志村品種

数論において、志村多様体は、 Q上で定義された簡約代数群の合同部分群によるエルミート対称空間の商多様体として生じるモジュラー曲線の高次元版である。志村多様体は代数多様体ではなく、代数多様体の族である。志村曲線は一次元志村多様体である。ヒルベルトモジュラー曲面とジーゲルモジュラー多様体は、志村多様体の最もよく知られたクラスである。

志村多様体の特殊な例は、もともと志村五郎が複素乗法理論の一般化の過程で導入したものです。志村は、当初は解析的に定義されていたものの、志村多様体の反射体である数体上で定義されたモデルを許容するという意味で、算術的対象であることを示しました。1970年代には、ピエール・ドリーニュが志村の研究のための公理的枠組みを構築しました。1979年、ロバート・ラングランズは、志村多様体は、ラングランズ・プログラムで仮定されたモチーフ的L関数と保型 L 関数の等価性を検証できる自然な例の領域を形成すると指摘しました。志村多様体のコホモロジーで実現される保型形式は、一般的な保型形式よりも研究しやすく、特に、ガロア表現をそれらに結びつける構成が存在します。^[¹^]

意味

志村データム

S = Res _{C / R} G _mを複素数から実数への乗法群のワイル制限とする。これは実代数群であり、そのR点群S ( R ) はC ^{*であり、}C点群はC ^*× C ^*である。志村データとは、有理数体Q上で定義された(連結)簡約代数群Gと、次の公理を満たす準同型写像h : S → G RのG ( R )共役類Xからなるペア( G , X _{)である。}

Xの任意のhに対して、 g _Cには重み (0,0)、(1, − 1)、( − 1,1) のみが現れます。つまり、 Gの複素化されたリー代数は直和に分解されます。

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},

ここで、任意のz ∈ Sに対して、h ( z ) は最初の項に自明に作用し、

z/{\bar {z}}

（それぞれ、

{\bar {z}}/z

）第２（または第３）命令に対して。

h( i )の随伴作用は、_GRの随伴群上にカルタン対合を誘導する。
G _Rの随伴群は、Q上で定義された因子Hであって、 hのHへの射影が自明となるような因子 Hを許容しない。

これらの公理から、X は複素多様体(おそらく非連結)の一意な構造を持ち、すべての表現ρ : G _R → GL ( V ) に対して、族 ( V , ρ ⋅ h ) はホッジ構造の正則族であることがわかります。さらに、ホッジ構造の変形を形成し、X はエルミート対称領域の有限な非交和です。

志村品種

A _{ƒ を}Qの有限アデール環とする。G ( A _ƒ )の任意の十分に小さいコンパクト開部分群Kに対して、二重剰余類空間

\operatorname {Sh} _{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K

は、次の形式の局所的に対称な多様体の有限な非交和である。 $\displaystyle \Gamma _{i}\backslash X^{+}}$ ここで、上付きプラス記号は連結成分を示す。多様体 Sh _K ( G , X ) は複素代数多様体であり、十分に小さいコンパクト開部分群K全体にわたって逆系を形成する。この逆系は

(\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}

G ( A _ƒ )の自然権を認める。これは志村データ ( G , X )に関連付けられた志村変種と呼ばれ、 Sh( G , X ) と表記される。

歴史

特殊なタイプのエルミート対称領域と合同部分群Γに対して、Γ \ X = Sh _K ( G , X )の形の代数多様体とそのコンパクト化が、1960年代に志村五郎の一連の論文で導入された。志村のアプローチは、後に彼のモノグラフで発表されたもので、複素乗法理論の相互法則定式化の最も広い一般化を追求する現象論的なものであった。振り返ってみると、「志村多様体」という名称は、志村の理論で役割を果たした抽象的な特徴を分離したドリーニュによって導入された。ドリーニュの定式化では、志村多様体は特定のタイプのホッジ構造のパラメータ空間である。したがって、それらはレベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間として見なされるモジュラー曲線の自然な高次元一般化を形成する。多くの場合、志村多様体が解となるモジュライ問題も同様に特定されている。

例

F を実数体とし、D を F 上の四元数除法代数とする。乗法群D ×は標準的な^志村多様体を生み出す。その次元dは、 D が分割される無限個の場所の数である。特に、d = 1 の場合 (例えば、F = QかつD ⊗ R ≅ M ₂ ( R ) の場合)、 D ^×の十分に小さな算術部分群を固定すると志村曲線が得られ、この構成から生じる曲線はすでにコンパクト (すなわち射影的) である。

方程式が明確に分かっている志村曲線の例として、低種数のフルヴィッツ曲線が挙げられる。

そして7次のフェルマー曲線によって。 ^{[ 2 ]}

志村多様体の他の例としては、ピカールモジュラー曲面やヒルベルトモジュラー曲面（ヒルベルト・ブルーメンタール多様体としても知られる）などがある。

標準モデルと特別なポイント

志村多様体はそれぞれ、反射体と呼ばれる標準的な数体E上で定義できる。志村によるこの重要な結果は、本来複素多様体である志村多様体が代数的な定義体を持ち、したがって算術的な意味を持つことを示している。これは、彼が相互法則を定式化する際の出発点となり、そこでは特定の算術的に定義された特殊点が重要な役割を果たす。

志村多様体上の特殊点の集合のザリスキ閉包の定性的な性質は、アンドレ・オルト予想によって記述される。一般化されたリーマン予想を仮定して、この予想に関する条件付き結果が得られている。^{[ 3 ]}

