超越的な機能

数学において、超越関数とは、係数が独立変数の関数であり、加算、減算、乗算、除算の基本演算のみを使用して記述できる多項式方程式を満たさない解析関数である（極限を取る必要はない）。これは代数関数とは対照的である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

最もよく知られている超越関数は、指数関数、三角関数、双曲線関数、およびそれらの逆関数（対数関数や逆三角関数など）です。ガンマ関数、誤差関数、ベッセル関数、リーマンゼータ関数などの特殊関数はすべて超越関数です。

超越関数を含む方程式は超越方程式である。

形式的には、解析関数${\displaystyle f}$1 つの実数または複素数の変数の関数は、その変数から代数的に独立している場合、超越関数である。^{[ 3 ]}これは、その関数がどの多項式方程式も満たさないことを意味する。たとえば、関数${\displaystyle f}$によって与えられた

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$すべての人々のために${\displaystyle x\neq -{\frac {d}{c}}}$

は超越関数ではなく代数関数である。なぜなら、多項式方程式を満たすからである。

${\displaystyle (ax+b)-(cx+d)f(x)=0}$。

同様に、関数${\displaystyle f}$方程式を満たす

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$すべての人々のために${\displaystyle x}$

は超越関数ではなく代数関数であるが、基本的な算術演算を含む有限の式として表すことはできない。

この定義は、複数の変数を持つ関数にも拡張できる。

超越関数である正弦と余弦は、古代において物理的な測定値から表にまとめられており、ギリシャ（ヒッパルコス）やインド（ジャヤとコティジャヤ）でその証拠が見られる。正弦表に相当するプトレマイオスの弦表について、オラフ・ペダーセンは次のように書いている。

プトレマイオスは、連続性という数学的な概念を明示的な概念として認識していなかった。しかし、彼がこれらの関数を連続関数として扱っていたことは、線形補間という単純な方法で、独立変数の任意の値に対応する従属変数の値を決定することが可能であるという彼の暗黙の前提から明らかである。^{[ 4 ]}

これらの円関数に関する革新的な理解は18世紀に起こり、1748年にレオンハルト・オイラーが著書『無限の解析入門』で解説しました。これらの古代の超越関数は、アルキメデスが『放物線の求積法』を発表してから2000年後の1647年にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが直角双曲線xy = 1の求積法によって連続関数として知られるようになりました。

双曲線の下の面積は、境界の比率が一定の場合、面積が一定であるというスケーリング特性を持つことが示されました。このように記述された双曲線対数関数は、1748年にレオンハルト・オイラーが定数を可変指数で累乗する関数、例えば定数の底がeである指数関数と関連付けるまで、あまり役に立ちませんでした。これらの超越関数を導入し、逆関数を意味する全単射性に注目することで、自然対数が代数関数ではない場合でも、自然対数の代数的操作を行うための便宜がもたらされました。

指数関数は次のように書かれる$\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$オイラーはそれを無限級数と同一視した。${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$ここで、k !はkの階乗を表します。

この級数の偶数項と奇数項は、cosh( x )とsinh( x )を表す和を与えるので、${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$これらの超越双曲線関数は、級数に(−1) ^kを導入することで、正弦関数と余弦関数という円関数に変換でき、交代級​​数が得られます。オイラー以降、数学者は正弦関数と余弦関数をこのように捉え、超越性を対数関数や指数関数と関連付け、複素数演算ではしばしばオイラーの公式を用います。

以下の関数は超越関数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=e^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=\ln {x}\\[2pt]f_{4}(x)&=\cosh {x}\\f_{5}(x)&=\sinh {x}\\f_{6}(x)&=\tanh {x}\\f_{7}(x)&=\sinh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{8}(x)&=\tanh ^{-1}{x}\\[2pt]f_{9}(x)&=\cos {x}\\f_{10}(x)&=\sin {x}\\f_{11}(x)&=\tan {x}\\f_{12}(x)&=\sin ^{-1}{x}\\[2pt]f_{13}(x)&=\cos ^{-1}{x}\\[2pt]f_{14}(x)&=\tan ^{-1}{x}\\[2pt]f_{15}(x)&=x!\\f_{16}(x)&={\frac {1}{x!}}\\[2pt]f_{17}(x)&=x^{x}\\[2pt]\end{aligned}}}$$

最初の機能については${\displaystyle f_{1}(x)}$指数${\displaystyle \pi }$は他の任意の無理数に置き換えることができ、関数は超越関数のままです。2番目と3番目の関数については、${\displaystyle f_{2}(x)}$そして${\displaystyle f_{3}(x)}$ベース${\displaystyle e}$は 1 以外の任意の正の実数基数に置き換えることができ、関数は超越関数のままです。関数 4～8 は双曲線三角関数を表し、関数 9～14 は円三角関数を表します。15 番目の関数${\displaystyle f_{15}(x)}$は、ガンマ関数による階乗関数の解析的拡張を表し、${\displaystyle f_{16}(x)}$は逆数であり、整関数である。最後に、最後の関数では${\displaystyle f_{17}(x)}$指数${\displaystyle x}$に置き換えることができます${\displaystyle kx}$任意の非ゼロ実数に対して${\displaystyle k}$そして、その関数は超越関数のままである。

