選択公理

数学において、選択公理（せんたくこうりょく、英: choice of the noum）は、集合論の公理であり、空でない集合のコレクションの直積は空でないという命題と同等である。非公式に言えば、選択公理は、少なくとも 1 つの要素を含む任意の集合のコレクションが与えられた場合、そのコレクションが無限であっても、各集合から 1 つの要素を選択することで新しい集合を構築できるというものである。正式には、空でない集合のすべてのインデックス付き族に対して、任意の に対して となるインデックス付き集合が存在するというものである。選択公理は、1904 年にエルンスト・ツェルメロによって、整列定理の証明を形式化するために定式化された。^[1] ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

多くの場合、要素を選択することで作成される集合は、選択公理を呼び出さずに作成できます。特に、要素を選択する集合の数が有限である場合、または要素の選択方法に関する標準的な規則 (各集合内のちょうど 1 つの要素にたまたま当てはまる何らかの特徴的な特性) が利用できる場合はそうです。わかりやすい例として、自然数から選択された集合があります。このような集合からは、常に最小の数を選択できます。たとえば、集合 {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} が与えられた場合、各最小の要素を含む集合は {4, 10, 1} です。この場合、「最小の数を選択する」は選択関数です。自然数から無限に多くの集合が集められたとしても、各集合から最小の要素を選択して集合を作成することは常に可能です。つまり、選択関数は選択された要素の集合を提供します。しかし、実数の空でない部分集合すべてに対する明確な選択関数は知られていません。その場合、選択公理を呼び出す必要があります。

バートランド・ラッセルは次のような類推を生み出した。どんな（無限の）靴の集まりでも、各ペアから左の靴を取り出すことで適切な靴の集まり（つまりセット）を得ることができる。これにより、選択関数を直接定義することができる。一方、靴下の無限の集まり（区別できる特徴がないと仮定）の場合、選択公理を適用せずに各ペアから靴下を1足選択してセットを形成する関数を作成する明白な方法はない。^[2]

選択公理は、当初は議論の的となっていたが、現在ではほとんどの数学者によって何の留保もなく使用されており、[ ^3]公理的集合論の標準形式である選択公理を持つツェルメロ-フランケル集合論(ZFC) に含まれている。その動機の1つは、チコノフの定理など、一般的に受け入れられている数学的結果の多くが、その証明に選択公理を必要とすることである。現代の集合論者は、決定性公理など、選択公理と両立しない公理も研究している。選択公理は、構成的数学のいくつかの変種では避けられているが、選択公理を採用している構成的数学の変種もある。

選択関数（セレクターまたは選択とも呼ばれる）は、空でない集合のコレクションX上で定義される関数fであり、 X内のすべての集合Aに対して、f ( A ) はAの要素になります。この概念では、公理は次のように述べることができます。

正式には、次のように表現されます。

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup _{A\in X}A\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$

したがって、公理の否定は、選択関数を持たない空でない集合の集合の存在として表現できます。正式には、これはとの論理的同値性を利用して導出できます。 ${\displaystyle \neg \forall X\left[P(X)\to Q(X)\right]}$${\displaystyle \exists X\left[P(X)\land \neg Q(X)\right]}$

空でない集合の集合X上の各選択関数は、 X内の集合の直積の要素です。これは、特定の集合が因子として複数回出現する可能性がある集合族の直積の最も一般的な状況ではありません。ただし、特定の集合が因子として出現するたびに同じ要素を選択するような積の要素に注目することはできます。このような要素は、族内のすべての異なる集合の直積の要素に対応します。選択公理は、このような要素の存在を主張します。したがって、これは次と同等です。

空でない集合の任意の族が与えられた場合、それらの直積は空でない集合になります。

この記事および選択公理に関するその他の議論では、次の略語が一般的に使用されています。

• AC – 選択公理。まれにAoCが使われることもあります。^[4]
• ZF –選択公理を省略したツェルメロ-フランケル集合論。
• ZFC – 選択公理を含むように拡張されたツェルメロ-フランケル集合論。

