ディリクレL関数

数学において、ディリクレL級数は次の形式の関数である。

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$$

どこ${\displaystyle \chi }$ディリクレ指標であり、${\displaystyle s}$実部がより大きい複素変数${\displaystyle 1}$これはディリクレ級数の特殊な場合です。解析接続により、複素平面全体上の有理型関数に拡張することができ、その場合、ディリクレL関数と呼ばれます。

これらの関数は、1837年に等差数列の素数に関する定理を証明するために導入したピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられました^{[ 1 ]}。ディリクレは証明の中で、${\displaystyle L(s,\chi )}$はゼロではない${\displaystyle s=1}$さらに、${\displaystyle \chi }$が主である場合、対応するディリクレL関数はに単純極を持ちます。${\displaystyle s=1}$それ以外の場合、L関数は整関数である。

ディリクレ特性${\displaystyle \chi }$は完全に乗法的であり、そのL関数は絶対収束の半平面におけるオイラー積としても表すことができる。 $${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$$ ここで、積はすべての素数について取られる。^{[ 2 ]}

L関数に関する結果は、文字が原始的であると仮定すると、より簡潔に述べられることが多いが、通常、結果はわずかな複雑さで非原始的文字にも拡張できる。^{[ 3 ]}これは、非原始的文字と文字の関係によるものである。${\displaystyle \chi }$そして原始的な性格${\displaystyle \chi ^{\star }}$それはそれを引き起こす：^{[ 4 ]}$${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n)&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1,\\\;\;\;0&\mathrm {otherwise} .\end{cases}}}$$ （ここ、${\displaystyle q}$は、${\displaystyle \chi }$.) オイラー積を適用すると、対応するL関数間の単純な関係が得られます。^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right).}$$ 解析接続により、この式はすべての複素数に対して成り立つ。${\displaystyle s}$オイラー積は、${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$式は、L関数が${\displaystyle \chi }$は、誘導する原始指標のL関数に等しい。${\displaystyle \chi }$有限個の係数のみを掛け合わせる。^{[ 7 ]}

特殊なケースとして、主指標のL関数${\displaystyle \chi _{0}}$モジュロ${\displaystyle q}$リーマンゼータ関数で表すことができる：^{[ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s}).}$$

ディリクレL関数は関数方程式を満たし、これにより複素平面全体で解析的に接続する方法が提供される。関数方程式は、の値とを関連付ける。${\displaystyle L(s,\chi )}$の価値観へ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$。

させて${\displaystyle \chi }$プリミティブ文字モジュロ${\displaystyle q}$、 どこ${\displaystyle q>1}$関数方程式を表現する一つの方法は次のとおりである^{[ 10 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}),}$$ どこ${\displaystyle \Gamma }$ガンマ関数は、${\displaystyle \delta \in \{0,1\}}$そのため${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$、 そして $${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}},}$$ どこ${\displaystyle \tau (\chi )}$ガウス和$${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$$ ガウス和の性質として、${\displaystyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q}}}$、 それで${\displaystyle |W(\chi )|=1}$[ ^{11 ] [ 12 ]もう一つの関数}方程式は $${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ),}$$ これは次のように表現できます^{[ 10 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$$

これは、${\displaystyle L(s,\chi )}$そして${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$は、​${\displaystyle s}$繰り返しますが、これは以下のことを前提としています。${\displaystyle \chi }$プリミティブ文字モジュロ${\displaystyle q}$と${\displaystyle q>1}$。 もし ${\displaystyle q=1}$、 それから${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$ポールがあります${\displaystyle s=1}$[ ^{10 ] [ 12 ]​}

一般化については、 L関数の関数方程式に関する記事を参照してください。

させて${\displaystyle \chi }$プリミティブ文字モジュロ${\displaystyle q}$、 と${\displaystyle q>1}$。

ゼロはありません${\displaystyle L(s,\chi )}$と${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$。 のために${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$特定の負の整数にはゼロが存在する${\displaystyle s}$:

• もし${\displaystyle \chi (-1)=1}$唯一のゼロは${\displaystyle L(s,\chi )}$と${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$は単純なゼロです${\displaystyle -2,-4,-6,\dots }$また、ゼロもあります。${\displaystyle s=0}$いつ${\displaystyle \chi }$は非主極です。これらは、${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$[ ^{13 ]​}
• もし${\displaystyle \chi (-1)=-1}$すると、${\displaystyle L(s,\chi )}$と${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$は単純なゼロです${\displaystyle -1,-3,-5,\dots }$これらは、${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$[ ^{13 ]​}

これらは自明なゼロと呼ばれます。^{[ 10 ]}

残りのゼロは臨界領域内に存在する${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$、およびは非自明零点と呼ばれます。非自明零点は臨界線に関して対称です。${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$つまり、もし${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$、 それから${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$関数方程式のためでもある。${\displaystyle \chi }$が実数である場合、非自明な零点も実軸に関して対称ですが、 の場合はそうではありません。${\displaystyle \chi }$は複素数である。一般化リーマン予想とは、非自明な零点はすべて臨界線上に存在するという予想である。${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$[ ^{10 ]​}

シーゲル零点が存在する可能性まで、線を含む零点のない領域および線を超える領域${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1}$リーマンゼータ関数と同様のものは、すべてのディリクレL関数に対して存在することが知られています。たとえば、${\displaystyle \chi }$法の非実数特性${\displaystyle q}$、 我々は持っています

$${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$$

のために${\displaystyle \beta +i\gamma }$実数でないゼロ。^{[ 14 ]}

ディリクレL関数は、有理値におけるフルヴィッツゼータ関数の線形結合として表すことができる。整数を固定すると${\displaystyle k\geq 1}$、文字モジュロに対するディリクレL関数${\displaystyle k}$定数係数を持つ線形結合${\displaystyle \zeta (s,a)}$どこ${\displaystyle a=r/k}$そして${\displaystyle r=1,2,\dots ,k}$これは、有理数に対するフルヴィッツゼータ関数が${\displaystyle a}$ディリクレL関数と密接に関連する解析的性質を持つ。具体的には、${\displaystyle \chi }$文字モジュロ${\displaystyle k}$、そのディリクレL関数は次のように書ける^{[ 15 ]}

$${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$$

• 一般化リーマン予想
• L関数
• モジュラリティ定理
• アルティンの推測
• L関数の特殊値

• アポストル、トム M. (1976)、解析的整数論入門、数学学部教科書、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90163-3MR 0434929、Zbl 0335.10001​  
• アポストル、TM（2010）「ディリクレL関数」、オルバー、フランクWJ、ロジエ、ダニエルM、ボワヴェール、ロナルドF、クラーク、チャールズW（編）『NIST数学関数ハンドブック』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• ダベンポート、H. (2000).乗法数論（第3 版）. スプリンガー. ISBN 0-387-95097-4。
• ディリクレ、PGL (1837)。 「Beweis des Satzes、dass jede unbegrenzte arithmetische Progression、deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind、unendlich viele Primzahlen enthält」。アブハンド。アク。ウィス。ベルリン。４８．
• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）。現代数論への古典的入門（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。
• モンゴメリー、ヒュー・L. ;ヴォーン、ロバート・C. (2006).乗法数論。I. 古典理論。ケンブリッジ高等数学シリーズ。第 97巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-84903-6。
• イワニエツ、ヘンリク；コワルスキー、エマニュエル（2004）。解析的整数論。アメリカ数学会コロキウム出版物。第 53巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。
• 「ディリクレL関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]