デイヴィッド・ヒルベルト

デイヴィッド・ヒルベルト
1912年のヒルベルト
生まれる	( 1862-01-23 )1862年1月23日 ケーニヒスベルクまたはヴェーラウ、プロイセン王国
死亡	1943年2月14日（1943-02-14）（81歳） ゲッティンゲン、ナチスドイツ
教育	ケーニヒスベルク大学(博士号)
知られている	ヒルベルトの基底定理 ヒルベルトのヌルステレンザッツ ヒルベルトの公理 ヒルベルトの問題 ヒルベルトのプログラム アインシュタイン-ヒルベルト作用 ヒルベルト空間 ヒルベルト系 イプシロン微積分
配偶者	ケーテ・イェロシュ
子供たち	フランツ（1893年生まれ）
受賞歴	ロバチェフスキー賞 （1903年） ボヤイ賞 （1910年） ForMemRS （1928年）[1]
科学者としてのキャリア
フィールド	数学、物理学、哲学
機関	ケーニヒスベルク大学 ゲッティンゲン大学
論文	特殊二元形式、特に球面関数の不変特性について (1885)
博士課程の指導教員	フェルディナント・フォン・リンデマン[2]
博士課程の学生	ヴィルヘルム・アッカーマン ハインリヒ・ベーマン フェリックス・バーンスタイン オットー・ブルメンタール アン・ボスワース ヴェルナー・ボーイ ウーゴ・ブロギ リチャード・クーラント ハスケル・カリー マックス・デーン ルートヴィヒ・フェップル ルドルフ・フューター ポール・ファンク カート・グレリング アルフレッド・ハール エーリッヒ・ヘッケ アール・ヘドリック エルンスト・ヘリンガー ウォーリー・ハーウィッツ マーガレーテ・カーン オリバー・ケロッグ ヘルムート・クネザー ロバート・ケーニッヒ エマニュエル・ラスカー クララ・レーベンシュタイン チャールズ・マックス・メイソン アレクサンダー・ミラー エアハルト・シュミット クルト・シュッテ アンドレアス・シュパイザー ヒューゴ・シュタインハウス ガブリエル・スーダン 高木貞治 ヘルマン・ワイル エルンスト・ツェルメロ
その他の著名な学生	エドワード・カスナー ジョン・フォン・ノイマン カール・グスタフ・ヘンペル

ダフィト・ヒルベルト （/ ˈ h ɪ l b ər t / ; ^[3] ドイツ語: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 1862年1月23日 - 1943年2月14日）は、ドイツの数学者、数学哲学者であり、当時最も影響力のある数学者の一人であった。

ヒルベルトは、不変式理論、変分法、可換代数、代数的数論、幾何学の基礎、作用素のスペクトル理論とその積分方程式への応用、数理物理学、数学の基礎（特に証明論）を含む広範囲にわたる基本的なアイデアを発見し、発展させた。彼はゲオルク・カントールの集合論と超限数を採用し、擁護した。1900年に、彼は20世紀の数学研究の方向性を定める一連の問題を提示した。^{[4] [5]}

ヒルベルトと彼の弟子たちは厳密さを確立することに貢献し、現代の数理物理学で使用される重要なツールを開発した。彼は証明理論と数理論理学の共同創始者であった。^[6]

ヒルベルトは、郡裁判官のオットーと商人の娘マリア・テレーズ・ヒルベルト（旧姓エルトマン）の2人兄弟の長男で唯一の息子として、プロイセン王国プロイセン州、ケーニヒスベルク（ヒルベルト自身の発言による）もしくは出生当時父親が働いていたケーニヒスベルク近郊のヴェーラウ（1946年以降ズナメンスクとして知られる）で生まれた。父方の祖父は裁判官で下級裁判所のダヴィド・ヒルベルトである。母親のマリアは哲学、天文学、素数に興味を持ち、父親のオットーは彼にプロイセンの美徳を教えた。父親が市裁判官になった後、家族はケーニヒスベルクに引っ越した。ダヴィドの妹エリーゼは彼が6歳のときに生まれた。彼は通常の就学年齢より2年遅い8歳で学校に通い始めた。^[7]

