等長性

数学において、等長変換（または合同変換）とは、距離を保存する距離空間間の変換であり、通常は全単射であると仮定される。^{[ a ]}等長変換という言葉は、古代ギリシャ語のἴσος isos（「等しい」）と μέτρον metron （「測定」）に由来する。変換が距離空間からそれ自身へのものである場合、それは運動として知られる幾何学的変換の一種である。

距離空間（大まかに言えば、集合と、その集合の要素間の距離を割り当てるスキーム）が与えられたとき、等長変換とは、新しい距離空間における像の要素間の距離が元の距離空間における要素間の距離と等しくなるように、要素を同じまたは別の距離空間に写像する変換のことです。2 次元または 3 次元のユークリッド空間では、2 つの幾何学的図形は、等長変換によって関連付けられている場合に合同です。 ^{[ b ]}それらを関連付ける等長変換は、剛体運動（並進または回転）か、剛体運動と鏡映の合成の いずれかです。

等長変換は、ある空間が別の空間に埋め込まれるような構成でよく用いられます。例えば、計量空間の完成などが挙げられます。${\displaystyle M}$等長変換を含む${\displaystyle M}$の中へ${\displaystyle M',}$コーシー列の空間の商集合${\displaystyle M.}$ 元の空間${\displaystyle M}$したがって、は完備距離空間の部分空間と等長的に同型であり、通常はこの部分空間と同一視されます。他の埋め込み構成により、すべての距離空間は、あるノルムベクトル空間の閉部分集合と等長的に同型であり、すべての完備距離空間は、あるバナッハ空間の閉部分集合と等長的に同型であることが示されています。

ヒルベルト空間上の等長全射線形作用素は、ユニタリ作用素と呼ばれます。

させて ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$距離などの指標を持つ 距離空間である。$d_X$そして$d_Y.$地図​${\textstyle f\colon X\to Y}$任意の に対して が成り立つ場合、は等長写像または距離保存写像と呼ばれる。${\displaystyle a,b\in X}$、

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[ 4 ] [ c ]}

等長写像は自動的に単射である。^{[ a ]}そうでなければ、2 つの異なる点aとbが同じ点に写像される可能性があり、それによって計量dの一致公理に矛盾する。${\displaystyle d(a,b)=0}$かつその場合に限り${\displaystyle a=b}$この証明は、半順序集合間の順序埋め込みが単射であることの証明と似ています。明らかに、距離空間間のすべての等長写像は位相埋め込みです。

大域等長写像、等長同型写像、または合同写像は、全単射等長写像です。他の全単射と同様に、大域等長写像には逆関数が存在します。大域等長写像の逆関数もまた、大域等長写像です。

2つの距離空間XとYは、 XからYへの全単射等長写像が存在する場合に等長であると呼ばれる。距離空間からそれ自身への全単射等長写像の集合は、関数合成に関して群を形成し、これを等長群と呼ぶ。

また、経路等長性または弧状等長性という、より弱い概念も存在する。

経路等長写像または弧状等長写像は、曲線の長さを保存する写像です。このような写像は、距離保存の意味で必ずしも等長写像であるとは限らず、必ずしも全単射である必要はなく、単射である必要さえありません。^{[ 5 ] [ 6 ]}この用語はしばしば単に等長写像と略されるため、文脈からどのタイプが意図されているかを判断するように注意する必要があります。

例

• ユークリッド空間における鏡映、平行移動、回転はすべて大域等長変換です。ユークリッド群およびユークリッド空間の「等長変換」も参照してください。 
• 地図${\displaystyle x\mapsto |x|}$で${\displaystyle \mathbb {R} }$これは経路等長写像ではあるが、（一般的な）等長写像ではない。等長写像とは異なり、この経路等長写像は単射である必要はないことに注意されたい。

以下の定理はマズールとウラムによるものである。

定義：^{[ 7 ]}ベクトル空間における2つの要素xとyの 中点は、ベクトル⁠1 / 2⁠ ( x + y )である。

多様体の等長写像とは、点間の距離の概念を保持する、その多様体からそれ自身、または別の多様体への（滑らかな）写像のことである。等長写像の定義には、多様体上の計量の概念が必要となる。計量（正定値）を持つ多様体はリーマン多様体であり、計量が不定値である多様体は擬リーマン多様体である。したがって、等長写像はリーマン幾何学において研究される。

ある（擬似）リーマン多様体から別のリーマン多様体への局所等長写像とは、2番目の多様体の計量テンソルを最初の多様体の計量テンソルに引き戻す写像のことである。このような写像が微分同相写像でもある場合、そのような写像は等長写像（または等長同型写像）と呼ばれ、リーマン多様体の圏Rmにおける同型性（「同一性」）の概念を提供する。

• 正の実数εが与えられたとき、ε等長写像またはほぼ等長写像（ハウスドルフ近似とも呼ばれる）は写像である。${\displaystyle f\colon X\to Y}$距離空間の間で
  1. のために${\displaystyle x,x'\in X}$1つは${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$そして
  2. どの時点でも${\displaystyle y\in Y}$ある点が存在する${\displaystyle x\in X}$と${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

つまり、ε-等長変換は、距離をεの範囲内に保ち、定義域の要素の像からεより遠い値をとる終域の要素を残しません。ε-等長変換は連続であるとは仮定されていないことに注意してください。

• 制限付き等長性という性質は、疎ベクトルに対するほぼ等長な行列を特徴づける。
• 準等長性は、もう一つの有用な一般化である。
• 抽象的な単位的C*-代数における要素を等長写像として定義することもできる。

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$等長であるのは、${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

序論で述べたように、一般に左逆元が右逆元であるとは限らないため、これは必ずしもユニタリ元ではないことに注意してください。

• 擬ユークリッド空間において、等長変換とは、大きさを保存する線形全単射を意味する。二次空間も参照のこと。