世襲財産

数学において、遺伝的特性とは、オブジェクトのすべてのサブオブジェクトに継承される特性のことです。サブオブジェクトの意味はコンテキストによって異なります。これらの特性は、特に位相幾何学やグラフ理論で考慮されますが、集合論でも考慮されます。

位相幾何学において、位相的性質が遺伝的であるとは、位相空間がその性質を持つときはいつでも、その位相空間のすべての部分空間もその性質を持つ場合を言います。後者が閉じた部分空間に対してのみ真である場合、その性質は弱遺伝的または 閉遺伝的と呼ばれます。

例えば、第二可算性と距離可能性は遺伝的性質である。連続性とハウスドルフコンパクト性は弱遺伝性であるが、遺伝性ではない。^[1] 連結性は弱遺伝性ではない。

P が位相空間Xの特性であり、すべての部分空間も特性Pを持つ場合、X は「遺伝的にP 」であると言われます。

遺伝的特性は、さまざまな名前で知られていますが、組み合わせ論とグラフ理論のいたるところで見られます。たとえば、順列パターンのコンテキストでは、遺伝的特性は通常、順列クラスと呼ばれます。

グラフ理論では、遺伝的性質とは通常、グラフの性質が誘導サブグラフにも当てはまる（「継承される」）ことを意味します。^[2]同様に、遺伝的性質は頂点を除去しても保持されます。グラフクラスは、誘導サブグラフの下で閉じている場合に遺伝的と呼ばれます。遺伝的グラフクラスの例としては、独立グラフ（エッジのないグラフ）があります。これは、ある数cに対してc色可能である特別なケース（c = 1）であり、フォレスト、平面、完全、完全多部など です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

「遺伝的」という用語は、グラフマイナーを参照して定義されることがあります。その場合、マイナー遺伝的特性と呼ばれることがあります。ロバートソン・シーモア定理は、マイナー遺伝的特性が、禁制マイナーの有限集合の観点から特徴付けられる可能性があることを意味します。

「遺伝的」という用語は、部分グラフを取ることに関して閉じているグラフ特性にも使用されています。^[3]このような場合、誘導部分グラフを取ることに関して閉じている特性は、 誘導遺伝的と呼ばれます。遺伝的特性と誘導遺伝的特性の言語は、さまざまな種類の一般化着色の構造特性を研究するための強力なツールを提供します。この分野で最も重要な結果は、一意因数分解定理です。^[4]

グラフ理論における「単調性」の意味についてはコンセンサスがありません。定義の例は次のとおりです。

• エッジを除去することで保存されています。^[5]
• 辺と頂点を削除しても保持される（つまり、この特性はすべてのサブグラフに当てはまるはずである）。^[2]
• 辺と頂点を追加してもこの性質は維持される（つまり、この性質はすべてのスーパーグラフに当てはまるはずである）。^[6]
• 辺の追加によって保存される。^{[7] （この意味は}、Aanderaa-Karp-Rosenberg予想の記述で使用されている。）

エッジの除去によって保存される特性の相補特性は、エッジの追加によっても保存されます。したがって、一部の著者は、特性 A は、A または A ^C (A の相補) が単調である場合に単調であると述べることで、この曖昧さを回避しています。^[8]一部の著者は、何らかのオブジェクトの追加によって保存される特性に対して単調増加という用語を使用し 、同じオブジェクトの削除によって保存される特性に対して 単調減少という用語を使用することで、この問題を解決しています。

マトロイドでは、独立集合のすべての部分集合は再び独立です。これは集合の遺伝的性質です。

マトロイドのファミリーは遺伝的特性を持つ場合があります。たとえば、マトロイドマイナーを取ることで閉じられるファミリーは「遺伝的」と呼ばれることがあります。

計画と問題解決、またはより正式には一人ゲームでは、探索空間は、状態をノード、遷移をエッジとする有向グラフとして見られます。状態はプロパティを持つことができ、そのようなプロパティ P が遺伝的であるとは、 Pを持つ各状態 S に対して、 S から到達できる各状態にもP があることを意味します。