選択公理には、他にも同等の記述が多数あります。これらは、集合論の他の基本公理が存在する場合、選択公理を暗示し、選択公理によって暗示されるという意味で同等です。

1 つのバリエーションでは、各選択関数をその範囲に置き換えることで、選択関数の使用を回避します。

任意の集合Xが与えられたとき、空集合がXの要素でなく、 Xの要素が互いに素である場合、 Xの任意の要素との交差にちょうど1つの要素が含まれるような集合Cが存在する。^[5]

これは、第一階論理では次のように形式化できます。

∀x (

∃o (o ∈ x ∧ ¬∃n (n ∈ o)) ∨

∃a ∃b ∃c (a ∈ x ∧ b ∈ x ∧ c ∈ a ∧ c ∈ b ∧ ¬(a = b)) ∨

∃c ∀e (e ∈ x → ∃a (a ∈ e ∧ a ∈ c ∧ ∀b ((b ∈ e ∧ b ∈ c) → a = b))))

P ∨ Q ∨ R は論理的には (¬P ∧ ¬Q) → R と同等であることに注意してください。
英語では、この第一階の文は次のようになります。

任意の集合Xが与えられると、

Xは空集合を要素として含むか、

Xの要素は互いに素ではないか、

Xの任意の要素との交差にちょうど 1 つの要素が含まれるような集合C が存在する。

これにより、集合 Xの任意の分割に対して、分割の各部分から正確に 1 つの要素を含む XのサブセットCの存在が保証されます。

もう一つの同等の公理は、本質的に他の集合の冪集合である集合Xのみを考慮します。

任意の集合Aについて、Aのべき集合（空集合を除いたもの）には選択関数があります。

この定式化を使用する著者は、しばしばA 上の選択関数について語りますが、これは選択関数の少し異なる概念です。その定義域はAの冪集合（空集合を除いたもの）であり、したがって任意の集合Aに対して意味を持ちますが、この記事の他の場所で使用されている定義では、集合の集合上の選択関数の定義域はその集合であり、したがって集合の集合に対してのみ意味を持ちます。この選択関数の別の概念では、選択公理は次のように簡潔に述べることができます。

すべてのセットには選択機能があります。^[6]

これは次の式と同等である。

任意の集合Aに対して関数f が存在し、Aの任意の空でない部分集合Bに対してf ( B ) がBに含まれる。

したがって、公理の否定は次のように表現できます。

集合Aが存在し、すべての関数f ( Aの空でない部分集合の集合上) に対して、 f ( B ) がBに含まれないようなBが存在する。

選択公理の通常の記述では、空でない集合の集合が有限か無限かは指定されず、したがって、空でない集合のすべての有限集合には選択関数があることを意味します。ただし、この特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論の定理 (ZF) であり、有限帰納法の原理によって簡単に証明できます。^[7] 1 つの集合の集合というさらに単純なケースでは、選択関数は単に要素に対応するため、この選択公理の例は、すべての空でない集合には要素があると述べています。これは自明に成り立ちます。選択公理は、有限集合に対してすでに明らかなこの特性を、任意の集合に一般化することを主張するものと見ることができます。

19 世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙的に使われることが多かった。たとえば、集合X には空でない集合だけが含まれると確定した後、数学者は関数F を定義するために「 X内のすべてのsに対してF ( s ) をsの要素の 1 つとする」と言ったかもしれない。一般に、選択公理なしにF が存在することを証明することは不可能だが、これはツェルメロまで気づかれなかったようだ。

コレクション内の個々の空でない集合の性質により、特定の無限コレクションに対しても選択公理を回避できる場合があります。たとえば、コレクションXの各メンバーが自然数の空でない部分集合であるとします。このような部分集合にはそれぞれ最小の要素があるため、選択関数を指定するには、各集合をその集合の最小の要素にマッピングすると言うだけで済みます。これにより、各集合から要素を確実に選択できるため、集合論の公理に選択公理を追加する必要がなくなります。

困難が生じるのは、各集合から自然に要素を選択できない場合です。明示的に選択できない場合、選択が正当な集合 (集合論の他の ZF 公理で定義されているように) を形成することをどうやって知るのでしょうか。たとえば、X が実数のすべての空でない部分集合の集合であるとします。まず、 X が有限であるかのように進めてみるかもしれません。各集合から要素を選択しようとすると、X は無限であるため、選択手順は決して終了せず、結果として、X全体に対する選択関数を生成することはできません。次に、各集合から最小の要素を指定してみるかもしれません。しかし、実数の部分集合の中には最小の要素がないものもあります。たとえば、開区間(0,1) には最小の要素がありません。つまり、x が(0,1) に含まれる場合、x /2 も含まれ、x /2 は常にxよりも厳密に小さくなります。したがって、この試みも失敗します。

