ハウスドルフ次元

数学において、ハウスドルフ次元は粗さの尺度、より具体的にはフラクタル次元であり、1918年に数学者 フェリックス・ハウスドルフによって導入されました。^[2]たとえば、単一の点のハウスドルフ次元は0、線分は1、正方形は2、立方体では3です。つまり、滑らかな形状や角の数が少ない形状（従来の幾何学や科学の形状）を定義する点の集合の場合、ハウスドルフ次元は通常の次元の意味に一致する整数であり、位相次元としても知られています。ただし、スケーリングと自己相似性の特性のみに基づいて、他のそれほど単純ではないオブジェクトの次元を計算できる公式も開発されており、特定のオブジェクト（フラクタルを含む）は非整数のハウスドルフ次元を持つという結論に至ります。アブラム・サモイロビッチ・ベシコヴィッチによる重要な技術的進歩により、非常に不規則な、または「粗い」集合の次元の計算が可能になったため、この次元は一般にハウスドルフ・ベシコヴィッチ次元とも呼ばれます。

より具体的には、ハウスドルフ次元は、距離空間、つまりすべてのメンバー間の距離が定義されているセットに関連付けられた次元数です。次元は、一般的な距離空間に関連付けられておらず、負でない整数の値のみを取る、より直感的な次元の概念とは対照的に、拡張された実数 、 から取得されます。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

数学的に言えば、ハウスドルフ次元は実ベクトル空間の次元の概念を一般化したものです。つまり、 n次元内積空間のハウスドルフ次元はnに等しいということです。これは、点のハウスドルフ次元は 0、直線のハウスドルフ次元は 1 などであり、不規則な集合は非整数のハウスドルフ次元を持つことができるという前述の記述の基礎となっています。たとえば、右に示すコッホの雪片は正三角形で構成されています。各反復において、その構成要素である線分は単位長さの 3 つの線分に分割され、新しく作成された中央の線分は外側を向いた新しい正三角形の底辺として使用されます。その後、この底辺線分が削除され、反復から単位長さ 4 の最終オブジェクトが残ります。 ^[3]つまり、最初の反復の後、元の線分はそれぞれ N=4 に置き換えられ、自己相似な各コピーの長さは元の長さの 1/S = 1/3 になります。^[1]言い換えると、ユークリッド次元 D を持つオブジェクトを取り、その線形スケールを各方向に 1/3 ずつ縮小して、長さが N = S ^Dに増加するようにします。^{[4]この式は D について簡単に解くことができ、図に現れる対数 (または}自然対数)の比が得られ、コッホやその他のフラクタルの場合には、これらのオブジェクトの非整数次元が得られます。

ハウスドルフ次元は、より単純だが通常は同等なボックスカウンティング次元またはミンコフスキー-ブーリガン次元の後継です。

幾何学的オブジェクトXの次元という直感的な概念は、内部の唯一の点を取り出すために必要な独立したパラメータの数です。ただし、2 つのパラメータで指定される任意の点は、1 つのパラメータで指定することもできます。これは、実平面の濃度が実数の濃度に等しいためです(これは、 2 つの数値の数字を織り交ぜて、同じ情報をエンコードする単一の数値を生成するという議論でわかります)。空間充填曲線の例は、実数直線を実平面に射影的に(1 つの実数を 2 つの実数に取り込んで、すべての数値ペアがカバーされるようにする) 連続的にマッピングすることもできることを示しています。そのため、1 次元オブジェクトは、より高次元のオブジェクトを完全に埋めることができます。

すべての空間充填曲線は、いくつかの点に複数回当たり、連続的な逆はありません。2 つの次元を 1 つの次元に連続かつ連続的に逆変換可能な方法でマッピングすることは不可能です。ルベーグ被覆次元とも呼ばれる位相次元は、その理由を説明します。この次元は、Xを小さな開いた球で覆うたびに、n + 1 個の球が重なる点が少なくとも 1 つ存在する最大の整数 n です 。たとえば、短い開区間で線を覆う場合、いくつかの点は 2 回覆われる必要があり、次元 n  = 1 になります。

しかし、位相次元は、空間の局所的なサイズ (点の近くのサイズ) の非常に大まかな尺度です。ほぼ空間を埋め尽くす曲線は、領域の面積の大部分を埋め尽くす場合でも、位相次元が 1 になることがあります。フラクタルは整数の位相次元を持ちますが、占める空間の量に関しては、より高次元の空間のように動作します。

