不変部分空間問題

関数解析として知られる数学の分野において、不変部分空間問題は、複素バナッハ空間上のすべての有界作用素が、それ自身に何らかの非自明な閉部分空間を送るかどうかを問う、部分的に未解決の問題である。この問題の多くの変種は、考慮される有界作用素のクラスを制限したり、バナッハ空間の特定のクラスを指定したりすることで解決されている。この問題は、可分ヒルベルト空間に対してはまだ未解決である（言い換えれば、これまでに見つかっている、非自明な不変部分空間を持たない作用素の各例は、可分ヒルベルト空間と同型ではないバナッハ空間に作用する作用素である）。

この問題は、コンパクト演算子の場合の肯定的な解を見つけた（しかし公表はされなかった）Beurlingとvon Neumann ^[1]の研究の後に、 20 世紀半ばに提起されたようです。その後、この問題は、 がコンパクトであるような演算子 の場合について、Paul Halmosによって提起されました。これは、より一般的な多項式コンパクト演算子のクラス（が適切に選ばれた非ゼロ多項式 に対するコンパクト演算子であるような演算子）に対して、Allen R. Bernstein とAbraham Robinsonによって1966 年に肯定的に解決されました（証明の概要については、 「非標準解析」§「不変部分空間問題」を参照）。${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$

バナッハ空間の場合、不変部分空間を持たない作用素の最初の例はペル・エンフロによって構築された。彼は1975年に不変部分空間問題に対する反例を提案し、1976年に概要を発表した。エンフロは1981年に全文論文を提出したが、論文の複雑さと長さのため、出版は1987年に延期された^[2]。エンフロの長い「原稿は数学者の間で世界中で回覧された」^[1]。そのアイデアのいくつかはエンフロ (1976) 以外の出版物でも説明されている^[3] 。エンフロの研究は、例えばベルナール・ボーザミーによる不変部分空間を持たない作用素の同様の構築に影響を与え、ボーザミーはエンフロのアイデアを認めた^{[2] 。}

1990年代に、エンフロはヒルベルト空間上の不変部分空間問題に対する「構成的」アプローチを開発した。^[4]

2023年5月にEnfloのプレプリントがarXivに掲載されました^[5]。これが正しければヒルベルト空間の問題が解決され、全体像が完成します。

2023年7月、ネヴィルの2番目の独立したプレプリントがarXivに登場し、^[6]可分ヒルベルト空間の問題の解決を主張した。

2024年9月、ヨルダンの4人の研究者チームによる査読付き論文がAxioms誌に掲載され、不変部分空間問題を解決したことが発表された。 ^[7]しかし、証明には基本的な間違いがあることが指摘された。^{[8] [9]}

正式には、次元 > 1 の複素バナッハ空間の不変部分空間問題は、すべての有界線型演算子が非 自明な閉じた-不変部分空間、つまりおよび とは異なる の閉じた線型部分空間を持ち、となるかどうかという問題です。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T(W)\subset W}$

この問題に対する否定的な答えは、軌道 の特性と密接に関係しています。がバナッハ空間 の要素である場合、の作用によるの軌道( と表記) は、数列 によって生成される部分空間です。 これは、によって生成される-巡回部分空間とも呼ばれます。 定義から、は -不変部分空間であることがわかります。さらに、 は を含む最小の-不変部分空間です。 がを含む別の不変部分空間である場合、すべて に対して必然的に となり ( は -不変であるため)、したがって となります。 がゼロでない場合、 はに等しくないため、その閉包は空間全体(この場合 はに対して巡回ベクトルであると言われる) か、非自明な -不変部分空間のいずれかです。したがって、不変部分空間問題に対する反例は、バナッハ空間と、すべての非ゼロベクトルが に対して巡回ベクトルとなるような有界演算子になります。 (ここで、バナッハ空間上の演算子の「巡回ベクトル」とは、の軌道がにおいて稠密であるものを意味します。) ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{n}(x)\in W}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle W}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [x]\subset W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$

可分ヒルベルト空間の不変部分空間問題の場合はまだ未解決であるが、位相ベクトル空間（複素数体上）の場合は他のいくつかのケースが解決されている。

• 有限次元複素ベクトル空間では、すべての演算子は固有ベクトルを許容するため、1 次元の不変部分空間を持ちます。
• この予想は、ヒルベルト空間が分離可能でない場合（つまり、ヒルベルト空間が非可算な正規直交基底を持つ場合）に真です。実際、 がの非ゼロベクトルである場合、線形軌道のノルム閉包は（構成により）分離可能であり、したがって適切な部分空間であり、不変でもあります。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [x]}$
• フォン・ノイマンは^[10]、少なくとも2次元のヒルベルト空間上の任意のコンパクト演算子には非自明な不変部分空間があることを示した。
• スペクトル定理は、すべての正規演算子が不変部分空間を許容することを示しています。
• Aronszajn & Smith (1954) は、少なくとも 2 次元の任意のバナッハ空間上のすべてのコンパクト演算子には不変部分空間があることを証明しました。
• Bernstein & Robinson (1966)は、非標準解析を用いて、ヒルベルト空間上の作用素が多項式的にコンパクト (言い換えれば、何らかの非ゼロ多項式 に対してコンパクト) であれば不変部分空間を持つことを証明した。彼らの証明は、無限次元ヒルベルト空間を超有限 - 次元ヒルベルト空間に埋め込むという独自のアイデアを使用している(非標準解析#不変部分空間問題を参照)。${\displaystyle T}$${\displaystyle p(T)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$
• ハルモス (1966) は、ロビンソンのプレプリントを見た後、そこから非標準的な分析を削除し、同じ雑誌の同じ号でより短い証明を提供しました。
• ロモノソフ (1973) は、シャウダー不動点定理を用いて、バナッハ空間上の作用素が非ゼロコンパクト作用素と可換である場合、非自明な不変部分空間を持つことを非常に簡潔に証明した。これは、作用素が任意の多項式自身と可換であるため、多項式コンパクト作用素の場合を含む。より一般的には、非スカラー作用素が非ゼロコンパクト作用素と可換である場合、不変部分空間を持つことを示した。^[11]${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$
• 非自明な不変部分空間を持たないバナッハ空間上の演算子の最初の例は、 Per Enflo  (1976、1987) によって発見され、その例は Beauzamy (1985) によって簡略化されました。
• 「古典的な」バナッハ空間に関する最初の反例は、チャールズ・リード (1984、1985) によって発見されました。彼は、不変部分空間を持たない古典的なバナッハ空間上の演算子を説明しました。${\displaystyle l_{1}}$
• その後、チャールズ・リード(1988) は、非自明な閉不変部分集合さえも持たない 上 の演算子を構築しました。つまり、すべてのベクトルに対して集合は稠密であり、その場合、ベクトルは超巡回と呼ばれます(巡回ベクトルの場合との違いは、この場合は点によって生成される部分空間を取らないことです)。${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$
• アツモン（1983）は、核 フレシェ空間上の不変部分空間を持たない演算子の例を示した。
• Śliwa (2008) は、非アルキメデス体上の可算型の任意の無限次元バナッハ空間は、非自明な閉じた不変部分空間を持たない有界線形演算子を許容することを証明しました。これにより、1992 年に van Rooij と Schikhof によって提起されたこの問題の非アルキメデス版が完全に解決されました。
• Argyros & Haydon (2011) は、すべての連続演算子がコンパクト演算子とスカラー演算子の和となり、特にすべての演算子が不変部分空間を持つような無限次元バナッハ空間の構築を示しました。

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