正二十面体

多面体の表面積は、その面の面積の合計です。正二十面体の場合、その表面積は${\displaystyle A}$その体積は、正三角形の各面の20倍である。${\displaystyle V}$は、底面がその面の一つであり、頂点が正二十面体の中心であるピラミッドの体積の20倍として得られるか、または2つの均一な五角錐と1つの五角反角柱の体積の合計として得られる。辺の長さが与えられている場合${\displaystyle a}$正二十面体の場合、両方の表現は次のようになります。^{[ 11 ]}$${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}$$

凸多面体の内接球は、多面体のすべての面に接する球です。凸多面体の外接球は、多面体を包含し、すべての頂点に接する球です。凸多面体の中接球は、すべての辺に接する球です。辺の長さが与えられている場合${\displaystyle a}$正二十面体の内球面の半径 (inradius)$\displaystyle r_{I}}$外接球の半径（外接半径）$\displaystyle r_{C}}$、および中心球の半径（midradius）$\displaystyle r_M}}$それぞれ次の通りです。^{[ 12 ]}$$r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}$$

古代ギリシャ時代に遡る問題として、球に内接する正二十面体と正十二面体のどちらが体積が大きいかを決定するというものがあります。この問題は、ヘロン、パップス、フィボナッチなどによって解決されました。^{[ 13 ]}ペルガのアポロニウスは、これら2つの形状の体積の比が表面積の比と同じであるという興味深い結果を発見しました。^{[ 14 ]}どちらの体積も黄金比を含む公式を持ちますが、べき乗が異なります。^{[ 15 ]}実際には、正二十面体は正十二面体（66.49%）よりも球の体積（60.54%）を小さく占めています。^{[ a ]}

正二十面体の二面角は$2arcsin(\varphi /{\sqrt {3}})\approx 138.19^{\circ }}$正二十面体の場合、五角錐と五角反角柱の正面の角度を足し合わせることで得られます。 五角反角柱と五角錐の隣接する2つの三角形面間の二面角は約38.2°です。 五角反角柱の五角形と三角形間の二面角は100.8°で、同じ面間の五角錐の二面角は37.4°です。 したがって、正二十面体の場合、五角錐と五角反角柱が取り付けられている辺上の隣接する2つの三角形間の二面角は37.4° + 100.8° = 138.2°です。^{[ 16 ]}

正二十面体には、3種類の閉じた測地線があります。これらは、その表面上の局所的に直線である経路です。つまり、多面体の頂点を避け、交差する面を横切る線分に沿って進み、交差する各辺の2つの面に対して相補角を形成します。最初の測地線は、最長の対角線に垂直な正十角形を形成し、長さは${\displaystyle 5}$他の 2 つの測地線は非平面であり、長さは$3√3 約 5.196$そして$2√7 約 5.292$[ ^{17 ]​}

正二十面体には、回転対称軸が 31 個あります(つまり、軸を中心に回転させると外観が同一になります)。 2 つの対向する頂点を通る軸が 6 個、三角形の面を回転させる軸が 10 個、任意の辺を通る軸が 15 個あります。 これらの軸はそれぞれ、5 回回転対称 (0°、72°、144°、216°、288°)、3 回回転対称 (0°、120°、240°)、2 回回転対称 (0°、180°) です。^{[ 18 ]}正二十面体には、球面上の大円として表すことができる 15 の鏡面もあります。 正二十面体は、球面を 120 個の三角形の基本領域に分割します。 これらの三角形は、メビウスの三角形と呼ばれます。鏡映と回転対称はどちらも等長変換（外観を維持するための変換）であり、正二十面体対称性を完全に形成する。${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$位数120。^{[ 19 ]}この対称群は、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成される回転対称群とサイズ2の巡回群の積と同型である。 ^{[ 20 ]}

正二十面体の回転対称群は、5文字の交代群と同型である。この非可換単純群は、5文字の対称群の唯一の非自明な正規部分群である。 ^{[ 21 ]}一般的な5次方程式のガロア群は5文字の対称群と同型であり、この正規部分群は単純かつ非可換であるため、一般的な5次方程式は根号による解を持たない。アーベル・ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を利用しており、^{[ 22 ]}フェリックス・クラインは、正二十面体の対称性の理論を利用して一般的な5次方程式の解析解を導出した本を書いた。^{[ 23 ]}