ラングランズ・プログラムにおける役割

志村多様体はラングランズ・プログラムにおいて傑出した役割を果たしている。典型的な定理であるアイヒラー・志村合同関係は、モジュラー曲線のハッセ・ヴェイユ・ゼータ関数が、重み2の明示的に決定されたモジュラー形式に関連付けられたL関数の積であることを示唆している_。実際、志村五郎はこの定理の一般化の過程で自身の多様体を導入し、相互法則を証明した。他の数体上の群GL2とその内部形式（すなわち四元数環の乗法群）に関連付けられた志村多様体のゼータ関数は、アイヒラー、志村、久我、佐藤、伊原によって研究された。彼らの結果に基づいて、ロバート・ラングランズは、数体上で定義された任意の代数多様体Wのハッセ・ヴェイユ・ゼータ関数は保型L関数の正負のべき乗の積、すなわち保型表現の集合から生じるはずだと予測した。^[¹^]このような記述を期待するのは哲学的に自然なことかもしれないが、この種の主張はWが志村変種である場合にのみ証明されている。^[⁴^]ラングランズの言葉を借りれば、

志村多様体に関連付けられたすべての L 関数、つまり志村多様体によって定義される任意のモチーフに関連付けられたすべての L 関数が、[彼の 1970 年の論文] の保型 L 関数で表現できることを示すことは、すべてのモチーフ L 関数がそのような L 関数と等しいことを示すことよりも、はるかに弱い。さらに、より強い主張が有効であると期待されるが、私の知る限り、すべてのモチーフ L 関数が志村多様体に付随すると期待する説得力のある理由はない。^{[ 5 ]}

注記

1 2 Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF) . In Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics . Vol. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. pp. 205– 246.
↑エルキーズ、第 4.4 節 (94–97 ページ) ( Levy 1999 )。
↑ Klingler, Bruno; Yafaev, Andrei (2014), "The André-Oort conjecture" (PDF) , Annals of Mathematics , 2nd Series, 180 (3): 867– 925, doi : 10.4007/annals.2014.180.3.2 , 2012年2月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み
↑補足：多くの例が知られており、それらすべてが志村品種から「由来する」という意味はやや抽象的なものです。
↑ Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF) . In Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics . Vol. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. p. 208.

参考文献

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James Arthur、David Ellwood、Robert Kottwitz (編)調和解析、トレース公式、志村多様体、Clay Mathematics Proceedings、第 4 巻、AMS、2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
ピエール・ドリーニュ、トラヴォー・ド・志村。ブルバキセミナー、アンネ 23 年 (1970/71)、Exp. No.389、123–165ページ。数学講義ノート Vol. 244、シュプリンガー、ベルリン、1971. MR 0498581、ヌムダム
Pierre Deligne、Variétés de Shimura: 解釈モジュール、および標準モデルの構築技術、保型形式、表現および L 関数、Proc.シンポ。 Pure Math.、XXXIII (オレゴン州コーバリス、1977)、パート 2、247 ～ 289 ページ、Amer。数学。協会、ロードアイランド州プロビデンス、1979 年。MR 0546620
ピエール・ドリーニュ、ジェームス・S・ミルン、アーサー・オーガス、クアン・イェン・シー、ホッジ・サイクル、モチーフ、そして志村品種。数学の講義ノート、900。Springer-Verlag、ベルリン-ニューヨーク、1982。ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3MR 0654325
Levy, Silvio 編 (1999) 『八重の道』、数理科学研究所出版物、第 35 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66066-2MR 1722410、Zbl 0941.00006 ケンブリッジ大学出版局によるペーパーバック版、2001年、ISBN 978-0-521-00419-0。こちらもお読みください：『八重の道』、ルース・ミヒラーによる書評。
Milne, JS (2001) [1994]、「志村多様体」、数学百科事典、EMS Press
J. Milne、「志村多様体とモチーフ」、U. Jannsen、S. Kleiman、J.-P. Serre 編、「モチーフ」、純粋数学シンポジウム論文集、55:2、アメリカ数学会 (1994)、pp. 447–523
JS Milne、「志村変種入門」、Arthur、Ellwood、Kottwitz編（2005年）
ハリー・ライマン、「四元数シムラ多様体の半単純ゼータ関数」、数学講義録、1657、シュプリンガー、1997年
志村吾郎著『志村吾郎全集』（2003年）、第1巻～第5巻
志村吾郎著『保型関数の算術理論入門』

[langlands-shimura-1] 1 2 Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF) . In Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics . Vol. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. pp. 205– 246.

[2] エルキーズ、第 4.4 節 (94–97 ページ) ( Levy 1999 )。

[3] Klingler, Bruno; Yafaev, Andrei (2014), "The André-Oort conjecture" (PDF) , Annals of Mathematics , 2nd Series, 180 (3): 867– 925, doi : 10.4007/annals.2014.180.3.2 , 2012年2月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み

[4] 補足：多くの例が知られており、それらすべてが志村品種から「由来する」という意味はやや抽象的なものです。

[5] Langlands, Robert (1979). "Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen" (PDF) . In Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics . Vol. XXXIII Part 1. Chelsea Publishing Company. p. 208.

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意味

志村データム

志村品種

歴史

例

標準モデルと特別なポイント

ラングランズ・プログラムにおける役割

注記

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