1872年後半、ヒルベルトはフリードリヒスコーレ ・ギムナジウム（コレギウム・フリデリチアヌム、 140年前にイマヌエル・カントが通っていた学校）に入学したが、不幸な時期を経て、より科学志向のヴィルヘルム・ギムナジウムに転校し（1879年後半）、1880年初頭に卒業した。^[8]卒業後、1880年秋、ヒルベルトはケーニヒスベルク大学（アルベルティーナ）に入学した。1882年初頭、ヘルマン・ミンコフスキー（ヒルベルトより2歳年下で、やはりケーニヒスベルク出身だが、3学期ベルリンに通っていた）^[9]がケーニヒスベルクに戻り、大学に入学した。ヒルベルトは内気で才能豊かなミンコフスキーと生涯の友情を育んだ。^{[10] [11]}

1884年、アドルフ・フルヴィッツがゲッティンゲンから特任助教授として着任した。3人の間で活発で実りある科学交流が始まり、特にミンコフスキーとヒルベルトは科学者としてのキャリアのさまざまな時期に互いに影響を及ぼし合った。ヒルベルトは1885年、フェルディナント・フォン・リンデマンの指導の下、^{[2]執筆した「特殊}二進形式、特に球面調和関数の不変特性について」と題する論文で博士号を取得した。

ヒルベルトは1886年から1895年までケーニヒスベルク大学に私講師として留まった。1895年、フェリックス・クラインの介入により、ゲッティンゲン大学の数学教授の地位を得た。クラインとヒルベルトの時代に、ゲッティンゲンは数学界の卓越した機関となった。^[12]彼は生涯そこに留まった。

ヒルベルトの弟子には、ヘルマン・ワイル、チェスチャンピオンのエマヌエル・ラスカー、エルンスト・ツェルメロ、カール・グスタフ・ヘンペルなどがいた。助手にはジョン・フォン・ノイマンがいた。ゲッティンゲン大学では、ヒルベルトはエミー・ネーターやアロンゾ・チャーチなど、20世紀の最も重要な数学者たちの社交界に囲まれていた。

ゲッティンゲンで学んだ69人の博士課程の学生の中には、後に有名な数学者となった人々が数多くいた。その中には、オットー・ブルーメンタール（1898年） 、フェリックス・バーンスタイン（1901年）、ヘルマン・ワイル（1908年）、リチャード・クーラント（1910年）、エーリッヒ・ヘッケ（1910年）、フーゴ・シュタインハウス（1911年）、ヴィルヘルム・アッカーマン（1925年）などがいる（論文執筆年月日付き）。^{[13 ] 1902年から1939年の間、ヒルベルトは当時の有力な数学雑誌『} Mathematische Annalen』の編集者を務めた。 1907年には米国科学アカデミーの国際会員に選出された。 ^[14]

1892年、ヒルベルトはケーテ・イェロシュ（1864年 - 1945年）と結婚した。彼女はケーニヒスベルクの商人の娘で、「ヒルベルトに匹敵する、率直で独立した精神を持った若い女性」だった。^[15]ケーニヒスベルクにいる間に、二人の間にはフランツ・ヒルベルト（1893年 - 1969年）という一人息子が生まれた。フランツは生涯精神病に苦しみ、精神科に入院した後、ヒルベルトは「これからは、自分には息子がいないと考えなければならない」と語った。フランツに対するヒルベルトの態度はケーテにかなりの悲しみをもたらした。^[16]

ヒルベルトは数学者ヘルマン・ミンコフスキーを「最も親しく、最も真実な友人」と考えていた。^[17]

ヒルベルトはプロイセン福音教会で洗礼を受け、カルヴァン派として育てられた。^[a]その後、彼は教会を離れ、不可知論者となった。^[b]彼はまた、数学的真理は神の存在や他の先験的仮定とは無関係であると主張した。^{[c] [d]}ガリレオ・ガリレイが地動説に対する信念を貫かなかったとして批判されたとき、ヒルベルトは反論した。「しかし、[ガリレオ]は馬鹿ではなかった。科学的真理には殉教が必要だと信じることができるのは馬鹿だけだ。宗教では殉教は必要かもしれないが、科学的結果は時が経てば証明されるのだ。」^[e]