さらに、たとえば単位円Sと、すべての有理回転、つまりπの有理倍数の角度による回転からなる 群GによるSへの作用について考えてみましょう。ここでGは可算ですが、Sは不可算です。したがって、S はGの下で不可算個の軌道に分解されます 。選択公理を使用すると、各軌道から 1 つの点を選択して、Gによるすべての平行移動がXと互いに素である という特性を持つSの不可算部分集合X を取得できます。これらの平行移動の集合は、円を、すべて対で合同である対で互いに素な集合の可算なコレクションに分割します。X はS上の回転不変の可算加法有限測度に対して測定できないため、各軌道で点を選択して集合を形成するアルゴリズムを見つけるには、集合論の公理に選択公理を追加する必要があります。詳細については、 非測定集合を参照してください。

古典的算術では、自然数は整列しています。つまり、自然数の空でない部分集合ごとに、自然順序付けのもとで一意の最小元が存在します。このようにして、任意の部分集合から集合を指定できます。「実数の通常の順序付けが機能しない場合でも、整列である実数の異なる順序付けを見つけることができる場合があります。そうすれば、選択関数は、通常とは異なる順序付けのもとで、すべての集合の最小元を選択できます。」と言う人もいるでしょう。すると、問題は整列を構築することになり、その存在には選択公理が必要であることがわかります。すべての集合は、選択公理が成り立つ場合にのみ整列できます。

選択公理を必要とする証明は、集合論の言語でオブジェクトを明示的に定義することなく、オブジェクトの存在を証明することができる。たとえば、選択公理は実数の整列性が存在することを示唆しているが、選択公理を持つ集合論のモデルでは実数の個々の整列性が定義できないものがある。同様に、ルベーグ測定可能でない実数のサブセットは選択公理を使用して存在することが証明できるが、そのようなセットは定義できないことは一貫している。 ^[8]

選択公理は、これらの無形の存在（存在が証明されているが、明示的に構築できないオブジェクト）を証明するものであり、いくつかの哲学的原理と矛盾する可能性があります。^{[9]すべての集合の}標準的な整列は存在しないため、整列に依存する構成は、標準的な結果が望まれる場合でも（圏論でよくあるように）、標準的な結果を生成しない可能性があります。これは、選択公理の使用に反対する議論として使用されてきました。

選択公理に対するもう一つの反論は、それが直感に反すると思われる物体の存在を暗示しているというものである。^[10]一例はバナッハ＝タルスキーのパラドックスであり、3次元の立体単位球を有限個の断片に分解し、回転と平行移動のみを使用して、断片を元の球と同じ体積の2つの立体球に再構成することが可能であるというものである。選択公理を使用して構築されたこの分解の断片は、非測定集合である。

さらに、物理学における無信号原理の選択公理の逆説的な結果が最近指摘されている。^[11]

これらの一見矛盾した結果にもかかわらず、ほとんどの数学者は選択公理を数学における新しい結果を証明する有効な原理として受け入れています。しかし、この議論は、ZFC (ZF プラス AC) の定理が選択公理と論理的に同等(ZF 公理のみ) である場合に注目すべきものと見なされるほど興味深いものであり、数学者は選択公理が偽であることを要求する結果を求めますが、このタイプの演繹は選択公理が真であることを要求するタイプよりも一般的ではありません。

ZF の定理は、その特定のモデルにおける選択公理の真偽に関係なく、その理論のどのモデルでも成立します。公理自体の弱いバージョンを含む以下の選択の含意は、ZF の定理ではないためリストされています。たとえば、バナッハ-タルスキーのパラドックスは、ZF だけでは証明も反証もできません。ZF で単位球の必要な分解を構成することは不可能ですが、そのような分解が存在しないことを証明することも不可能です。このようなステートメントは、条件ステートメントとして言い換えることができます。たとえば、「AC が成立する場合、バナッハ-タルスキーのパラドックスの分解が存在する」などです。このような条件ステートメントは、元のステートメントが ZF と選択公理から証明可能である場合、ZF で証明可能です。

