ヒルベルト級数とヒルベルト多項式

可換代数において、ヒルベルト関数、ヒルベルト多項式、および体上で有限生成された次数付き可換代数のヒルベルト級数は、代数の同次成分の次元の増加を測定する 3 つの密接に関連した概念です。

これらの概念は、フィルタ代数、これらの代数上の次数付きまたはフィルタされた加群、および射影スキーム上のコヒーレント層に拡張されています。

これらの概念が使用される典型的な状況は次のとおりです。

• 多変数多項式環の 同次イデアルによる商。全次数で格付けされます。
• 多変数多項式環のイデアルによる商。総次数でフィルタリングされます。
• 局所環をその最大イデアルの冪でフィルタリングすること。この場合、ヒルベルト多項式はヒルベルト・サミュエル多項式と呼ばれます。

代数または加群のヒルベルト級数は、次数付きベクトル空間のヒルベルト・ポアンカレ級数の特殊なケースです。

ヒルベルト多項式とヒルベルト級数は、明示的な多項式方程式によって定義される代数多様体の次元と次数を計算する最も簡単な方法であるため、計算代数幾何学において重要です。さらに、平坦な族は任意の閉点上で同じヒルベルト多項式を持つため、これらは代数多様体の族に有用な不変量を提供します。これは、ヒルベルトスキームとQuotスキームの構築に使用されます。 ${\displaystyle \pi :X\to S}$${\displaystyle s\in S}$

体K上の有限生成次数可換代数 Sを考えます。これは正の次数の元によって有限生成されます。これは次のことを意味します。

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

そしてそれは。 ${\displaystyle S_{0}=K}$

ヒルベルト関数

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

は整数nをKベクトル空間S _nの次元に写す。ヒルベルト級数は、より一般的な次数付きベクトル空間の設定ではヒルベルト・ポアンカレ級数と呼ばれ、形式級数である。

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Sがh個の正次同次元によって生成される場合、ヒルベルト級数の和は有理分数である。 ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},}$

ここで、Q は整数係数を持つ多項式です。

Sが1次の元で生成される場合、ヒルベルト級数の和は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

ここで、P は整数係数の多項式であり、SのKrull 次元です。 ${\displaystyle \delta}$

この場合、この有理分数の級数展開は

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

どこ

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\デルタ -1)!}}}$

はの二項係数であり、それ以外の場合は 0 です。 ${\displaystyle n>-\delta ,}$

もし

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

の 係数は${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle HS_{S}(t)}$

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

この和の添え字iの項は、 n次で係数が の多項式である。これは、 nが十分に大きい場合に に等しい有理係数の多項式が唯一存在することを示す。この多項式はヒルベルト多項式であり、次の形式を持つ。 ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$${\displaystyle \delta -1}$${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$${\displaystyle HP_{S}(n)}$${\displaystyle HF_{S}(n)}$

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.}$

n ≥ n ₀に対してとなる最小のn _{0 を}ヒルベルト正則性と呼びます。 より小さい場合もあります。 ${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$${\displaystyle \deg P-\delta +1}$

ヒルベルト多項式は次元が整数であるため数値多項式であるが、多項式が整数係数を持つことはほとんどない (Schenck 2003、pp. 41)。

これらの定義はすべて、 S上の有限生成次数付きモジュールに拡張できますが、唯一の違いは、因子t ^{m が}ヒルベルト級数に現れることです。ここで、m はモジュールの生成元の最小次数であり、負になる場合があります。

フィルタ代数のヒルベルト関数、ヒルベルト級数、ヒルベルト多項式は、関連する次数代数のものである。

P ⁿの射影多様体 Vのヒルベルト多項式は、Vの同次座標環のヒルベルト多項式として定義されます。

多項式環とそれらの斉次イデアルによる商は、典型的な次数付き代数です。逆に、S が体K上にn個の次数 1 の斉次元g ₁ , ..., g _nによって生成される次数付き代数である場合、 X _{i を}g _iへ写す写像は、 からSへの次数付き環の準同型写像を定義します。その核は斉次イデアルIであり、これはとSの間の次数付き代数の同型写像を定義します。 ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle R_{n}/I}$

したがって、次数 1 の元によって生成される次数付き代数は、同型性を除いて、同次イデアルによる多項式環の商とまったく同じです。したがって、この記事の残りの部分は、イデアルによる多項式環の商に限定されます。

