と無限位置の積であるm _fとm _∞の 2 つの部分に分割できます。I m^を次のいずれかとします。

• Kが数体である場合、 m _fと互いに素なイデアルによって生成される分数イデアル群の部分群。^[12]
• K がk上の代数曲線の関数体である場合、 mから離れた台を持つk上の有理数因子群。^[13]

どちらの場合も、aを主イデアル（または因子）（a） に写すことによって得られる群準同型 i  : K _{m ,1} → I ^{mが存在する。}

mを法とするレイクラス群は商C m = I m / i( K m ,1 )である。_[ 14 ] ^[ 15 ] _{i (} K ^{m ,} 1 _)の剰余類はmを法とするレイクラスと呼ばれる。

エーリッヒ・ヘッケのヘッケ指標の元々の定義は、ある係数mに関する光線類群の指標の観点から解釈することができる。^[16]

Kが数体の場合、以下の性質が成り立つ。 ^[17]

• m = 1の場合、光線類群はまさに理想類群です。
• 光線類群は有限です。その順序は光線類番号です。
• 光線のクラス番号はKのクラス番号で割り切れます。

• コーン、ハーヴェイ（1985）、類体の構築入門、ケンブリッジ高等数学研究、第6巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-24762-7
• ヤヌス、ジェラルド J. (1996)、「代数的数体」、数学大学院研究、第 7 巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0429-2
• ラング、セルジュ（1994）、代数的数論、Graduate Texts in Mathematics、第110巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94225-4、MR  1282723
• ミルン、ジェームズ (2008)、クラスフィールド理論 (v4.0 版) 、2010-02-22取得
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• セール、ジャン＝ピエール（1988）、代数群と類体、Graduate Texts in Mathematics、vol. 117、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-96648-9