通常のカーディナル

集合論において、正則基数とは、 自身の共終数に等しい基数のことである。より具体的には、これは次のことを意味する。${\displaystyle \kappa }$は、すべての非有界部分集合が${\displaystyle C\subseteq \kappa }$カーディナリティを持つ${\displaystyle \kappa }$無限個の整列基数のうち、正則でないものは特異基数と呼ばれます。有限個の基数は通常、正則基数とも特異基数とも呼ばれません。

選択公理が存在する場合、任意の基数は整列可能であり、したがって以下のものは同値である。

1. ${\displaystyle \kappa }$普通のカーディナルです。
2. もし${\displaystyle \kappa =\textstyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}}$そして${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$すべての人々のために${\displaystyle i}$、 それから${\displaystyle |I|\geq \kappa }$。
3. もし${\displaystyle S=\textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}}$、そしてもし${\displaystyle |I|<\kappa }$そして${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$すべての人々のために${\displaystyle i}$、 それから${\displaystyle |S|<\kappa }$つまり、より少ない数のあらゆる結合${\displaystyle \kappa }$より小さいセット${\displaystyle \kappa }$より小さい${\displaystyle \kappa }$。
4. カテゴリー​${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$濃度が 未満の集合${\displaystyle \kappa }$そしてそれらの間のすべての関数は、以下の濃度の余極限の下で閉じている。${\displaystyle \kappa }$。
5. ${\displaystyle \kappa }$は正規の序数です（下記参照）。

大まかに言えば、これは、通常の基数とは、少数のより小さな部分に分解できない基数のことである。

選択公理が成り立たないような状況では、事態はやや複雑になる。なぜなら、そのような場合、すべての基数が必ずしも整列集合の濃度であるとは限らないからである。この場合、上記の等価性は整列可能な基数に対してのみ成り立つ。

無限順序数${\displaystyle \alpha }$は、より小さい順序数の集合の極限ではない極限順序数であり、集合としての順序タイプが以下である場合、正規の順序数である。${\displaystyle \alpha }$正規序数は常に先頭序数ですが、一部の先頭序数は正規ではありません。例:${\displaystyle \omega _{\omega }}$（下記の例を参照）。

より小さい序数${\displaystyle \omega }$有限である。有限順序数の有限列は常に有限の最大値を持つので、${\displaystyle \omega }$は、より小さいタイプのシーケンスの限界にはなり得ません。${\displaystyle \omega }$要素が次の値より小さい順序数である${\displaystyle \omega }$したがって、これは通常の序数である。$\displaystyle \aleph _{0}}$(アレフヌル) は、その最初の序数であるため、通常の基数です。${\displaystyle \omega }$は正則である。有限個の有限基数の基数和自体が有限であることから、直接的に正則であることが分かる。

${\displaystyle \omega +1}$次の序数はより大きいですか${\displaystyle \omega }$これは極限順序数ではないため、単数形です。${\displaystyle \omega +\omega }$次の制限順序番号は${\displaystyle \omega }$数列の極限として表すことができる。${\displaystyle \omega }$、${\displaystyle \omega +1}$、${\displaystyle \omega +2}$、${\displaystyle \omega +3}$など。このシーケンスの順序タイプは${\displaystyle \omega }$、 それで${\displaystyle \omega +\omega }$型が小さい数列の極限は${\displaystyle \omega +\omega }$要素が次の値より小さい順序数である${\displaystyle \omega +\omega }$したがって、単数形です。

$\displaystyle \aleph _{1}}$次の基数は$\displaystyle \aleph _{0}}$カーディナルは$\displaystyle \aleph _{1}}$可算集合（有限集合または可算集合）である。選択公理を仮定すると、可算集合の可算集合の和集合自体も可算集合である。したがって$\displaystyle \aleph _{1}}$可算個の基数の和として表すことはできず、正則である。

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$数列の次の基数は$\displaystyle \aleph _{0}}$、$\displaystyle \aleph _{1}}$、$\displaystyle \aleph _{2}}$、$\displaystyle \aleph _{3}}$など。その最初の序数${\displaystyle \omega _{\omega }}$数列の極限は${\displaystyle \omega }$、$\displaystyle \omega _{1}}$、$\displaystyle \omega _{2}}$、$\displaystyle \omega _{3}}$など、注文タイプを持つ${\displaystyle \omega }$、 それで${\displaystyle \omega _{\omega }}$は単数形であり、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$選択公理を仮定すると、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は、特異な最初の無限基数です（特異な最初の無限序数は${\displaystyle \omega +1}$、そして最初の特異な無限極限順序数は${\displaystyle \omega +\omega }$) 単数基数の存在を証明するには置換公理が必要であり、実際には、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ツェルメロの集合論が、フランケルにこの公理を仮定させるに至った。^{[ 1 ]}

非可算（弱）極限基数で、かつ正則な基数は、（弱）到達不能基数として知られています。ZFC 内ではその存在を証明することはできませんが、その存在が ZFC と矛盾するとは知られていません。その存在は、追加の公理として扱われることもあります。到達不能基数は、必然的にアレフ関数の不動点ですが、すべての不動点が正則であるとは限りません。例えば、最初の不動点は、の極限です。${\displaystyle \omega }$-順序${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$したがって、単数形である。

選択公理が成り立つ場合、すべての後継基数は正則である。したがって、ほとんどのアレフ数の正則性または特異性は、基数が後継基数か極限基数かに応じて確認できる。いくつかの基数は、特定のアレフと等しいと証明できない。たとえば、連続体の基数である。ZFC におけるその値は、非可算共終性の任意の非可算基数である可能性がある（イーストンの定理を参照）。連続体仮説は、連続体の基数が に等しいと仮定している。$\displaystyle \aleph _{1}}$これは、選択を前提とした通常の選択肢である。

選択公理がなければ、整列できない基数が存在するだろう。さらに、任意の集合の基数和を定義することはできない。したがって、アレフ数だけが意味のある正規基数または特異基数と呼ばれることができる。さらに、後継アレフは必ずしも正規である必要はない。例えば、可算集合の可算集合の和集合は必ずしも可算集合ではない。ZFと矛盾しないのは、$\displaystyle \omega _{1}}$は、可算順序数の可算列の極限であり、実数の集合は可算集合の可算和集合である。さらに、AC を含めない場合、ZF と矛盾しない。$\displaystyle \aleph _{0}}$単数形である（ Moti Gitikによって証明された結果）。

もし${\displaystyle \kappa }$は制限順序数です。${\displaystyle \kappa }$は、${\displaystyle \alpha <\kappa }$重要なポイントは$\displaystyle \Sigma _{1}}$-基本的な埋め込み${\displaystyle j}$と${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$クラブは​${\displaystyle \kappa }$[ ^{2 ]​}

カーディナルズのために$\displaystyle \kappa <\theta }$基本的な埋め込み${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$小さな埋め込み​${\displaystyle M}$は推移的で、${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$枢機卿${\displaystyle \kappa }$は不可算で規則的であるのは、${\displaystyle \alpha >\kappa }$すべての${\displaystyle \theta >\alpha }$小さな埋め込みがあります${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$[ ^{3 ]系2.2}

• 近づきがたい枢機卿

• ハーバート・B・エンダートン著『集合論の基礎』、 ISBN 0-12-238440-7
• ケネス・クーネン著『集合論：独立性証明入門』、 ISBN 0-444-85401-0