正二十面体は等角、等面体、等角です。正二十面体の任意の2つの頂点、2つの面、2つの辺は、その対称軌道の下で回転と鏡映によって変換でき、外観は保存されます。各正多面体は、辺の中点に凸包を持ちます。正二十十二面体は、正二十面体の凸包です。^{[ 24 ]}各頂点は5つの正三角形に囲まれているため、正二十面体は${\displaystyle 3.3.3.3.3}$頂点構成または${\displaystyle \{3,5\}}$シュレーフリ記号で。^{[ 25 ]}

プトレマイオス朝エジプトの20面サイコロ。各面にギリシャ文字が刻まれている。

スキャッターゴリーズの20面ダイス（Q、U、V、X、Y、Zの6文字を除く）

サイコロは、さまざまな多面体を利用した最も一般的な物体の1つであり、その1つが正二十面体です。20面体のサイコロは古代から存在していました。1つの例として、プトレマイオス朝エジプトのサイコロがあり、後にギリシャとローマの時代には面にギリシャ文字が刻まれて使用されました。^{[ 26 ]}別の例としては、ティプー・スルタン の宝物庫で発見されたものがあり、金で作られ、各面に数字が書かれていました。^{[ 27 ]}

ダンジョンズ＆ドラゴンズなどのいくつかのロールプレイングゲームでは、20面ダイス（d20と表記）が行動の成否を判定するためによく使われます。0から9まで2回番号が振られている場合もあり、その場合は通常10面ダイス（d10）として使われます。現代のバージョンのほとんどは1から20まで番号が振られています。^{[ 28 ]}スキャッターゴリーズは、プレイヤーが決められた時間内にカードのカテゴリ項目に名前を付ける別のボードゲームです。カテゴリの命名は、最初は20面ダイスに含まれる文字で行われます。^{[ 29 ]}

放散虫Circogonia icosahedra

正二十面体の展開図から作成されたダイマクションマップ

ウイルス学では、ヘルペスウイルスは正二十面体の殻を持ち、特にアデノウイルスでよく知られています。^{[ 30 ]} HIVの外側のタンパク質殻は正二十面体で囲まれており、典型的なミオウイルスの頭部も同様です。^{[ 31 ]}エルンスト・ヘッケルによって発見された放散虫のいくつかの種は、その殻がさまざまな正多面体のような形をしていると記述されており、そのうちの 1 つがCircogonia icosahedraで、その骨格は正二十面体のような形をしています。^{[ 32 ]}

化学では、クロソカルボランは正二十面体に似た形状の化合物である。 ^{[ 33 ]}正二十面体形状の結晶双晶は、結晶、特にナノ粒子でも発生する。^{[ 34 ]} α-菱面体晶やβ-菱面体晶などのホウ素の多くのホウ化物や同素体は、基本構造単位としてホウ素B12正二十面体を含んで_いる。^{[ 35 ]}

地図製作において、R. バックミンスター・フラーは正二十面体の展開図を用いてダイマクション地図と呼ばれる地図を作成した。これは、展開図を三角形に分割し、地球表面のグリッドを計算し、その結果を球面から多面体に転写することによって行われた。この投影法は、フラーがグリーンランドが南アメリカよりも小さいことに気づいた時期に作成された。^{[ 36 ]}

トムソン問題では、最小エネルギー配置に関して、${\displaystyle n}$球面上の荷電粒子、および点間の最小距離を最大化する球面コードを構築するタムス問題の場合、知られている最小解は${\displaystyle n=12}$点を球に内接する正二十面体の頂点に配置する。この配置はタムス問題とトーマス問題の両方に対して最適であることが証明されている。^{[ 37 ]}

テンセグリティでは、正二十面体は6本の支柱と12個の節点を結ぶ24本のケーブルで構成されています。細胞形態形成を利用して実現された組み合わせの中には、1つの自己応力状態が存在します。^{[ 38 ]}