P を持つすべての状態のサブセットと ~P を持つすべての状態のサブセットは、遺伝的分割と呼ばれる状態の集合の分割を形成します。この概念は、状態の側面とそのドメインを考慮することで、プロパティの代わりに、より識別的な分割に簡単に拡張できます。状態が側面A を持ち、d _i ⊂ DがAのドメインDの分割である場合、 A ∈ d _iである状態のサブセットは、 ∀ iの場合に限り、状態の全集合の遺伝的分割を形成し、 A ∈ d _iである任意の状態から、A ∈ d _iである他の状態のみに到達できます。

現在の状態と目標状態が遺伝的パーティションの異なる要素にある場合、現在の状態から目標状態へのパスは存在せず、問題には解決策がありません。

チェッカーボードを、それぞれがちょうど 2 つの隣接するフィールドをカバーするドミノ タイルで覆うことはできますか? はい。左上と右下のフィールドを削除したらどうなるでしょうか? そうすると、覆われていない白いフィールドの数と覆われていない黒いフィールドの数の差が 2 であるため、覆うことはできなくなります。また、ドミノ タイルを追加しても (1 つの白いフィールドと 1 つの黒いフィールドをカバーする)、その数は 2 のままです。合計で覆う場合、その数は 0 であるため、開始位置から合計で覆うことはできません。

この概念はローラン・シクロッシーとローチによって初めて導入されました。^[9]

モデル理論と普遍代数では、与えられたシグネチャの構造のクラスK は、 Kの構造のすべての部分構造が再びKに含まれる場合、遺伝的性質を持つと言われます。この定義の変形は、Fraïssé の定理に関連して使用されます。有限生成構造のクラスKは、有限生成部分構造がすべて再びKに含まれる場合、遺伝的性質を持ちます。ageを参照してください。

集合論では、「遺伝的」という形容詞を使った再帰的な定義がよく見られます。

集合の要素がすべて遺伝集合である場合、その集合は遺伝的（または純粋）であると言われます。空集合が遺伝集合であることは空虚に真であり、したがって空集合のみを含む集合は遺伝集合であり、たとえば再帰的にも は遺伝集合です。フォン・ノイマン宇宙で解釈されることを意図した集合論の定式化、またはツェルメロ-フランケル集合論の内容を表現することを目的としている集合論の定式化では、集合の要素の候補となる可能性のある唯一のオブジェクトは別の集合であるため、すべての集合は遺伝的です。したがって、遺伝集合の概念は、未要素が存在する可能性があるコンテキストでのみ興味深いものです。 ${\displaystyle \{\varnothing \}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$

いくつかの概念は同様に定義されます:

• 遺伝的有限集合は、 0個以上の遺伝的有限集合からなる有限集合として定義されます。同様に、集合が遺伝的に有限であるためには、その推移閉包が有限である必要があります。
• 遺伝的に可算な集合は、遺伝的に可算な集合の可算な集合です。可算選択公理を仮定すると、集合が遺伝的に可算なのは、その推移閉包が可算な場合のみです。

上記に基づいて、ZFC では、任意の述語 に対してより一般的な概念を定義できるということになります。集合x が特性を遺伝的に持つとは、x自身とその推移閉包のすべての要素が を満たす、つまり であることを意味します。同様に、x がを遺伝的に満たすのは、それが の推移的部分集合のメンバーである場合に限ります^{[10] [11]}したがって、集合の特性は、すべての部分集合に継承される場合に遺伝的であると言われます。たとえば、整列していることは遺伝的特性であり、したがって有限です。^[12]${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (y)}$${\displaystyle x\cup \mathop {\rm {tc}} (x)\subseteq \{y:\Phi (y)\}}$${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \{y:\Phi (y)\}.}$

上記の図式で「x の濃度はκ 未満である」と例証すると、より一般的な概念である、遺伝的にκ未満の濃度を持つ集合が得られ、これは通常^[13]またはと表記されます。上で紹介した 2 つの単純な概念、つまり遺伝的に有限な集合の集合と遺伝的に可算な集合の集合が再び得られます。 ^[14] (は最初の不可算順序数です。) ${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle H_{\kappa }}$${\displaystyle H(\kappa )}$${\displaystyle H(\omega )}$${\displaystyle H(\omega _{1})}$${\displaystyle \omega _{1}}$