上で論じたように、ZFC の古典理論では、選択公理によって、明示的なインスタンスを構築せずにオブジェクトの存在を証明する非構成的証明が可能になります。実際、集合論とトポス理論では、ディアコネスクの定理によって、選択公理が排中律を意味することが示されています。したがって、この原理は、非古典的論理が採用されている 構成的集合論では利用できません。

原理がマルティン・レーフ型理論で定式化される場合、状況は異なります。そこでは、高階のヘイティング算術により、選択公理の適切な記述は（アプローチに応じて）公理として含まれるか、定理として証明可能です。^[12]この違いの原因は、型理論の選択公理には、構成的集合論の選択公理が持つような拡張性特性がないことです。 ^[13]型理論の文脈については、以下でさらに説明します。

構成的文脈ではさまざまな選択原理が徹底的に研究されてきたが、その原理の地位は構成的数学の学派や変種によって異なる。構成的集合論におけるいくつかの結果は、排中律を示唆しない可算選択公理や従属選択公理を使用している。構成的分析の枠組みを開発したことで有名なエレット・ビショップは、選択公理は構成的に受け入れられると主張し、次のように述べた。

構成的数学には選択関数が存在する。なぜなら、選択は存在そのものの意味に暗示されているからである。^[14]

特に可算選択公理は構成的数学でよく使われるが、その使用法も疑問視されてきた。^[15]

1922年という早い時期から、アブラハム・フランケル^[16]によって導入され、アンジェイ・モストフスキー^{[17]によってさらに発展させられた}順列モデルの手法を通じて、 ZFの変形である固有元では選択公理が成り立たないことが知られていました。基本的な手法は次のように説明できます。x _nとy _{n を}n =1, 2, 3...に対して異なる固有元とし、有限個のn を除くすべての n に対して、各セットがx _n ↔ y _nの交換に関して対称となるモデルを構築します。すると、セットX = {{ x ₁ , y ₁ }, { x ₂ , y ₂ }, { x ₃ , y ₃ }, ...} はモデルに含めることができますが、{ x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...}などのセットは含めることができず、したがってX は選択関数を持つことができません。

1938年、^[18] クルト・ゲーデルは、ZFC を満たす内部モデル(構築可能な宇宙)を構築することで、選択公理の否定が ZF の定理ではないことを示し、ZF 自体が矛盾しなければ ZFC も矛盾しないことを示した。1963年、ポール・コーエンは、この目的のために開発された強制の手法を使用して、ZF が矛盾しないと仮定すると、選択公理自体は ZF の定理ではないことを示した。彼は、ZF¬C (AC の否定を公理として追加した ZF) を満たすはるかに複雑なモデルを構築し、ZF¬C が矛盾しないことを示した。コーエンのモデルは対称モデルであり、順列モデルに似ているが、自然数の「一般的な」サブセット (強制によって正当化される) を原素の代わりに使用する。^[19]

これらの結果を合わせると、選択公理はZF から論理的に独立していることが証明されます。ZF が一貫しているという仮定は無害です。すでに矛盾しているシステムに別の公理を追加しても、状況が悪化することはありません。独立性があるため、証明で選択公理 (またはその否定) を使用するかどうかの決定は、集合論の他の公理に頼って行うことはできません。他の根拠に基づいて行う必要があります。

選択公理の使用を支持する議論の 1 つは、選択公理を使用すると、他の方法では証明できないいくつかの単純化された命題を証明できるため便利であるという点です。選択公理を使用して証明できる定理の多くは、簡潔な一般性質を持っています。たとえば、任意の2 つの集合の濃度は比較可能、単位元を持つすべての非自明な環には最大イデアル、すべてのベクトル空間には基底、すべての連結グラフには全域木、コンパクト空間のすべての積はコンパクトである、などです。選択公理を使用すると、定理を「より大きな」オブジェクトに一般化できることがよくあります。たとえば、有限次元のすべてのベクトル空間には基底があることは選択公理がなくても証明できますが、すべてのベクトル空間に一般化するには選択公理が必要です。同様に、コンパクト空間の有限積は選択公理がなくてもコンパクトであることを証明できますが、無限積 (チコノフの定理) に一般化するには選択公理が必要です。