ハウスドルフ次元は、点間の距離、メトリックを考慮に入れた空間の局所的なサイズを測定します。 X を完全に覆うために必要な、半径が最大でrの球の数N ( r )を考えます。rが非常に小さい場合、N ( r ) は 1/ rの多項式で増加します。 十分に正常な Xの場合、ハウスドルフ次元は、r がゼロに近づくにつれてN( r ) が 1/ r ^dで増加するような唯一の数dです。 より正確には、これはボックスカウンティング次元を定義します。これは、値dが、空間を覆うのに不十分な成長率と過剰な成長率との間の臨界境界である場合に、ハウスドルフ次元に等しくなります。

滑らかな形状、または角の数が少ない形状、つまり伝統的な幾何学や科学の形状の場合、ハウスドルフ次元は整数であり、位相次元と一致します。しかし、ブノワ・マンデルブロは、フラクタル、つまり非整数のハウスドルフ次元を持つ集合が自然界のいたるところに見られることに気づきました。彼は、目にする大まかな形状の適切な理想化は、滑らかな理想化された形状ではなく、フラクタルの理想化された形状によるものであることに気づきました。

雲は球体ではなく、山は円錐ではなく、海岸線は円ではなく、樹皮は滑らかではなく、雷は直線的に動きません。^[5]

自然界に発生するフラクタルでは、ハウスドルフ次元とボックスカウンティング次元は一致します。パッキング次元は、多くの形状に対して同じ値を与えるもう 1 つの類似した概念ですが、これらすべての次元が異なる例外が文書化されています。^{[例が必要]}

ハウスドルフ次元の正式な定義は、まずd次元ハウスドルフ測度を定義することによって得られます。これはルベーグ測度の分数次元版です。まず、外部測度が構築されます。 を距離空間とします。および の場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle d\in [0,\infty )}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

ここで、最小値はのすべての可算被覆にわたって取られる。ハウスドルフの d 次元外部測度は と定義され、測度可能な集合への写像の制限により、これを-次元ハウスドルフ測度と呼ばれる測度として正当化する。^[6]${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle d}$

ハウスドルフ次元 は次のように定義される。 ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.}$

これは、の - 次元ハウスドルフ測度が無限大となるようなの集合の上限と同じです(ただし、後者の数値集合が空の場合、ハウスドルフ次元は 0 になります)。 ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$

の次元無制限ハウスドルフ内容は次のように定義される 。${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}}$

言い換えれば、被覆集合が任意の大きさを持つことが許されるハウスドルフ測度の構成は、ハウスドルフ測度である（ここでは、 という標準的な規則を使用する）。^[7]ハウスドルフ測度とハウスドルフ内容はどちらも集合の次元を決定するために使用できるが、集合の測度がゼロでない場合、それらの実際の値は一致しない可能性がある。 ${\displaystyle C_{H}^{d}(S)}$${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

• 可算集合のハウスドルフ次元は0である。^[8]
• ユークリッド空間は ハウスドルフ次元を持ち、円はハウスドルフ次元1を持つ。^[8]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{1}}$
• フラクタルは、ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に超える空間であることが多い。^[5]たとえば、ゼロ次元の位相空間であるカントール集合は、それ自身の 2 つのコピーの和集合であり、各コピーは係数 1/3 に縮小されている。したがって、そのハウスドルフ次元は ln(2)/ln(3) ≈ 0.63 であることがわかる。^[9]シェルピンスキーの三角形は、それ自身の 3 つのコピーの和集合であり、各コピーは係数 1/2 に縮小されている。これにより、ハウスドルフ次元は ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 になる。^{[1]これらのハウスドルフ次元は、}アルゴリズムの分析における再帰関係を解くためのマスター定理の「臨界指数」に関連している。
• ペアノ曲線のような空間充填曲線は、充填する空間と同じハウスドルフ次元を持ちます。
• 2次元以上でのブラウン運動の軌道はハウスドルフ次元2であると推測される。 ^[10]

• ルイス・フライ・リチャードソンは、様々な海岸線のハウスドルフ次元のおおよその値を測定する詳細な実験を行った。その結果は、南アフリカの海岸線では1.02、イギリス西海岸では1.25と様々であった。^[5]