アルベルト・アインシュタインと同様に、ヒルベルトもベルリン・グループと最も親しい関係にあった。ベルリン・グループの創設者の1人はゲッティンゲンでヒルベルトの下で学んだ（クルト・グレリング、ハンス・ライヘンバッハ、ヴァルター・ドゥビスラフ）。^[18]

1925年頃、ヒルベルトは悪性貧血を発症した。これは当時は治療不可能だったビタミン欠乏症で、主な症状は疲労感である。助手のユージン・ウィグナーは、ヒルベルトが「ひどい疲労感」に悩まされ、「かなり老けて見えた」と述べ、最終的に診断され治療を受けた後も「1925年以降は科学者どころか、ヒルベルトでもなかった」と述べている。^[19]

ヒルベルトは1932年にアメリカ哲学協会に選出された。 ^[20]

ヒルベルトは、 1933年にナチスがゲッティンゲン大学の著名な教授陣の多くを粛清するのを目の当たりにした。 ^[21]追放された者には、ヘルマン・ワイル（1930年にヒルベルトが引退した後、その教授職を引き継いでいた）、エミー・ネーター、エドムント・ランダウなどがいる。ドイツを離れなければならなかったパウル・バーナイスは、ヒルベルトと数理論理学で協力し、重要な著書『数学の基礎』 ^{[22] （最終的には1934年と1939年に2巻本として出版された）を共著した。これは、1928年のヒルベルト=}アッカーマンの著書『数理論理学の原理』の続編であった。ヘルマン・ワイルの後継者はヘルムート・ハッセである。

約1年後、ヒルベルトは宴会に出席し、新任の教育大臣ベルンハルト・ルストの隣に座った。ルストは「ユダヤ人の離脱により数学研究所は本当に大きな打撃を受けたのか」と尋ねた。ヒルベルトは「打撃を受けた？もう存在しないのではないだろうか」と答えた。^{[23] [24]}

1943年にヒルベルトが死去するまでに、ナチスは大学の教員をほぼ完全に入れ替えていた。元教員の多くがユダヤ人かユダヤ人と結婚していたからである。ヒルベルトの葬儀には10人にも満たない参列者しかおらず、そのうち同僚の学者は2人だけで、その中には理論物理学者でケーニヒスベルク出身のアルノルド・ゾンマーフェルトもいた。 ^[25]彼の死の知らせが世間に知られるようになったのは、死後数か月経ってからであった。^[26]

ゲッティンゲンにある彼の墓石の碑銘には、1930年9月8日にドイツ科学者医師協会で行われた引退演説の最後に彼が語った有名な一節が刻まれている。この言葉はラテン語の格言「Ignoramus et ignorabimus」（「我々は知らないし、これからも知ることはない」）に応えてつけられたものである。^[27]

ヒルベルトが1930年のドイツ科学者医師協会の年次総会でこれらのフレーズを発表する前日、クルト・ゲーデルは、協会の会合と共同で開催された認識論会議中の円卓討論で、彼の不完全性定理の最初の表現を暫定的に発表しました。^[f] ゲーデルの不完全性定理は、ペアノ算術などの基本的な公理体系でさえ、自己矛盾しているか、その体系内で証明または反証することが不可能な論理命題を含んでいること を示しています。

ヒルベルトの不変関数に関する最初の研究は、1888 年に彼の有名な有限性定理の証明につながった。その 20 年前に、ポール ゴーダンは複雑な計算手法を使用して、2 値形式の生成子の有限性の定理を証明していた。彼の方法を 2 つ以上の変数を持つ関数に一般化する試みは、計算が非常に困難だったため失敗した。一部の界隈でゴーダンの問題として知られるようになった問題を解決するには、ヒルベルトはまったく異なる道をたどる必要があることに気付いた。その結果、ヒルベルトは、任意の数の変数を持つ量子の不変量に​​対して、生成子の有限集合の存在を示すヒルベルトの基底定理を抽象的な形で証明した。つまり、そのような集合の存在を証明しながらも、それは構成的証明ではなく (「オブジェクト」を示すものではなかった)、むしろ存在証明^{[28]であり、無限拡張における}排中律の使用に依存していた。