ヨハネス・ケプラーによる正二十面体のスケッチ

ケプラーによる太陽系のプラトン立体モデル

正二十面体は、5つのプラトン立体の1つです。正多面体は古代から知られていましたが、プラトンが『ティマイオス』対話篇でこれらを5つの元素と同一視し、その基本単位に以下の形状を割り当てたことから、プラトンにちなんで名付けられました。火（正四面体）、空気（正八面体）、水（正二十面体）、土（立方体）、そして宇宙全体の形状（正十二面体）。ユークリッドの『原論』はプラトン立体を定義し、外接球の直径と辺の長さの比を求める問題を解決しました。^{[ 39 ]}

プラトンが元素と同一視したことに続き、ヨハネス・ケプラーは『世界の調和』の中で、特に正二十面体をはじめとするそれぞれの立体をスケッチした。^{[ 40 ]}また、 『宇宙の神秘』では、プラトン立体を同心円状に並べ、内接球と外接球の半径を順に増やしていくことで、既知の6つの惑星と共通の中心との距離を表す太陽系のモデルを提案した。立体の順序は、内側から外側に向かって、正八面体、正二十面体、正十二面体、正四面体、そして立方体であった。^{[ 41 ]}

レオナルド・ダ・ヴィンチによる正二十面体と正十二面体、その他の多面体のイラストは、ルカ・パチョーリの『神聖なプロポーショネ』に含まれています。^{[ 42 ]}

正二十面体グラフを含むすべてのプラトングラフは多面体グラフである。つまり、平面上に辺を交差することなく描画でき、任意の2つの頂点を取り除いても連結部分グラフが残る。シュタイニッツの定理によれば、これらの性質を備えた正二十面体グラフは正二十面体の骨格を表す。 ^{[ 43 ]}

正二十面体グラフは、正二十面体と同じ数の頂点を持つ 12 個の頂点を持ちます。これらの頂点は各頂点から 5 つの辺で接続されており、正二十面体グラフは5-正則です。^{[ 44 ]}正二十面体グラフは、各頂点をちょうど 1 回訪問できるサイクルを持つため、ハミルトングラフです。 ^{[ 45 ]}任意の 4 つの頂点のサブセットには 3 つの接続された辺があり、そのうちの 1 つはそれら 3 つのすべての中央に位置し、正二十面体グラフには誘導サブグラフがなく、クローフリーグラフです。^{[ 46 ]}

正二十面体グラフは優美なグラフであり、各頂点には0から30までの整数をラベル付けすることができ、その際、辺の2つの頂点のラベルの絶対差は辺ごとに異なる。 ^{[ 47 ]}

正二十面体は構成行列として表すことができ、この行列の行と列は、多面体の頂点、辺、面といった要素に対応します。行列の対角線は、多面体に現れる各要素の数を表し、行列の非対角線は、行の要素内またはその位置に存在する列の要素の数を表します。次の行列は次のとおりです。^{[ 48 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}12&5&5\\2&30&2\\3&3&20\end{bmatrix}}.}$$

正二十面体は正十二面体の双対多面体である。正二十面体の頂点を正十二面体の面の中心に配置することで、正十二面体に正二十面体を内接させることができ、その逆もまた同様である。正十二面体は二十面体対称性を持つ。^{[ 49 ]}

上記の構成とは別に、正二十面体は、その12個の頂点を正八面体の12個の辺に配置し、各辺を黄金比で分割することで、正八面体に内接させることができる。結果として生じるセグメントは等しくないため、これを一貫して行う方法は5つあり、各正八面体に5つの互いに分離した二十面体を内接させることができる。^{[ 50 ]} 2つのもう1つの関係は、これらが立方八面体の剛性の支柱と柔軟な頂点からの漸進的な変換の一部であり、ジッターバグ変換として知られていることである。^{[ 51 ]}

辺の長さが の正二十面体${\displaystyle 1/\varphi \approx 0.618}$正二十面体は、その辺の長さが単位の立方体に、その辺のうち 6 つ (3 組の直交する反対方向の辺) を立方体の正方形の面上に、面の中心に合わせ、正方形の辺に平行または垂直になるように配置することで内接させることができます。^{[ 52 ]}正二十面体の辺の数は立方体の面の数の 5 倍なので、これを一貫して行う方法は 5 通りあり、各立方体に 5 つの分離した正二十面体を内接させることができます。立方体と内接する正二十面体の辺の長さは黄金比になります。^{[ 53 ]}

