いとこプライム

数論では、いとこ素数とは4差の素数です。^[1]これを双子素数（2差の素数のペア）やセクシー素数（6差の素数のペア） と比較してください。

1000 未満のいとこ素数 ( OEIS のシーケンスOEIS :A023200とOEIS : A046132 ) は次のとおりです。

(3, 7)、(7, 11)、(13, 17)、(19, 23)、(37, 41)、(43, 47)、(67, 71)、(79, 83)、(97) 、101)、(103、107)、(109、113)、(127、131)、(163、 167)、(193、197)、(223、227)、(229、233)、(277、281)、(307、311)、(313、317)、(349、353)、(379、383) 、(397、401)、(439、443)、 (457, 461)、(463,467)、(487, 491)、 (499, 503)、(613, 617)、(643, 647)、(673, 677)、(739, 743)、(757, 761)、(769, 773)、(823, 827)、(853) 、857)、(859、863)、(877、 881)、(883、887)、(907、911)、(937、941)、(967、971)

2 組のいとこ素数に属する唯一の素数は 7 です。n、n + 4、n + 8のいずれかの数は必ず 3 で割り切れるので、 3 つすべてが素数となるのはn = 3 の場合のみです。

証明された大きないとこ素数ペアの例は、( p , p + 4)です。

${\displaystyle p=4111286921397\times 2^{66420}+1}$

20008 桁あります。実際、p は双子素数でもあるため、これは素数 3 つ組の一部です( p – 2も証明済みの素数であるため)。

2024年11月現在^{[アップデート]}、最大のいとこ素数のペアはS.バタロフによって発見され、51,934桁あります。素数は次のとおりです。

解析に失敗しました（構文エラー）: {\displaystyle p = (42550837315 \times (2^{110503} - 1) + 1) \times 2^{110505} - 3}

解析に失敗しました（構文エラー）：{\displaystyle p+4 = (42550837315 \times (2^{110503} - 1) + 1) \times 2^{110505} + 1} ^[2]

第一ハーディ・リトルウッド予想が成り立つ場合、いとこ素数は双子素数と同じ漸近密度を持つ。双子素数のブルン定数の類似物は、いとこ素数に対して定義することができ、いとこ素数のブルン定数と呼ばれ、収束和によって最初の項(3, 7)が省略される：^[3]

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}$

^{2 42}までのいとこ素数を用いて、 B ₄の値は1996年にマレク・ウルフによって次のように推定された。

${\displaystyle B_{4}\approx 1.1970449}$^[4]

この定数は、素数四つ子に対するブルンの定数（ B ₄とも表記）と混同しないでください。

いとこ素数のSkewes数は5206837です（Tóth（2019））。

• ウェルズ、デイビッド（2011）。素数：数学における最も神秘的な数字。ジョン・ワイリー＆サンズ。p. 33。ISBN 978-1118045718。
• ファイン、ベンジャミン、ローゼンバーガー、ゲルハルト (2007)。素数分布による数論入門。ビルクハウザー。pp. 206。ISBN 978-0817644727。
• Tóth, László (2019)、「素数 k 組の漸近密度とハーディとリトルウッドの予想について」(PDF)、科学技術における計算方法、25 (3)、arXiv : 1910.02636、doi : 10.12921/cmst.2019.0000033。
• Wolf, Marek (1998年2 月)。「素数上のランダムウォーク」。Physica A: 統計力学とその応用。250 ( 1–4): 335–344。Bibcode :1998PhyA..250..335W。doi :10.1016/s0378-4371(97)00661-4。