ヒルベルトはその結果をMathematische Annalenに送った。 Mathematische Annalenの不変量理論の専門家であるゴルダンはヒルベルトの定理の革命的な性質を理解できず、その論文を却下し、その説明が十分に包括的でないと批判した。彼のコメントは次の通りである。

一方、クラインは、この研究の重要性を認識し、一切の変更なく出版することを保証した。クラインに励まされたヒルベルトは、2番目の論文でこの手法を拡張し、最小の生成子セットの最大次数に関する推定値を提供し、それを再びアンナレン誌に送った。原稿を読んだ後、クラインはヒルベルトに次のように書いた。

疑いなく、これはアナレンがこれまでに出版した一般代数学に関する最も重要な著作である。^[30]

後にヒルベルトの方法の有用性が広く認識された後、ゴルダン自身は次のように言った。

私は神学にも価値があると確信しました。^[31]

ヒルベルトは多くの成功を収めたが、その証明の性質はヒルベルトが想像していた以上に多くの問題を引き起こした。クロネッカーは認めたものの、ヒルベルトは後に「多くの異なる構成が一つの基本的な考えに包含されている」という他の人々の同様の批判に答えた。言い換えれば（リードの言葉を引用すると）「存在の証明を通じてヒルベルトは構成を得ることができた」のであり、「証明」（つまりページ上の記号）が「目的」だった。 ^[31]全員が納得したわけではない。クロネッカーはその後まもなく亡くなったが、彼の構成主義哲学は若きブラウワーと彼の直観主義「学派」の発展とともに継承され、ヒルベルトは晩年、大いに苦しんだ。^[32]実際、ヒルベルトは直観主義のために「才能ある生徒」ワイルを失うことになる。「ヒルベルトは、かつての教え子がブラウワーの考えに魅了され、それがヒルベルトの心にクロネッカーの記憶を呼び起こしたことに心を乱された」。^[33]直観主義者のブラウワーは特に、ヒルベルトが用いたような無限集合上の排中律の使用に反対した。ヒルベルトはこう答えた。

数学者から排中律を引用することは、ボクサーに拳の使用を禁じることと同じである。^[34]

代数学において、体上のすべての多項式に根がある場合、そしてその場合に限り、体は代数的に閉じていると呼ばれます。この条件下で、ヒルベルトは変数の多項式の集合が共通の根を持つ場合の基準を与えました。これは、次のような 多項式と指数が存在しない場合に限ります。${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}$。

この結果はヒルベルトの根定理、またはドイツ語で「ヒルベルトの零点定理」として知られています。彼はまた、消失イデアルとその消失集合との間の対応が、におけるアフィン多様体と根基イデアルとの間で一対一であることも証明しました。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

1890 年、ジュゼッペ ペアノはMathematische Annalen 誌に、史上初の空間充填曲線について記述した記事を発表しました。これに対してヒルベルトは、現在ヒルベルト曲線と呼ばれている、そのような曲線の独自の構成を設計しました。この曲線の近似は、このセクションの最初の図の置換規則に従って反復的に構築されます。曲線自体は、点ごとの極限です。

1899年にヒルベルトが出版した『幾何学の基礎』 (訳:幾何学の基礎)では、伝統的なユークリッドの公理に代わる、ヒルベルトの公理と呼ばれる正式な公理集が提案されている。それらは、当時まだ教科書的に使われていたユークリッドの公理で特定された弱点を回避している。ヒルベルトは公理を何度も変更、修正しているため、『幾何学の基礎』の出版履歴を参照せずにヒルベルトが使用した公理を特定することは難しい。最初のモノグラフの直後にフランス語訳が出版され、ヒルベルトはそこで第2版の完全性公理を追加した。ヒルベルトの許可を得てEJタウンゼントが英語に翻訳し、1902年に著作権が取得された。^{[35] [36]}この翻訳はフランス語訳に加えられた変更を取り入れたため、第2版の翻訳であると考えられている。ヒルベルトはテキストに変更を加え続け、ドイツ語でもいくつかの版が出版された。第7版はヒルベルトの存命中に出版された最後の版である。第7版に続いて新版が出版されたが、本文は基本的に改訂されなかった。^[g]