最もよく知られている超越関数は、対数関数、指数関数（任意の非自明な底を持つ）、三角関数、双曲線関数、およびこれらの逆関数です。あまり知られていないのは、ガンマ関数、楕円関数、ゼータ関数などの解析学の特殊関数で、これらはすべて超越関数です。一般化された超幾何関数とベッセル関数は一般に超越関数ですが、特定のパラメータ値では代数関数になります。

超越関数は、加算、減算、乗算、除算、および${\displaystyle n}$th の根 (${\displaystyle n}$は任意の整数であり、何らかの「制限プロセス」を使用せずに、

超越関数ではない関数は代数関数です。代数関数の簡単な例としては、有理関数と平方根関数がありますが、一般に、代数関数は、上記の例で示されているように、基本関数の有限式として定義することはできません。${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)=x}$（アーベル・ルフィニの定理とブリングの根号を参照）。

多くの代数関数の不定積分は超越関数である。例えば、積分$\displaystyle \int _{t=1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$対数関数に等しいことが判明${\displaystyle \ln(x)}$同様に、多くの代数関数列の極限または無限和は超越関数です。たとえば、$\lim_{n\to\infty}\left(1+x}{n)^n$指数関数に収束する${\displaystyle e^{x}}$、そして無限和${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$双曲線余弦関数に等しいことが判明した${\displaystyle \cosh x}$実際、何らかの「極限操作」（積分、逐次極限、無限級数など）を用いずに、代数関数を用いて超越関数を定義することは不可能である。

微分代数学では、積分によって、例えば三角関数を変数とする多項式のように、あるクラスから代数的に独立した関数が頻繁に生成される仕組みを研究する。

数学物理学の特殊関数を含む、よく知られている超越関数のほとんどは、代数微分方程式の解です。ガンマ関数やゼータ関数など、そうでないものは、超越関数または超超越関数と呼ばれます。^{[ 5 ]}

fが代数関数であり、${\displaystyle \alpha }$α が代数的数であれば、f ( α )も代数的数である。逆は成り立たない。任意の代数的数αに対してf ( α )が代数的数となるような超越関数fが存在する。^{[ 6 ]}与えられた超越関数に対して、代数的な結果を与える代数的数の集合を、その関数の例外集合と呼ぶ。^{[ 7 ] [ 8 ]}正式には次のように定義される。

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.}$$

多くの場合、例外的な集合はかなり小さい。たとえば、${\displaystyle {\mathcal {E}}(\exp )=\{0\};}$これは1882年にリンデマンによって証明されました（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を参照）。特に、 exp(1) = eは超越数です。また、 exp( iπ ) = −1は代数的であるため、 iπ は代数的ではないことがわかります。i は代数的であるため、πは超越数であることがわかります。

一般的に、関数の例外集合を求めるのは難しい問題ですが、計算できれば、超越数論における成果につながることがよくあります。以下に、既知の例外集合をいくつか示します。

• クラインのj不変量$${\displaystyle {\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},}$$どこで$\displaystyle {\mathcal {H}}}$は上半平面であり、${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]}$は数体の次数です${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ).}$この結果はテオドール・シュナイダーによるものである。 ^{[ 9 ]}
• 底が2の指数関数：$${\displaystyle {\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,}$$この結果はゲルフォンド・シュナイダーの定理の系であり、もし${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$代数的であり、${\displaystyle \beta }$代数的かつ無理数である場合${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$は超越関数である。したがって、関数2 ^{x は}、0 または 1 以外の任意の代数cに対してc ^xに置き換えることができる。実際、次のようになる。$$\displaystyle {\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.}$$
• 超越数論におけるシャヌエルの予想の帰結は、${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .}$
• シャヌエルの予想を仮定する必要のない、例外セットが空の関数は${\displaystyle f(x)=\exp(1+\pi x).}$

与えられた関数の例外集合を計算するのは容易ではないが、代数的数の任意の部分集合Aが与えられた場合、例外集合がAである超越関数が存在することが知られている。^{[ 10 ]}部分集合は真である必要はなく、A は代数的数の集合でもよい。これは、超越数が与えられた場合にのみ超越数を生成する超越関数が存在することを直接意味する。アレックス・ウィルキーはまた、模範的な解析関数を提供することにより、超越性に関する一階述語論理の証明が存在しない超越関数が存在することを証明した。^{[ 11 ]}

次元解析において、超越関数は、引数が無次元である場合（代数的簡約後）にのみ意味を持つため、注目に値します。このため、超越関数は次元エラーの分かりやすい原因となり得ます。例えば、log(5 メートル)は、 log(5 メートル / 3 メートル)やlog(3) メートルとは異なり、意味のない式です。対数恒等式を適用してlog(5) + log(メートル)を得ようとすると、問題点が浮き彫りになります。つまり、次元に非代数的な演算を適用すると、意味のない結果が生じるということです。

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