超越的拡張

数学において、超越拡大 とは、体 上に超越的な元、つまり の係数を持つ任意の一変数多項式の根ではない元が存在するような体拡大のことである。言い換えれば、超越拡大とは代数的 ではない体拡大のことである。例えば、と はどちらも の超越拡大である。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

体拡大の超越基底（または上のの超越基底）は、上のの最大の代数的に独立した部分集合です。超越基底は、ベクトル空間の基底と多くの特性を共有しています。特に、体拡大のすべての超越基底は同じ濃度を持ち、これを拡大の超越次数と呼びます。したがって、体拡大が超越拡大となるのは、その超越次数が 0 以外の場合のみです。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle K.}$

超越拡大は代数幾何学で広く使われている。例えば、代数多様体の次元はその関数体の超越次数である。また、大域関数体は有限体の次数 1 の超越拡大であり、正の特性における数論において、特性 0 における代数的数体の役割と非常によく似た役割を果たす。

ゾルンの補題は、ベクトル空間の極大線型独立部分集合（すなわち基底）が存在することを示している。ゾルンの補題を用いた同様の議論は、体拡大L / Kが与えられたとき、 K上のLの極大代数独立部分集合が存在することを示している。^{[1]そしてそれは}超越基底と呼ばれる。極大性により、 K上のLの代数独立部分集合Sが超越基底となるのは、 L がKの代数拡大（S ）である場合のみである。 K は、 Sの元をKに付加することによって得られる体である。

交換補題（代数的に独立な集合に対するバージョン^[2]）は、 SとS' が超越基底であれば、SとS' は同じ濃度を持つことを意味している。この場合、超越基底の共通濃度はK上のLの超越次数と呼ばれ、またはと表記される。したがって、一方では超越基底と超越次数、他方では基底と次元という類似性がある。この類似性は、ベクトル空間における線型独立性と体拡大における代数独立性がどちらも有限マトロイド（プレジオメトリ）の例を形成することを観察することで、より形式化できる。任意の有限マトロイドは基底を持ち、すべての基底は同じ濃度を持つ。^[3]${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$

G がLの生成集合(つまり、L = K ( G )) である場合、 Lの超越基底はGのサブセットとして取ることができます。したがって、K上のLの生成集合の最小濃度です。特に、有限生成体の拡張は有限の超越基底を許容します。 ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$

体Kが指定されていない場合、体Lの超越次数は、ある固定された基底体に対するその次数です。たとえば、同じ特性の素体、またはL がK上の代数関数体である場合はKです。

体拡大L / Kが純粋超越的であるとは、 K上で代数的に独立で、 L = K ( S )となるLの部分集合Sが存在する場合をいう。

L / Kの分離超越基底は、 L がK ( S )上の分離可能な代数拡大となるような超越基底Sである。体拡大L / Kは、分離超越基底を許容する場合、分離生成であると言われる。 ^[4]体拡大が有限生成であり、かつ分離生成でもある場合、体拡大の各生成集合には分離超越基底が含まれる。^[5]完全体上では、すべての有限生成体拡大は分離生成である。つまり、有限の分離超越基底を許容する。^[6]

• 拡張が代数的となるのは、その超越次数が 0 の場合のみです。ここでは空集合が超越基底として機能します。
• n変数の有理関数の体K ( x ₁ ,..., x _n ) (つまり、多項式環K [ x ₁ ,..., x _n ]の分数の体) は、 K上の超越次数nを持つ純粋に超越的な拡大です。たとえば、 { x ₁ ,..., x _n } を超越基底として取ることができます。
• より一般的には、基底体K上のn次元代数多様体の関数体 Lの超越次数はnです。
• √2 は代数的であるのに対しe は超越的であるため、 Q ( √2 , e ) はQに対して超越次数 1 を持ちます。
• CまたはRのQ上の超越次数は連続体の濃度です。( Qは可算なので、体Q ( S ) は任意の無限集合Sに対してSと同じ濃度を持ち、Q ( S ) の任意の代数拡大も再び同じ濃度を持ちます。)
• Q ( e , π )のQ上の超越次数は 1 または2です。eと π が代数的に独立であるかどうかが不明であるため、正確な答えは不明です( Schanuel の予想を参照)。
• Sがコンパクトな リーマン面である場合、 S上の有理型関数の体C ( S ) はC上で超越次数 1 を持ちます。