独立性の証明は、ペアノ算術の言語で表現できるすべてのステートメントを含む幅広いクラスの数学的ステートメントが、ZFCで証明可能な場合にのみZFで証明可能であることも示しています。^[20]このクラスのステートメントには、P = NP、リーマン予想、およびその他の多くの未解決の数学の問題が含まれます。このクラスの問題を解決しようとするときに、証明の存在だけが問題である場合、ZFまたはZFCのどちらを使用しても違いはありません。ただし、ZFCからの定理の証明がZFからの定理よりも短い可能性があります。

選択公理は、ZF から独立している唯一の重要なステートメントではありません。たとえば、一般化連続体仮説(GCH) は、ZF から独立しているだけでなく、ZFC からも独立しています。ただし、ZF と GCH を組み合わせると AC が暗示されるため、どちらも ZF から独立しているにもかかわらず、GCH は AC よりも厳密に強い主張になります。

構成可能性公理と一般化連続体仮説はそれぞれ選択公理を含意するため、選択公理よりも厳密に強い。フォン・ノイマン-バーネイス-ゲーデル集合論やモース-ケリー集合論などのクラス理論には、大域選択公理と呼ばれる公理があり、これは適切なクラスにも適用されるため、集合の選択公理よりも強い。大域選択公理は、サイズ制限公理から従う。タルスキ-グロタンディーク集合論で使用され、（俗語で）すべての集合が何らかの グロタンディーク宇宙に属すると述べているタルスキの公理は、選択公理よりも強い。

ZFの公理を仮定し、ACと¬ACの公理を仮定しない場合、選択公理と同値となる重要な命題がある。^[21]その中で最も重要なのは、ツォルンの補題と整列定理である。実際、ツェルメロは整列定理の証明を形式化するために、最初に選択公理を導入した。

• 集合論
  • 選択に関するタルスキーの定理: あらゆる無限集合Aに対して、集合 AとA × Aの間には全単射写像が存在する。
  • 三分法: 2 つのセットが与えられた場合、それらの基数は同じか、または一方の基数が他方より小さくなります。
  • 空でない 2 つの集合が与えられた場合、一方は他方への全射を持ちます。
  • すべての全射関数には右逆関数が存在します。
  • 空でない集合の族の直積は空でない。言い換えれば、空でない集合の族にはそれぞれ選択関数（つまり、空でない集合のそれぞれをその要素の 1 つにマッピングする関数）がある。
  • ケーニッヒの定理: 口語的に、基数の列の合計は、より大きな基数の列の積よりも厳密に小さくなります。(「口語的に」という用語を使用する理由は、基数の「列」の合計または積は、選択公理の一部の側面なしには定義できないためです。)
  • 整列定理: すべての集合は整列可能です。したがって、すべての基数には初期順序数があります。
  • ゾルンの補題: すべてのチェーン (つまり、完全に順序付けられた部分集合)に上限がある空でないすべての部分順序付き集合には、少なくとも 1 つの最大要素が含まれます。
  • ハウスドルフ最大原理: すべての半順序集合には最大連鎖が存在する。同様に、任意の半順序集合では、すべての連鎖を最大連鎖に拡張できる。
  • Tukey の補題:有限特性を持つ空でないすべての集合には、包含に関して最大​​の元が存在する。
  • 反連鎖原理: すべての半順序集合には最大反連鎖が存在します。同様に、任意の半順序集合では、すべての反連鎖を最大反連鎖に拡張できます。
• 抽象代数
  • あらゆるベクトル空間は基底（つまり線型独立な全域集合）を持つ。言い換えれば、ベクトル空間は自由加群と同値である。^[22]
  • クルルの定理: すべての単位環(自明環を除く)には最大イデアルが含まれます。同様に、任意の非自明単位環では、すべてのイデアルを最大イデアルに拡張できます。
  • 空でない集合Sに対しては、 Sに群構造を与える二項演算が定義される。^[23]（相殺二項演算で十分である。群構造と選択公理を参照。）
  • 任意の自由アーベル群は射影的である。^[24]
  • ベールの基準：すべての可分群は単射である。^[24]
  • あらゆる集合は集合の集合というカテゴリ内の射影的対象である。^{[25] [26]}
• 機能分析
  • 実数上のノルムベクトル空間の双対の閉じた単位球には、極点があります。
• 点集合トポロジー
  • 連結な位相空間の族の直積は連結である。
  • ティコノフの定理: 任意のコンパクトな位相空間族の直積はコンパクトである。
  • 積位相では、部分集合の積の閉包は閉包の積に等しくなります。
• 数学的論理
  • S が一階述語論理の文の集合であり、B がSの一貫した部分集合である場合、B はSの一貫した部分集合の中で最大の集合に含まれます。 Sが特定のシグネチャ内のすべての一階述語文の集合である特殊なケースはより弱く、ブール素イデアル定理と同等です。以下の「より弱い形式」のセクションを参照してください。
• グラフ理論
  • 連結グラフには全域木が存在する。同様に、空でないグラフには全域森が存在する。^[27]