ヒルベルト級数とヒルベルト多項式は、正確な数列に対して加法的である。より正確には、

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

段階的またはフィルタリングされたモジュールの正確なシーケンスである場合、

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

そして

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

これはベクトル空間の次元に対する同じ性質から直ちに導かれます。

Aを次数付き代数とし、fをAの次数dの同次元で零因子でないものとしましょう。すると、

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

これは、正確なシーケンスの加法性から導かれる。

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

ここで、 fと書かれた矢印はfによる乗算であり、 はAから次数をdずらすことによって得られる次数付き加群であり、fによる乗算の次数が 0 となる。これは、${\displaystyle A^{[d]}}$${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

不定元における多項式環のヒルベルト級数は ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

ヒルベルト多項式は

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

ヒルベルト級数がこの単純な形を持つことの証明は、非ゼロの除数（ここでは）による商の前の公式を再帰的に適用し、次のことを指摘することによって得られる。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

最大同次イデアル、つまり次数 1 の同次元によって生成されるイデアルが冪零である場合、次数 1 の同次代数AはKrull 次元が0 になります。これは、 Kベクトル空間としてのAの次元が有限であり、 Aのヒルベルト級数が多項式P ( t )であり、 P (1)がKベクトル空間としてのAの次元に等しいことを意味します。

Aの Krull 次元が正の場合、零因子ではない 1 次同次元fが存在します (実際、1 次元のほぼすべてがこの特性を持っています)。A / (f)のKrull 次元は、 AのKrull 次元から1 を引いたものです。

ヒルベルト級数の加法性は、 であることを示しています。これをAのクルル次元に等しい回数繰り返すと、最終的に、ヒルベルト級数が多項式P ( t )である次元 0 の代数が得られます。これは、 Aのヒルベルト級数が ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

ここで多項式P ( t )はP (1)≠0であり、dはAのクルル次元である。

このヒルベルト級数の式は、ヒルベルト多項式の次数がdであり、その主係数が であることを意味します。 ${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$

ヒルベルト級数を使うと、代数多様体の次数をヒルベルト級数の分子の 1 における値として計算することができます。これにより、ベズーの定理のかなり簡単な証明も得られます。

射影代数集合の次数とヒルベルト級数の関係を示すために、同次イデアルの零点の集合として定義される射影代数集合Vを考えます。ここでk は体であり、 は代数集合上の正則関数の環とします。 ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

このセクションでは、代数集合の既約性やイデアルの素数性は必要ありません。また、ヒルベルト級数は係数体の拡張によって変化しないので、一般性を失うことなく、体k は代数的に閉じていると想定されます。

Vの次元d はRのクルル次元から 1 を引いた値に等しく、 Vの次数は、一般的な位置における超平面の交点とVの交点の数（重複度を含む）である。これは、 Rにおいて、次数 1 のd + 1個の同次多項式の正規列が存在することを意味する。正規列の定義は、正確な列の存在を意味する 。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

これは次のことを意味する ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

ここで、 はRのヒルベルト級数の分子です。 ${\displaystyle P(t)}$

環はクルル次元が1で、有限個の点（複数の点でもよい）からなる次元0の射影代数集合の正則関数の環である。 は正則列に属するため、これらの点はいずれも方程式の超平面には属さない。この超平面の補集合は、を含むアフィン空間である。これにより、をその正則関数の環とするアフィン代数集合 が形成される。線型多項式は の零因子ではないため、正確な列が得られる。 ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle h_{d}}$${\displaystyle h_{d}=0.}$${\displaystyle V_{0}.}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$${\displaystyle h_{d}-1}$${\displaystyle R_{1},}$

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

これは、

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

ここでは、フィルタされた代数のヒルベルト級数を使用していますが、次数付き代数のヒルベルト級数は、フィルタされた代数としてのヒルベルト級数でもあるという事実を使用しています。

したがって、はアルティン環であり、これは次元P (1)のkベクトル空間であり、ジョルダン・ヘルダーの定理を使用して、P (1)が代数集合Vの次数であることを証明できます。実際、点の重複度は、合成系列における対応する最大イデアルの出現回数です。 ${\displaystyle R_{0}}$

ベズーの定理を証明するには、同様の手順を踏めばよい。がRの零因子ではない次数の斉次多項式である場合、正確な数列 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