ヒルベルトのアプローチは、現代の公理的方法への移行を告げるものでした。この点で、ヒルベルトは1882年のモーリッツ・パッシュの研究によって先取りされていました。公理は自明の真理として扱われるものではありません。幾何学は、私たちが強い直観を持っているものを扱うかもしれませんが、定義されていない概念に明示的な意味を割り当てる必要はありません。点、線、平面などの要素は、ヒルベルトがシェーンフライスとケッターに言ったと伝えられているように、テーブル、椅子、ビールのグラス、その他のそのようなオブジェクトで置き換えることができます。 ^[37]議論されているのは、それらの定義された関係です。

ヒルベルトはまず、点、線、平面、接線（点と線、点と平面、線と平面の関係）、媒介、点のペア（線分）の合同、角度の合同といった未定義の概念を列挙します。これらの公理は、ユークリッドの平面幾何学と立体幾何学の両方を単一のシステムに統一します。

ヒルベルトは、1900 年にパリで開催された国際数学者会議で、23 の未解決問題からなる非常に影響力のあるリストを発表しました。これは、個人の数学者によって作成された未解決問題のリストの中で最も成功し、深く検討されたリストであると一般に考えられています。^{[誰が作成したか? ]}

ヒルベルトは古典幾何学の基礎を再考した後、数学の残りの分野に応用することができた。彼のアプローチは、後の「基礎主義者」ラッセル・ホワイトヘッドや「百科全書主義者」ニコラ・ブルバキ、同時代のジュゼッペ・ペアノとは異なっていた。数学コミュニティ全体が、彼が数学の重要な分野の決定的な側面として特定した問題に取り組むことができた。

この問題集は、パリで開催された第 2 回国際数学者会議の期間中に発表された「数学の問題」という講演で発表されました。ヒルベルトが行った講演の序文には次のように書かれていました。

未来が隠されているベールを脱ぎ、科学の今後の発展とその数世紀後の発展の秘密を覗き見ることができて、喜ばない人がいるだろうか。未来の世代の数学者の精神が向かう先は何だろうか。新世紀は数学的思考の広大で豊かな分野において、どのような方法、どのような新しい事実を明らかにするだろうか。^[38]

ヒルベルトが会議で提示した問題は、会議の議事録に公表された問題の半分にも満たない。その後の出版物で、彼はその全体像を広げ、現在では標準問題となっているヒルベルトの 23 の問題を定式化した。ヒルベルトの第 24 の問題も参照のこと。問題の解釈は、いくつの問題が解決されたかと問われるたびに、依然として避けられない議論となるため、全文が重要である。

これらの問題のいくつかは短期間で解決されました。他の問題は 20 世紀を通じて議論されてきましたが、そのうちのいくつかは解決するには期限が不適切であると現在では考えられています。いくつかは依然として課題として残っています。

以下は、1902 年にアメリカ数学会報に翻訳されたヒルベルトの 23 の問題の見出しです。

1. 連続体の基数に関するカントールの問題。

2. 算術公理の互換性。

3. 底辺と高さが等しい 2 つの四面体の体積が等しいこと。

4. 2点間の最短距離としての直線の問題。

5. 群を定義する関数の微分可能性を仮定しない、変換の連続群に関するリーの概念。

6. 物理学の公理の数学的処理。

7. 特定の数の無理数と超越性。

8. 素数の問題（「リーマン予想」）。

9. 任意の数体における最も一般的な相互法則の証明。

10. ディオファントス方程式の可解性の判定。

11. 任意の代数数値係数を持つ二次形式

12. アーベル体上のクロネッカーの定理の任意の代数的有理性領域への拡張

13. 2つの引数のみを持つ関数によって7次の一般方程式を解くことは不可能である。

14. 特定の完全な関数系の有限性の証明。

15. シューベルトの列挙法の厳密な基礎。

16. 代数曲線と代数曲面の位相の問題。

17. 定形を四角形によって表現する。

18. 合同な多面体から空間を構築する。

19. 変分法における正規問題の解は必ず解析的になるのでしょうか?