正二十面体には、正二十面体の面を拡張して作られた多数の星型があります。Coxeterら (1938) は、著書『59 の正二十面体』の中で、正二十面体の 59 の星型を特定しました。正二十面体自体は正二十面体のゼロ番目の星型であり、最初の星型では、元の各面が低いピラミッドで拡張されています。最後の星型には、正二十面体の星型図のすべてのセルが含まれており、これは正二十面体コアの交差する 3 つの面が、この多面体の頂点上または内部で交差することを意味します。^{[ 54 ]}

Coxeterら（1938）によると、正二十面体には6つの星型化が存在する。正二十面体（ゼロ）、第一星型化、5つの正八面体の複合体、掘り出し十二面体、大二十面体、そして最終星型化である。詳細はリストを参照のこと。

大十二面体は、正二十面体から他の方法で構築することもできます。星形以外にも、正二十面体をファセット化することによって大十二面体を構築できます。つまり、正二十面体の三角形の面を頂点を削除したり新しい頂点を作成したりせずに削除し、次に正二十面体の内部の 5 つの頂点のセット上に 12 個の正五角形を形成します。これらの新しい面は互いに交差し、頂点図形として五芒星を形成します。^{[ 55 ]}

左上から右下へ：大十二面体、切頂二十面体、ジャイロ伸長五角錐、辺縮退二十面体

正二十面体のクリートープである正二十面体の各面に三角錐の底面を取り付けて作られたカタラン立体は、切頂二十面体です。^{[ 56 ]}切頂二十面体は、正二十面体の頂点を切り落として作られたアルキメデス立体です。結果として得られる多面体は、多数の六角形と五角形の面のパターンを持つため、サッカーボール^{[ 57 ]}または60個の炭素原子が結合したバックミンスターフラーレンとして知られる炭素の構造形態^{[ 58 ]とみなすことができます。}

ジョンソン立体とは、すべての面が正多面体であるが、一様ではない多面体のことである。言い換えれば、アルキメデス立体、カタラン立体、プリズム、反プリズムは含まれない。ジョンソン立体の中には、正二十面体の一部を取り除くことによって得られるものがあり、この過程は縮小と呼ばれる。それらは、正二十面体からそれぞれ1つ、2つ、3つの五角錐を取り除く、ジャイロ伸長五角錐、メタビ縮小二十面体、トリ縮小二十面体である。 ^{[ 59 ]}

辺が縮退した正二十面体は、正二十面体のような表面を持つが、いくつかの面が同じ平面上にある。^{[ 60 ]}

球状の正二十面体と、インポッシボールという名の玩具

球状二十面体は、正二十面体を球に投影したもので、球状多面体の一部です。球面三角形の辺を境界とする大円弧でモデル化できます。^{[ 61 ]} R. バックミンスター・フラーによって特定された球状二十面体には、31 個の大円があります。^{[ 62 ]}その双対は球状十二面体です。^{[ 61 ]}この形状は、ルービックキューブに似たおもちゃであるインポッシボールで見ることができます。^{[ 63 ]}

正二十面体の頂点を元の位置に保ち、特定の正三角形のペアを二等辺三角形のペアに置き換えることで、別の関連する形状を導き出すことができます。結果として得られる多面体は、正二十面体の非凸バージョンになります。しかし、ジェッセンの二十面体と視覚的に似ており、同じ組み合わせ構造と対称性を持っているため、時折誤ってジェッセンの二十面体として知られています。 ^{[ b ]}違いは、非凸のものはテンセグリティ構造を形成せず、直角の二面角を持たないことです。^{[ 64 ]}

正二十面体は、正4次元多面体である600セルに類似している。^{[ 65 ]}この多面体は、600個の正四面体をセルとして持つ。^{[ 66 ]}正二十面体は、双曲3次元空間におけるハニカムのセルである。^{[ 67 ]}