を示している

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

分子に注目すると、ベズーの定理の次の一般化が証明されます。

定理- f が次数の斉次多項式で、 Rの零因子でない場合、 Vと で定義される超曲面の交差の次数は、Vの次数と の積である。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta .}$

より幾何学的な形で言い換えると、次のようになります。

定理- 次数dの射影超曲面に次数δの代数集合の既約成分が含まれていない場合、それらの交差の次数はdδです。

通常のベズーの定理は、超曲面から始めて、それをn − 1 個の他の超曲面と次々に交差させることで簡単に導き出されます。

射影代数集合は、その定義イデアルが正規列によって生成される場合、完全な交差になります。この場合、ヒルベルト級数の簡単な明示的な式が存在します。

を のk 個の同次多項式とし、それぞれの次数を とすると、 1 を設定すると次の正確な数列が得られる 。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

ヒルベルト級数の加法性は、

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

単純な再帰により

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

これは、 k個の多項式の正規列によって定義される完全な交差がkの余次元を持ち、その次数が列内の多項式の次数の積であることを示しています。

ヒルベルトの合同定理により、次数付き正則環R上のすべての次数付き加群Mは次数付き自由分解を持つ。つまり、次の正確な列が存在する。

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

ここで、 は次数付き自由加群であり、矢印は次数 0 の次数 付き線型写像です。${\displaystyle L_{i}}$

ヒルベルト級数の加法性は、

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

が多項式環であり、 の基底元の次数がわかっている場合、前のセクションの公式から を演繹することができます。実際、これらの公式は、次数付き自由加群Lがh次の同次元を持つ基底を持つ場合、そのヒルベルト級数は ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle L_{i},}$${\displaystyle HS_{M}(t)}$${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

これらの式は、ヒルベルト級数を計算する方法と見なすことができます。ただし、既知のアルゴリズムでは、ヒルベルト級数の計算と自由解像度の計算は同じグレブナー基底から開始されるため、これはまれなケースです。グレブナー基底からヒルベルト級数を直接計算すると、計算の複雑さは自由解像度の計算の複雑さよりも高くありません。

ヒルベルト多項式はヒルベルト級数から簡単に演繹できます (上記参照)。このセクションでは、総次数でフィルタリングまたは段階付けされた多項式環の商の場合にヒルベルト級数を計算する方法について説明します。

したがって、K を体、を多項式環とし、I をRのイデアルとします。H をIの最高次数の同次部分によって生成される同次イデアルとします。 I が同次であれば、H = Iです。最後に、B を、全次数部分順序を洗練する単項式順序に対するIのグレブナー基底とし、G をBの元の主単項式によって生成される（同次）イデアルとします。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

ヒルベルト級数の計算は、フィルタされた代数 R/I と次数付き代数 R/H および R/G が同じヒルベルト級数を持つという事実に基づいています。

したがって、ヒルベルト級数の計算は、グレブナー基底の計算を通じて、単項式によって生成されたイデアルの同じ問題に簡略化されます。これは通常、グレブナー基底の計算よりもはるかに簡単です。計算全体の計算の複雑さは、主に規則性、つまりヒルベルト級数の分子の次数に依存します。実際、グレブナー基底は、規則性によって制限される次数の多項式上の線型代数によって計算できます。

ヒルベルト級数とヒルベルト多項式の計算は、ほとんどのコンピュータ代数システムで利用できます。たとえば、MapleとMagmaの両方で、これらの関数はHilbertSeriesとHilbertPolynomialという名前です。

代数幾何学では、次数 1 の元によって生成される次数付き環はProj 構成によって射影スキームを生成し、有限生成次数付き加群は連接層に対応します。 が射影スキームX上の連接層である場合、 のヒルベルト多項式を関数 として定義します。ここで、χは連接層のオイラー特性、 はセールねじれです。 この場合のオイラー特性は、グロタンディークの有限性定理によって明確に定義された数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$

この関数は確かに多項式です。^[1] mが大きい場合、セールの消失定理によりdimと一致します。Mが有限生成次数付きモジュールであり、関連するコヒーレント層である場合、ヒルベルト多項式の2つの定義は一致します。 ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

射影多様体上の連接層の圏は、有限個の次数部分を法とする次数付き加群の圏と同値なので、前の節の結果を使って連接層のヒルベルト多項式を構成することができる。例えば、多次数の完全交差は 、${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

• カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性
• ヒルベルトスキーム
• 引用スキーム