ウッドオール数

数論では、ウッドオール数（W _n）は、次の形式の自然数である。

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

ある自然数nに対して、最初のいくつかの Woodall 数は次のとおりです。

1、7、23、63、159、383、895、…（OEISの配列A003261）。

歴史

ウッドオール数は、1917年にアラン・J・C・カニンガムとH・J・ウッドオールによって初めて研究されました^{[1] 。これは、}ジェームズ・カレンによる同様に定義されたカレン数の研究に触発されたものです。

ウッドオール素数

数学における未解決の問題:

ウッドオール素数は無限に存在するのでしょうか?

（数学における未解決の問題がさらに増える）

素数でもあるウッドオール数はウッドオール素数と呼ばれる。対応するウッドオール数W _{n が}素数となる最初のいくつかの指数nは、2、3、6、30、75、81、115、123、249、362、384、... ( OEISのシーケンスA002234 ) である。ウッドオール素数自体は、7、23、383、32212254719、... ( OEISのシーケンスA050918 ) で始まる。

1976年、クリストファー・フーリーは、ほぼすべてのカレン数が合成数であることを示した。^[2] 1995年10月、ウィルフレッド・ケラーは、いくつかの新しいカレン素数と、他のカレン数やウッドオール数を因数分解する取り組みについて議論した論文を発表した。その論文には、須山浩美からケラーへの個人的な通信が含まれており、フーリーの方法は、任意の数列 $n \cdot 2 n + a + b$ （ただし、aとbは整数）に適用できること、特に、ほぼすべてのウッドオール数が合成数であることを示すように再定式化できると主張している。^[3]ウッドオール素数が無限に存在するかどうかは未解決の問題である。 2018年10月現在^{[アップデート]}、最大のウッドオール素数は17016602 × 2 ^17016602 − 1である^{。[4]この素数は5,122,515桁あり、2018年3月に}分散コンピューティングプロジェクトPrimeGridでDiego Bertolottiによって発見された。^[5]

制限

W ₄ = 63 とW ₅ = 159から始めて、6 つめの Woodall 数は3 で割り切れます。したがって、 W _{n が}素数であるためには、指数n は4 または 5 (6 を法として) と合同であってはなりません。また、正の整数mに対して、 Woodall 数W _{2 ^{m が}}^{素数になるのは、 2 m} + m が素数である場合のみです。2019 年 1 月現在、 Woodall 素数とメルセンヌ素数の両方である既知の素数は、W ₂ = M ₃ = 7 とW ₅₁₂ = M ₅₂₁のみです。

割り切れる性質

カレン数と同様に、ウッドオール数には多くの割り切れる性質がある。例えば、pが素数であれば、pは

_ヤコビ記号が₊₁で

\left({\frac {2}{p}}\right)

ヤコビ記号が−1の場合、W _{(3 p − 1) / 2と}なる。^[^要出典^]

\left({\frac {2}{p}}\right)

一般化

一般化されたウッドオール数基数b は、 n × b ⁿ − 1 の形式（n + 2 > b ）の数として定義されます。素数をこの形式で表すことができる場合、その素数は一般化ウッドオール素数と呼ばれます。

n × b ⁿ − 1 が素数となる最小のnの値は、 b = 1, 2, 3, ...である^[6]。

3、2、1、1、8、1、2、1、10、2、2、1、2、1、2、167、2、1、12、1、2、2、29028、1、2、 3、10、2、26850、1、8、1、42、2、 6、2、24、1、2、3、2、1、2、1、2、2、140、1、2、2、22、2、8、1、2064、2、468、6、2、 1、362、1、2、2、6、3、26、1、2、 3、20、1、 2、1、28、2、38、5、3024、1、2、81、858、1、2、3、2、8、60、1、2、2、10、5、2、7、182、 1、17782、3、...（OEISの配列A240235）

2021年11月現在^{[アップデート]}、底が2より大きい最大の一般化ウッドオール素数は2740879×32 ^2740879 − 1である。 ^[7]

参照

メルセンヌ素数- 2 ⁿ − 1の形式の素数。

参考文献

^ カニンガム、AJ C ;ウッドオール、HJ (1917)、「との因数分解」、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、47 : 1–38 $Q=(2^{q}\mp q)$ $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ 。
^ エベレスト、グラハム;ファン・デル・ポルテン、アルフ; シュパルリンスキー、イゴール; ワード、トーマス (2003)。再帰シーケンス。数学サーベイおよびモノグラフ。第 104 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。p. 94。ISBN 0-8218-3387-1.ZBL1033.11006 。
^ Keller, Wilfrid (1995年1月). 「新しいカレン素数」.計算数学. 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN 0025-5718. Keller, Wilfrid (2013年12月). 「Wilfrid Keller」. www.fermatsearch.org . ハンブルク. 2020年2月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年10月1日閲覧。
^ 「素数データベース: 8508301*2^17016603-1」、クリス・コールドウェルの「最大の既知素数データベース」、 2018年3月24日閲覧
^ PrimeGrid、17016602*2^17016602 - 1 の発表(PDF) 、2018 年4 月 1 日閲覧
^ 3から10000までの一般化されたウッドオール素数のリスト
^ 「The Top Twenty: Generalized Woodall」. primes.utm.edu . 2021年11月20日閲覧。

さらに読む

ガイ、リチャード・K. (2004)、数論における未解決問題（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、pp.セクションB20、ISBN 0-387-20860-7。
ケラー、ウィルフリッド (1995)、「新しいカレン素数」(PDF)、計算数学、64 (212): 1733–1741、doi : 10.2307/2153382、JSTOR 2153382。
カルドウェル、クリス、「トップ 20: ウッドオール素数」、The Prime Pages 、 2007 年12 月 29 日取得。

外部リンク

Chris Caldwell、「The Prime Glossary: Woodall number」および「The Top Twenty: Woodall」および「The Top Twenty: Generalized Woodall」、The Prime Pages。
Weisstein, Eric W.「Woodall 数」。MathWorld。
Steven Harvey、「一般化された Woodall 素数のリスト」。
ポール・レイランド、一般化されたカレン・ウッドオール数

[1] カニンガム、AJ C ;ウッドオール、HJ (1917)、「との因数分解」、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、47 : 1–38 $Q=(2^{q}\mp q)$ $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ 。

[EPSW94-2] エベレスト、グラハム;ファン・デル・ポルテン、アルフ; シュパルリンスキー、イゴール; ワード、トーマス (2003)。再帰シーケンス。数学サーベイおよびモノグラフ。第 104 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。p. 94。ISBN 0-8218-3387-1.ZBL1033.11006 。

[3] Keller, Wilfrid (1995年1月). 「新しいカレン素数」.計算数学. 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN 0025-5718. Keller, Wilfrid (2013年12月). 「Wilfrid Keller」. www.fermatsearch.org . ハンブルク. 2020年2月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年10月1日閲覧。

[4] 「素数データベース: 8508301*2^17016603-1」、クリス・コールドウェルの「最大の既知素数データベース」、 2018年3月24日閲覧

[5] PrimeGrid、17016602*2^17016602 - 1 の発表(PDF) 、2018 年4 月 1 日閲覧

[tripod-6] 3から10000までの一般化されたウッドオール素数のリスト

[7] 「The Top Twenty: Generalized Woodall」. primes.utm.edu . 2021年11月20日閲覧。