20. 境界値の一般的な問題（PDE における境界値問題）。

21. 指定されたモノドロミー群を持つ線型微分方程式の存在の証明。

22. 保型関数による解析関係の統一化。

23. 変分法のさらなる発展。

20 世紀半ばまでに標準となった説明によれば、ヒルベルトの問題集は、 20 世紀の数学の 3 大学派の 1 つである形式主義学派の発展への道を開いた一種の宣言でもありました。形式主義学派によれば、数学とは合意された形式規則に従って記号を操作することです。したがって、数学は自律的な思考活動です。

1920 年、ヒルベルトは、後にヒルベルト プログラムとして知られるようになるメタ数学の研究プロジェクトを提案しました。彼は、数学が堅固で完全な論理的基礎の上に定式化されることを望んでいました。彼は、原理的には、次のことを示すことによってそれが実現できると信じていました。

1. すべての数学は、正しく選択された有限の公理系から導かれる。
2. そのような公理系は、イプシロン計算などの手段によって一貫していることが証明できる。

彼がこの提案をまとめた理由は、技術的かつ哲学的だったようだ。それは、当時のドイツ思想界でまだ活発な問題であった、エミール・デュ・ボワ＝レーモンに遡る、いわゆる「無知」に対する彼の嫌悪を表明するものだった。^[39]

このプログラムは、最も一般的な数学哲学では今でも認識されており、そこでは通常形式主義と呼ばれています。たとえば、ブルバキグループは、(a)百科事典的な基礎著作を書く、(b)研究ツールとして公理的方法をサポートするという2つのプロジェクトの要件を満たすものとして、このプログラムの骨抜きの選択的バージョンを採用しました。このアプローチは、代数学と関数解析におけるヒルベルトの研究に関連して成功し影響力がありましたが、物理学と論理学に対する彼の関心と同じようには関係しませんでした。

ヒルベルトは1919年に次のように書いています。

ここで我々は恣意性について語っているのではない。数学は、恣意的に規定されたルールによって課題が決定されるゲームのようなものではない。むしろ、数学は、そうでしかあり得ず、決してそうでないことができない内部的な必然性を備えた概念体系である。^[40]

ヒルベルトは、数学の基礎に関する自身の見解を 2 巻からなる著作『数学の基礎』で発表しました。

ヒルベルトと彼の事業で彼とともに働いた数学者たちは、このプロジェクトに全力を尽くした。理論上の不確実性を排除できる明確な原理で公理化された数学を支えようとする彼の試み​​は失敗に終わった。

ゲーデルは、少なくとも算術を含むほど包括的な矛盾のない形式体系は、それ自体の公理によってその完全性を証明することはできないことを証明した。1931年に彼の不完全性定理は、ヒルベルトの壮大な計画が述べられているようには不可能であることを示した。公理体系が真に有限である限り、2番目の点は1番目の点と合理的に組み合わせることはできない。

それでも、その後の証明理論の成果は、数学者にとって中心的な関心事である理論に関して、少なくとも一貫性を明確にした。ヒルベルトの研究は、論理学をこの明確化の道に導いた。ゲーデルの研究を理解する必要性は、1930年代に再帰理論の発展、そして独立した学問としての数理論理学の発展につながった。アロンゾ・チャーチとアラン・チューリングの研究における後の理論計算機科学の基礎も、この「議論」から直接生まれた。^[41]