M / LとL / Kがフィールド拡張である場合、

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

これは、 M / Kの超越基底が、M / Lの超越基底とL / Kの超越基底の和集合をとることによって得られることを示すことによって証明されます。

集合S がK上で代数的に独立である場合、体K ( S )は、 Sと同じ濃度の変数の集合内のK上の有理関数の体に同型です。このような有理関数はそれぞれ、 Kに係数を持つ、有限個の変数内の 2 つの多項式の分数です。

二つの代数的に閉じた体は、それらの素体上で同じ特性と同じ超越次数を持つ場合にのみ同型である。^[7]

を整域とする。 およびがAとBの分数の体を表す場合、BのA上の超越次数は体拡大の超越次数として定義される。${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle Q(A)}$${\displaystyle Q(B)}$${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

ノイマン正規化補題は、 R が体k上の有限生成代数である整域である場合、Rのクルル次元はk上のRの超越次数であることを意味します。

これには次のような幾何学的解釈がある。X が体k上のアフィン代数多様体である場合、その座標環のクルル次元はその関数体の超越次数に等しく、これがXの次元を定義する。従って、X がアフィン多様体でない場合、その次元（その関数体の超越次数として定義される）は、多様体の開アフィン部分集合への制限の座標環のクルル次元として局所的に定義することもできる。

を有限生成体の拡大とする。すると^[8]${\displaystyle K/k}$

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K)。}$

ここで、 はケーラー微分のモジュールを表します。また、上記において、等式は、Kがk上で分離的に生成される場合（分離超越基底を許容することを意味する）にのみ成立します。 ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$

超越基底は、体準同型に関するさまざまな存在ステートメントを証明するのに役立ちます。次に例を示します。代数的に閉じた体 L ​​、部分体 K、およびKの体自己同型 fが与えられたとき、 f を拡張するLの体自己同型(つまり、 Kへの制限がfである) が存在する。証明のために、 L / Kの超越基底Sから始めます。 K ( S )の要素は、 Kに係数を持つSの要素の多項式の商に過ぎません。したがって、自己同型f は、 Sのすべての要素をそれ自体に送信することにより、K ( S )の 1 つに拡張できます。体L はK ( S )の代数閉包であり、代数閉包は同型を除いて一意です。これは、自己同型をK ( S )からLにさらに拡張できることを意味します。

別の応用として、複素数体 Cには、（体として） Cと同型な（多くの）固有部分体が存在することを示します。証明のために、C / Qの超越基底Sを取ります。Sは無限（非可算）集合なので、単射ではあるが射影ではない（多くの）写像f : S → Sが存在します。このような写像はいずれも、射影ではない体準同型Q ( S ) → Q ( S ) に拡張できます。このような体準同型は、代数閉包Cに拡張でき、結果として得られる体準同型C → Cは射影ではありません。

超越次数は、体の大きさを直感的に理解するのに役立ちます。たとえば、シーゲルの定理によれば、 X がn次元のコンパクトで連結な複素多様体であり、K ( X ) がその上の (大域的に定義された)有理型関数の体を表す場合、trdeg _C ( K ( X )) ≤  nとなります。

• リューロートの定理、1次の純粋超越的拡張に関する定理
• 定期延長

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• ミルン、ジェームズ、場の理論(PDF)
• § 6.3.志村五郎(1971)、「保型関数の数論入門」、日本数学会誌、第 11 巻、東京: 岩波書店、Zbl  0221.10029