カテゴリー理論におけるいくつかの結果は、その証明に選択公理を援用している。これらの結果は、技術的基礎の強さに応じて、選択公理よりも弱い、同等、または強い場合がある。たとえば、カテゴリーを集合、つまりオブジェクトと射の集合（通常、小カテゴリーと呼ばれる）として定義する場合、またはホムオブジェクトが集合である局所的に小カテゴリーとして定義する場合、すべての集合のカテゴリーは存在せず、したがってカテゴリー理論的定式化をすべてのセットに適用することは困難である。一方、カテゴリー理論の他の基礎的記述はかなり強力であり、同一のカテゴリー理論的選択ステートメントは、上記のクラス理論のような標準的な定式化よりも強力である可能性がある。

選択を必要とするカテゴリー理論的ステートメントの例には次のものがあります。

• すべての小さなカテゴリにはスケルトンがあります。
• 2 つの小さなカテゴリが弱同値である場合、それらは同値です。
• 適切な解集合条件を満たす小完全カテゴリ上のすべての連続関手には、左随伴関数があります(Freyd の随伴関手定理)。

選択公理と同等ではないが、密接に関連している弱い命題がいくつかあります。1 つの例は、従属選択公理(DC) です。さらに弱い例は、可算選択公理(AC _ωまたは CC) で、これは、空でない集合の任意の可算集合に対して選択関数が存在することを述べています。これらの公理は、初等数学解析の多くの証明に十分であり、すべての実数集合のルベーグ測定可能性など、完全な選択公理から反証可能ないくつかの原理と一致しています。

順序パラメータ α ≥ ω+2 が与えられると、ランクが α 未満のすべての集合Sに対して、 S は順序付け可能です。順序パラメータ α ≥ 1 が与えられると、ハートグス数が ω _α未満のすべての集合Sに対して、S は順序付け可能です。順序パラメータが増加すると、これらは選択公理全体にますます近似します。

選択公理よりも弱い他の選択公理には、ブール素イデアル定理と均一化公理があります。前者は、ZF では、すべてのフィルターは何らかの超フィルターのサブセットであるという、1930 年のTarskiの超フィルター補題と同等です。

選択公理の最も興味深い側面の 1 つは、数学においてそれが現れる場所が多数あることです。以下は、ZF からは証明できないが ZFC (ZF プラス AC) からは証明できるという意味で選択公理を必要とするステートメントの一部です。同様に、これらのステートメントは ZFC のすべてのモデルでは真ですが、ZF の一部のモデルでは偽です。