1909年頃、ヒルベルトは微分方程式と積分方程式の研究に専念し、彼の仕事は現代の関数解析の重要な部分に直接的な影響を及ぼしました。これらの研究を実行するために、ヒルベルトは無限次元ユークリッド空間の概念を導入しました。これは後にヒルベルト空間と呼ばれるようになりました。解析のこの部分における彼の仕事は、予期せぬ方向からではありましたが、次の20年間の物理学の数学への重要な貢献の基礎となりました。後に、シュテファン・バナッハがこの概念を拡張し、バナッハ空間を定義しました。ヒルベルト空間は、関数解析、特に20世紀を通じてその周りに形成された自己随伴線型作用素の スペクトル理論の分野における重要なオブジェクトのクラスです。

1912 年まで、ヒルベルトは純粋数学者という立場にほぼとどまっていた。物理学の研究に没頭していたボンからヒルベルトを訪問する計画を立てていたとき、同僚の数学者で友人のヘルマン・ミンコフスキーは、ヒルベルトに会う前に 10 日間隔離しなければならないと冗談を言った。実際、1912 年以前のヒルベルトの物理学研究の大半はミンコフスキーの手によるもので、1905 年のこのテーマに関する共同セミナーもその 1 つである。

友人の死から3年後の1912年、ヒルベルトは物理学にほぼ専念するようになった。彼は「物理学の家庭教師」を雇った。^[42]彼は運動気体理論の研究を始め、初等放射線理論と物質の分子理論へと進んだ。1914年に戦争が始まった後も、彼はセミナーや授業を続け、アルベルト・アインシュタインら の研究を綿密に追跡した。

1907年までに、アインシュタインは重力理論の基礎を組み立てていたが、その後、理論を最終的な形にするために約8年間苦労した。^[43] 1915年の初夏までに、ヒルベルトの物理学における関心は一般相対性理論に集中し、彼はアインシュタインをゲッティンゲンに招き、このテーマについて1週間の講義を行わせた。^[44]アインシュタインはゲッティンゲンで熱烈な歓迎を受けた。^[45]夏の間、アインシュタインはヒルベルトも場の方程式に取り組んでいることを知り、自身の研究を倍加させた。1915年11月、アインシュタインはいくつかの論文を発表し、最終的に『重力の場の方程式』 （アインシュタインの場の方程式を参照）となった。^[h]ほぼ同時に、ヒルベルトは場の方程式の公理的導出である『物理学の基礎』（アインシュタイン・ヒルベルト作用を参照）を発表した。ヒルベルトはアインシュタインを理論の創始者として全面的に認めており、二人の生存中、場の方程式に関する優先権をめぐる公的な争いは一度も起きなかった。^{[i]詳細は、}優先順位を参照。

さらに、ヒルベルトの研究は量子力学の数学的定式化におけるいくつかの進歩を予見し、支援した。彼の研究は、ヘルマン・ワイルとジョン・フォン・ノイマンによるヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学とエルヴィン・シュレーディンガーの波動方程式の数学的同等性に関する研究の重要な側面であり、彼の名を冠したヒルベルト空間は量子論において重要な役割を果たしている。1926年、フォン・ノイマンは、量子状態がヒルベルト空間内のベクトルとして理解されれば、それらはシュレーディンガーの波動関数理論とハイゼンベルクの行列の両方に対応することを示した。^[j]

物理学に没頭していた間ずっと、ヒルベルトは物理学の数学に厳密さを取り入れることに取り組んだ。物理学は高等数学に大きく依存しているにもかかわらず、物理学者はそれを「いい加減」にする傾向があった。ヒルベルトのような純粋数学者にとって、これは醜悪で理解しにくいことだった。物理学と物理学者がどのように数学を使用しているかを理解し始めると、彼は自分が発見したもの、特に積分方程式の分野で首尾一貫した数学理論を展開した。同僚のリチャード・クーラントがヒルベルトのアイデアを一部含む今では古典となったMethoden der mathematischen Physik (数理物理学の方法) を執筆したとき、ヒルベルトが直接執筆に貢献していないにもかかわらず、著者としてヒルベルトの名前を加えた。ヒルベルトは「物理学は物理学者には難しすぎる」と述べ、必要な数学は一般に物理学者の手に負えないことを暗に示していたが、クーラント=ヒルベルトの本は彼らにとってそれを容易にした。

