n! 推測

数学において、n !予想とは、ある2次対角調和関数の次元がn !であるという予想である。これはAM GarsiaとM. Haimanによって提唱され、後にM. Haimanによって証明された。これは、マクドナルド多項式に関するマクドナルドの正値性予想を意味する。

定式化と背景

マクドナルド多項式は、イアン・G・マクドナルド(1987)によって導入された、ルートシステムの正の重み λ でインデックス付けされた2 パラメータの直交多項式の族です。ジャック多項式やホール・リトルウッド多項式など、他のいくつかの直交多項式の族を一般化します。マクドナルド多項式は、アフィンヘッケ代数やヒルベルトスキームと深い関係があることが知られており、マクドナルドがマクドナルド多項式について行ったいくつかの予想を証明するために使用されました。 $P_{\lambda}$

マクドナルド(1988)は、対称関数の空間に対する新しい基底を導入した。これは、パラメータqとtを適切に置き換えることで、対称関数のよく知られた基底の多くに特化している。

実際、この方法で、シューア関数、ホール・リトルウッド対称関数、ジャック対称関数、ゾーン対称関数、ゾーン球面関数、および基本対称関数と単項式対称関数を得ることができます。

いわゆるq、t -コストカ多項式は、結果として得られる遷移行列の係数です。マクドナルドは、これらがqとtの多項式であり、係数が非負の整数であると推測しました。

正値性を証明するために適切なモジュールを構築するというアイデアは、アドリアーノ・ガルシアのものでした（これは、コストカ・フォークス多項式のシューア正値性に関するプロチェージとの以前の共同研究で行われたように）。

マクドナルド予想を証明する試みとして、ガルシアとハイマン (1993) は対角調和関数の二階関数を導入し、（修正）マクドナルド多項式が対称群の対角作用の下でH _μの指標生成関数のフロベニウス像であると予想した。 $H_{\mu}$

マクドナルド予想の証明はn !予想、すなわちHμの次元がn!であることを証明することに帰着した。2001年にハイマンは次元が確かにn!であることを証明した_（[ 4]を参照）。

この画期的な発見により、対称群表現論の多くの隠れたつながりと新しい側面、および組み合わせオブジェクト（挿入表、ハグルンドの反転数、表現論におけるパーキング関数の役割など）が発見されました。

Garsia, AM; Procesi, C. (1992). 「特定の段階的 Sn モジュールと q-Kostka 多項式について」.数学の進歩. 94 (1): 82–138. doi : 10.1016/0001-8708(92)90034-I .
Garsia, AM; Haiman, M. (1993). 「マクドナルド多項式の段階的表現モデル」.米国科学アカデミー紀要. 90 (8): 3607–3610. doi : 10.1073/pnas.90.8.3607 . PMC 46350. PMID 11607377 .
Garsia, AM; Haiman, M.軌道調和関数と段階的表現、研究モノグラフ。研究室が発行するコレクションの一部として掲載されます。で。櫛。 et Informatique Mathématique、S. Brlek 編集、ケベック大学モントリオール校。
Haiman, M. (2001). 「ヒルベルトスキーム、ポリグラフ、およびマクドナルド正値性予想」アメリカ数学会誌. 14 (4): 941–1006. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3 .
イリノイ州マクドナルド (1988)。「対称関数の新しいクラス」。ロタランジャン・ド・コンビナトワールセミナー。２０．出版物。 IRMA ストラスブール: 131–171。