X を任意の可分距離空間とします。Xには帰納的に定義される帰納的次元という位相概念があります。これは常に整数 (または +∞) であり、 dim _ind ( X ) と表記されます。

定理。Xが空でないと仮定する。すると

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).}$

さらに、

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}$

ここで、Y はXに同相な距離空間上を移動します。言い換えると、XとY は同じ基底点の集合を持ち、Yの距離d _Yはd _Xと位相的に同値です。

これらの結果はもともとエドワード・シュピルライン（1907-1976）によって確立されました。例えば、HurewiczとWallmanの第7章を参照してください。^{[全文引用が必要]}

ミンコフスキー次元はハウスドルフ次元と似ており、少なくとも同じ大きさで、多くの場合、両者は等しくなります。ただし、 [0, 1] 内の有理点の集合では、ハウスドルフ次元は 0 で、ミンコフスキー次元は 1 です。ミンコフスキー次元がハウスドルフ次元よりも確実に大きいコンパクト集合も存在します。

距離空間Xのボレル部分集合上に定義された測度μがあり、μ ( X ) > 0 かつμ ( B ( x , r )) ≤ r ^sが、ある定数s > 0 およびX内のすべての球B ( x , r )に対して成立する場合、 dim _Haus ( X ) ≥ sが成立する。部分的な逆はフロストマンの補題によって提供される。^{[要出典] [11]}

が有限または可算な和集合である 場合、${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

これは定義から直接確認できます。

XとYが空でない距離空間である場合、それらの積のハウスドルフ次元は^{[12]を満たす。}

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

この不等式は厳密である可能性がある。次元0の2つの集合の積が次元1であるような集合が見つかる可能性がある。^[13]逆に、XとYがRnのボレル部分集合である^とき、 X × Yのハウスドルフ次元は、Xのハウスドルフ次元とYの上部パッキング次元の合計によって上から制限されることが知られている。これらの事実はMattila（1995）で議論されている。

自己相似条件によって定義される多くの集合は、明示的に決定できる次元を持ちます。大まかに言えば、集合E は、集合値変換 ψ の不動点である場合、つまり ψ( E ) = Eである場合に自己相似ですが、正確な定義は以下で示されます。

定理。仮定する

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

はそれぞれR ⁿ上の縮約写像であり、縮約定数r _i < 1 である。すると、空でないコンパクト集合Aが1 つ だけ存在し、

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

この定理は、ハウスドルフ距離を持つRnの^空でないコンパクト部分集合の完全な距離空間に適用されたステファン・バナッハの収縮写像不動点定理から導かれる。^[14]

自己相似集合Aの次元を決定するには（特定のケースでは）、縮約のシーケンス ψ _iに対する開集合条件（OSC）と呼ばれる技術的な条件が必要です。

コンパクト閉包を持つ 開集合Vが存在する。

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

ここで、左側の和集合は互いに素である。

オープンセット条件は、画像 ψ _i ( V ) が「過度に」重ならないようにするための分離条件です。

定理。開集合条件が成り立ち、各 ψ _iが相似、つまり等長変換とある点の周りの拡大の合成であると仮定する。すると、 ψ の唯一の不動点は、ハウスドルフ次元がsである集合であり、s は^[15]の唯一の解である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

相似形の収縮係数は膨張の大きさです。

一般に、写像によってそれ自身に運ばれる 集合Eは、

${\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

交差が次の条件を満たす場合にのみ自己相似です。

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,}$

ここで、s はEのハウスドルフ次元であり、H ^{s は}s 次元ハウスドルフ測度を表します。これは、シェルピンスキーのガスケットの場合（交差点は単なる点）には明らかですが、より一般的にも当てはまります。

定理。前の定理と同じ条件下では、ψ の唯一の不動点は自己相似です。

• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト。決定論的フラクタル、ランダムフラクタル、自然フラクタルの例。
• アソウド次元はフラクタル次元の別のバリエーションであり、ハウスドルフ次元と同様に、球による被覆を使用して定義される。
• 本質的な次元
• 梱包寸法
• フラクタル次元

• 数学百科事典のハウスドルフ次元
• 数学百科事典のハウスドルフ測度