ヒルベルトは1897年の論文『数に関する報告』で代数的整数論の分野を統一した。また、1770年にワーリングが定式化した重要な整数論の問題も解決した。有限性定理と同様に、ヒルベルトは答えを出すメカニズムを提供するのではなく、問題には必ず解が存在することを示す存在証明を使用した。^[46]その後、ヒルベルトはこの主題についてほとんど出版しなかったが、学生の論文にヒルベルト・モジュラー形式が登場したことで、ヒルベルトの名前がさらに重要な分野に結びついた。

彼は類体理論に関する一連の予想を立てた。その概念は大きな影響力を持ち、彼自身の貢献はヒルベルト類体や局所類体理論のヒルベルト記号という名前で生き続けている。結果は高木貞治の研究の後、1930年までにほぼ証明された。^[k]

ヒルベルトは解析的整数論の中心的分野では研究していなかったが、逸話的な理由からヒルベルト・ポリア予想でその名が知られるようになった。ヒルベルトの弟子であったエルンスト・ヘリンガーはかつてアンドレ・ヴェイユに、ヒルベルトは1900年代初頭のゼミで、リーマン予想の証明はフレドホルムの対称核を持つ積分方程式の研究の結果であると予想していると発表したと語ったことがある。^[47]

彼の全集（Gesammelte Abhandlungen）は何度も出版されている。彼の論文の原版には「程度の差はあれ、多くの技術的誤り」が含まれていた。^{[48]コレクションが最初に出版されたとき、誤りは訂正され、}連続体仮説の証明という例外を除いて、定理の記述に大きな変更を加えることなく訂正できることが判明した。^{[49] [50]}それでも誤りはあまりにも多く重大であったため、オルガ・タウスキー＝トッドは訂正に3年を要した。^[50]

• Ewald, William B. 編 (1996)。『カントからヒルベルトまで: 数学の基礎の参考書』オックスフォード、イギリス: オックスフォード大学出版局。
  • 1918年。「公理的思考」1114-1115。
  • 1922年。「数学の新しい基礎：第一報告」、1115～1133。
  • 1923年。「数学の論理的基礎」、1134-1147。
  • 1930年。「論理と自然に関する知識」、1157-1165。
  • 1931年。「初等数論の基礎」1148-1156。
  • 1904年。「論理と算術の基礎について」129-138。
  • 1925年「無限について」367-392。
  • 1927年、「数学の基礎」、ワイルの解説とバーネイズの付録付き、464-489ページ。
• ヴァン・ヘイエノールト、ジャン（1967年）。『フレーゲからゲーデルまで：1879年から1931年までの数理論理学の参考書』ハーバード大学出版局。
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Wikisource にはDavid Hilbert による、または David Hilbertに関する原著作品があります。

ウィキメディア・コモンズには、ダヴィド・ヒルベルトに関連するメディアがあります。

Wikiquote にDavid Hilbertに関する引用があります。

• ヒルベルト・バーネイズ・プロジェクト
• ヒルベルトの23の問題への取り組み
• ICMM 2014はD.ヒルベルトの追悼に捧げられます
• プロジェクト・グーテンベルクのデイヴィッド・ヒルベルトの作品
• インターネット アーカイブにある David Hilbert の著作または David Hilbert に関する作品
• LibriVoxの David Hilbert の作品(パブリック ドメイン オーディオブック)
• 1930年にケーニヒスベルクで録音されたヒルベルトのラジオ演説（ドイツ語） 2006年2月14日にWayback Machineにアーカイブされ、英語訳付き 2020年11月12日にWayback Machineにアーカイブされました
• Wolfram MathWorld – ヒルベルト定数
• 数学系譜プロジェクトのデイヴィッド・ヒルベルト
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「デイヴィッド ヒルベルト」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 「ヒルベルトの問題から未来へ」、グレシャム カレッジのロビン ウィルソン教授による講義、2008 年 2 月 27 日 (テキスト、音声、ビデオの各形式で利用可能)。
• 20 世紀のデイヴィッド・ヒルベルトに関する新聞記事ZBWの報道アーカイブ