• 集合論
  • 超フィルタ補題（ZF付き）は有限集合の選択公理を証明するために使用できる。空でない有限集合の集合が与えられた場合、それらの積は空ではない。^[28]${\displaystyle I\neq \varnothing }$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$
  • 可算集合の任意の可算族の和集合は可算です (これには可算な選択が必要ですが、選択公理の完全版は必要ありません)。
  • 集合Aが無限大ならば、自然数NからAへの単射が存在する（デデキントの無限大参照）。^[29]
  • 有限集合の8つの定義は同等である。^[30]
  • ベール空間のボレル部分集合であるすべての無限ゲーム が決定されます。${\displaystyle G_{S}}$${\displaystyle S}$
• 任意の無限基数 κは2× κ = κを満たす。^[31]
• 測度論
  • 非測定集合の存在に関するヴィタリの定理。これは、ルベーグ測定可能ではない実数のサブセットが存在することを述べている。
  • 実数には、ボレル集合ではないルベーグ測定可能な部分集合が存在します。つまり、実数上のボレルσ代数（すべての実区間によって生成される）は、実数上のルベーグ測定σ代数とは異なります。
  • ハウスドルフのパラドックス。
  • バナッハ＝タルスキーのパラドックス。
• 代数
  • すべての体には代数的閉包が存在します。
  • すべてのフィールド拡張には超越基底があります。
  • すべての無限次元ベクトル空間には、無限の線形独立な部分集合が含まれます (これには従属選択が必要ですが、選択公理は完全ではありません)。
  • ブール代数に対するストーンの表現定理には、ブール素イデアル定理が必要です。
  • ニールセン・シュライアーの定理、自由群のすべての部分群は自由である。
  • RとCの加法群は同型である。^{[32] [33]}
• 機能分析
  • 関数解析におけるハーン・バナッハの定理。線形関数の拡張を可能にする。
  • すべてのヒルベルト空間は正規直交基底を持つという定理。
  • 関数集合のコンパクト性に関するバナッハ-アラオグル定理。
  • 完全な距離空間に関するベールのカテゴリ定理と、開写像定理や閉グラフ定理などのその結果。
  • あらゆる無限次元位相ベクトル空間には不連続線型写像が存在する。
• 一般的なトポロジー
  • 均一空間がコンパクトであるためには、それが完全かつ完全に有界である必要があります。
  • すべてのティコノフ空間にはストーン-チェフのコンパクト化が存在する。
• 数学的論理
  • ゲーデルの第一階述語論理の完全性定理: 第一階述語文のすべての一貫性のある集合には完全性がある。つまり、第一階述語文のすべての一貫性のある集合は、最大の一貫性のある集合に拡張できる。
  • コンパクト性定理： が一階（あるいはゼロ階）文の集合であり、 のすべての有限部分集合がモデルを持つ場合、 にはモデル が存在する。^[34]${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

AC によって暗示される歴史的に重要な集合論的命題には、AC との同値性が未解決であるものがいくつかある。ツェルメロは、AC を信じる根拠として、AC 自体より前に定式化された分割原理を引用した。1906 年にラッセルは PP が同値であると宣言したが、分割原理が AC を意味するかどうかは集合論における最も古い未解決問題であり、^[35]他の命題の同値性も同様に難しい古い未解決問題である。選択が失敗する ZF の既知のモデルすべてにおいて、これらの命題も失敗するが、選択なしでこれらが成り立つかどうかは不明である。

• 集合論
  • 分割原理: AからBへの全射が存在する場合、 BからAへの単射が存在します。同様に、集合Sのすべての分割PのサイズはS以下です。
  • 逆シュレーダー・ベルンシュタインの定理: 2 つの集合が互いに全射を持つ場合、それらは同数である。
  • 弱い分割原理: AからBへの単射と全射がある場合、AとB は同数です。同様に、集合Sの分割はSより厳密に大きくなることはできません。WPP が成り立つ場合、これはすでに非測定集合の存在を意味します。前の 3 つのステートメントはそれぞれ、前のステートメントによって暗示されていますが、これらの意味のいずれかが逆転できるかどうかは不明です。
  • 基数の無限減少列は存在しない。同値性は 1905 年に Schoenflies によって推測された。
• 抽象代数
  • ハーンの埋め込み定理: すべての順序付きアーベル群Gは、辞書式順序が与えられた加法群のサブグループとして順序付きで埋め込まれます。ここで、Ω はGのアルキメデス同値類の集合です。この同値は、1907 年にハーンによって推測されました。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$

実数のあらゆる集合はベールの性質を持つという主張をBPと略すと、BPは、おそらく1つの空でない集合の集合上にのみ選択関数が存在しないと主張する¬ACよりも強い。強化された否定は、ACの弱められた形式と互換性がある可能性がある。たとえば、ZF + DC ^[36] + BPは、ZFが一貫している場合、一貫している。

