一般化されたリーマン予想

リーマン予想は数学において最も重要な予想の 1 つです。リーマン ゼータ関数の零点に関する予想です。さまざまな幾何学的および算術的対象は、形式的にはリーマン ゼータ関数に類似した、いわゆるグローバルL関数によって記述できます。次に、これらのL関数の零点について同じ質問をすることができ、リーマン予想のさまざまな一般化が得られます。多くの数学者は、リーマン予想のこれらの一般化が正しいと考えています。これらの予想が証明された唯一のケースは、代数関数体の場合 (数体の場合ではない) です。

大域L関数は、楕円曲線、数体(この場合はデデキント ゼータ関数と呼ばれる)、マース形式、およびディリクレ 指標(この場合はディリクレ L 関数と呼ばれる) に関連付けることができます。リーマン予想は、デデキント ゼータ関数に対して定式化されると拡張リーマン予想 (ERH)と呼ばれ、ディリクレL関数に対して定式化されると一般化リーマン予想または一般化リーマン予想(GRH)と呼ばれます。これら 2 つのステートメントについては、以下で詳しく説明します。(多くの数学者は、ディリクレ L関数の特殊なケースだけでなく、すべての大域L関数へのリーマン予想の拡張をカバーするために、一般化リーマン予想というラベルを使用します。)

一般化されたリーマン予想（ディリクレL関数用）は、おそらく1884年にアドルフ・ピルツによって初めて定式化されました。^{[1]元のリーマン予想と同様に、これは}素数の分布について広範囲にわたる影響を及ぼします。

仮説の正式な記述は以下の通りである。ディリクレ指標とは、任意の nに対してχ ( n + k ) = χ ( n )となる正の整数 kが存在し、gcd( n , k ) > 1のときは常にχ ( n ) = 0 となるような、完全に乗法的な算術関数 χ である。このような指標が与えられた場合、対応するディリクレL関数を次のように 定義する。

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

Re s > 1となる任意の複素数 sに対して成り立つ。解析接続により、この関数は、複素平面全体で定義される有理型関数（が原始的な場合のみ）に拡張できる。一般化リーマン予想は、任意のディリクレ指標χとL ( χ , s ) = 0となる任意の複素数sに対して、sが負の実数でない場合、sの実部は1/2 であると主張する。 ${\displaystyle \chi}$

すべてのnに対してχ ( n )=1となる場合は通常のリーマン予想が成り立ちます。

ディリクレの定理は、aとd が互いに素な 自然数である場合、等差数列 a、a + d、a + 2 d、a + 3 d、...には無限個の素数が含まれることを述べています。π( x、a、d ) は、この数列でx以下の素数の個数を表します。 一般化されたリーマン予想が正しい場合、互いに素なaとdおよびε > 0のすべてに対して、

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

ここで はオイラーのトーティエント関数、はBig O 記法です。これは素数定理の大幅な強化です。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle O}$

GRHが真であれば、乗法群のあらゆる適切な部分群は、2(ln n ) ²未満の数と、3(ln n ) ²未満のnと互いに素な数を省略します。^[2]言い換えると、は2(ln n ) ²未満の数の集合によって生成されます。これは証明でよく使用され、多くの結果をもたらします。たとえば（GRHを仮定した場合）： ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

• ミラー・ラビン素数判定は多項式時間で実行されることが保証されています。(GRH を必要としない多項式時間素数判定であるAKS 素数判定は2002 年に公開されました。)
• Shanks -Tonelli アルゴリズムは多項式時間で実行されることが保証されています。
• 素定数平滑次数を持つ有限体上の多項式を因数分解するIvanyos-Karpinski-Saxena決定論的アルゴリズム^{[3]は、多項式時間で実行されることが保証されています。}

GRHが真であれば、すべての素数pに対して、pを法とする原始根（ pを法とする整数の乗法群の生成元）が存在し、その値は^[4]より小さい。${\displaystyle O((\ln p)^{6}).}$

ゴールドバッハの弱い予想も一般化リーマン予想から導かれる。この予想に対するハラルド・ヘルフゴットの証明はまだ検証されていないが、数千の小さな文字についてGRHを検証し、10 ²⁹を超えるすべての整数について予想を証明するのに十分な境界を得ている。10 29 未満の整数については計算によってすでに検証されている。^[5]

GRH が正しいと仮定すると、ポリア-ヴィノグラドフ不等式の指標の和の推定値は まで改善できます。ここで、q は指標の係数です。 ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$

K が整数環O _K（この環はKにおける整数Zの整閉包）を持つ数体（有理数Qの有限次元体拡張）であるとする。a がO _Kのイデアル（零イデアル以外）である場合、そのノルムをNaと表記する。Kのデデキントゼータ関数は次のように定義される 。

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

実部が 1より大きいすべての複素数sに対して、和はO _Kのすべての非ゼロイデアルaに及びます。

デデキントのゼータ関数は関数方程式を満たし、解析接続によって複素平面全体に拡張できます。結果として得られる関数は、数体Kに関する重要な情報をエンコードします。拡張されたリーマン予想は、すべての数体Kとζ _K ( s ) = 0 のすべての複素数sについて、 sの実部が0 と 1 の間にある場合、それは実際には 1/2 であると主張します。

通常のリーマン予想は、数体をQ、整数環をZとすると、拡張された予想から導かれます。

ERHはチェボタレフの密度定理の有効版^[6]を意味する。L / Kがガロア群Gを持つ有限ガロア拡大であり、CがGの共役類の和集合である場合、Cのフロベニウス共役類を持つx以下のノルムのKの非分岐素数の数は

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

ここで、big-O 表記法で暗示される定数は絶対値であり、n はLのQ上の次数、Δ はその判別式です。

• アルティンの推測
• ディリクレL関数
• セルバーグ級
• 大リーマン予想

• 「リーマン予想の一般化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]