L関数の特別な値

数学において、 L関数の特殊値の研究は、 πのライプニッツの公式などの公式を一般化することに専念する数論のサブフィールドです。 $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\ ,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

左辺の式は でもあることを認識することによって、ここで はガウス有理数体のディリクレL関数です。この公式は解析類数公式の特殊なケースであり、その用語ではガウス体が類数 1を持つことを示しています。公式の右辺の因子は、この体に 1の根が4 つ含まれていることに対応しています。 ${\displaystyle L(1)}$${\displaystyle L(s)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

L関数の一般的なクラス（非常に一般的な設定は、数体上のChow モチーフに関連付けられたL関数）に対して定式化された 2 つの予想ファミリーがあり、2 つに分割されるのは次のような質問を反映しています。

1. ライプニッツの公式を他の「超越」数に置き換える方法（超越数論が現在超越性の証明を提供できるかどうかに関係なく）${\displaystyle \pi}$
2. L関数値と「超越」因子の比を表す有理数の代数的構成によって、式 (クラス数を 1 の累乗根の数で割ったもの) の有理因子を一般化する方法。

この種の式が成立すると予想される の整数値については、補助的な説明が与えられます。${\displaystyle n}$${\displaystyle L(n)}$

(a) の予想は、アレクサンダー・ベイリンソンにちなんでベイリンソン予想と呼ばれています。^{[1] [2]}その考え方は、数体の規制因子から、代数 K 理論に由来する実ベクトル空間上に構築された行列式である「より高次の規制因子」（ベイリンソン規制因子）に抽象化するというものです。

(b) の予想は特殊値に対するブロッホ＝加藤予想と呼ばれている（スペンサー・ブロッホと加藤和也にちなむ。このアイデアの輪は、 2009年に証明が発表されたミルナー予想を拡張した、K理論のブロッホ＝加藤予想とは異なる）。これらは玉川数予想とも呼ばれ、この名前はバーチ＝スウィナートン＝ダイアー予想と、線型代数群に対する玉川数問題の楕円曲線類似体としてのその定式化に由来する。^{[3]さらなる拡張では、同変玉川数予想（ETNC）が定式化され、これらのアイデア}と岩澤理論およびそのいわゆる主予想とのつながりを強化している。

これらの推測はすべて、特殊な場合にのみ真実であることが知られています。

• ブルーマー・スターク予想

• キングス、グイド（2003）、「L関数の特殊値に関するブロッホ-カトー予想。既知の結果の調査」、ボルドー名詞理論ジャーナル、15（1）：179-198、doi：10.5802/jtnb.396、ISSN  1246-7405、MR  2019010
• 「ベイリンソン予想」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「代数幾何学における K 関数」、数学百科事典、EMS プレス、2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2010)、「小さなモジュライのディリクレ L 級数と素数ゼータ モジュロ関数の表」、arXiv : 1008.2547 [math.NT]

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (L-関数とドリーニュとベイルソンソンの予想)