また、実数のすべての集合がルベーグ測定可能であることも ZF + DC と矛盾しませんが、ロバート・M・ソロベイによるこの矛盾のない結果はZFC 自体では証明できず、軽度の大基数仮定 (到達不可能な基数の存在) を必要とします。はるかに強力な決定性公理、つまり AD は、実数のすべての集合がルベーグ測定可能であり、ベールの特性を持ち、完全集合の特性を持つことを意味します (これら 3 つの結果はすべて AC 自体によって反証されています)。ZF + DC + AD は、十分に強力な大基数公理が矛盾しない (無限個のウッディン基数が存在する) 限り矛盾しません。

クワインの公理的集合論体系である新基礎（NF）は、それを導入した1937年の論文のタイトル（「数学論理のための新基礎」）にちなんで名付けられました。NF公理体系では、選択公理は反証可能です。^[37]

ツェルメロ-フランケル集合論のモデルの中には、選択公理が偽であるものがあります。ここでは、「ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理の否定」を ZF¬C と略します。ZF¬C の特定のモデルでは、いくつかの標準的な ZFC 定理の否定を検証できます。ZF¬C のどのモデルも ZF のモデルであるため、次の各ステートメントに対して、そのステートメントが真である ZF モデルが存在します。

• 弱い分割原理の否定: 元の集合の要素数よりも厳密に多い同値類に分割できる集合と、その範囲よりも厳密に小さい定義域を持つ関数が存在します。実際、これは既知のすべてのモデルに当てはまります。
• 実数から実数への関数fが存在し、 f はaで連続ではないが、f はaで順次連続である、つまり、aに収束する任意のシーケンス { x _n }に対して、 lim _n f( x _n )=f(a) である。
• 実数には、可算無限部分集合のない無限集合が存在します。
• 実数は可算集合の可算和集合である。^[38]これは実数が可算であることを意味するものではない。上で指摘したように、可算集合の可算和集合自体が可算であることを示すには、可算選択公理が必要である。
• 代数的閉包を持たない体が存在する。
• ZF¬C のすべてのモデルには、基底を持たないベクトル空間が存在します。
• 異なる基数を持つ 2 つの基底を持つベクトル空間が存在します。
• 可算な数のジェネレータ上には自由完全ブール代数が存在する。 ^[39]
• 線形順序付けできない集合が存在します。
• ZF¬C のモデルが存在し、その中で R ⁿのすべての集合は測定可能です。したがって、ZFC で証明可能なバナッハ-タルスキーのパラドックスのような直感に反する結果を排除できます。さらに、これは従属選択公理を仮定しながら可能です。従属選択公理はAC より弱いですが、実解析のほとんどを展開するには十分です。
• ZF¬C のすべてのモデルでは、一般化連続体仮説は成り立ちません。

証明については、Jech (2008) を参照してください。

さらに、集合に定義可能性条件を課すことによって（記述的集合論の意味で）、一般的な選択公理と両立しない公理から選択公理の制限されたバージョンを証明できる場合がよくあります。これは、たとえば、モスコバキスの符号化補題に現れます。

型理論では、異なる種類のステートメントが選択公理として知られています。この形式は、2 つの型 σ と τ 、および型 σ のオブジェクトと型 τ のオブジェクト間の関係Rから始まります。選択公理は、型 σ の各xに対して、 R ( x、y )となる型 τ のy が存在する場合、型 σ のオブジェクトから型 τ のオブジェクトへの関数fが存在し、型 σ のすべてのxに対してR ( x、f ( x )) が成り立つことを述べています。

${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$

集合論とは異なり、型理論における選択公理は通常、公理スキームとして表現され、その中でR はすべての式または特定の論理形式のすべての式にわたって変化します。

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翻訳：Jean van Heijenoort、2002年。From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 。新版。ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-32449-8 

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• 1908年。「集合論の基礎に関する研究I」199-215。

Wikiquote に選択公理に関する引用があります。

• Springer Encyclopedia of Mathematicsの選択公理の項目。
• ProvenMath の選択公理とその同等物のエントリ。選択公理、ハウスドルフの最大原理、ゾルンの補題の正式な記述と、それらの同等性の詳細な形式的証明が含まれています。
• 選択公理の結果 Archived 15 May 2021 at the Wayback Machine 、ポール・ハワード Archived 26 February 2021 at the Wayback Machineとジャン・ルビンの著書に基づいています。
• スタンフォード哲学百科事典のジョン・レーン・ベルによる「選択公理」の項目。