ツインプライム

双子素数とは、別の素数より 2 小さいか 2 大きい素数のことです。例えば、双子素数のペア $(17, 19)$ または $(41, 43)$ のいずれかです。言い換えれば、双子素数とは、素数ギャップが2である素数のことです。双子素数という用語は、双子素数のペアを指す場合もあり、その場合は、素数双子または素数ペアとも呼ばれます。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

双子素数は、より広い範囲を調べるとますますまれになり、これは、隣接する素数間の間隔が数自体が大きくなるにつれて大きくなるという一般的な傾向と一致します。しかし、双子素数が無限に存在するのか（いわゆる双子素数予想）、それとも最大のペアが存在するのかは不明です。2013年のYitang Zhang による画期的な研究^{[ 4 ]}や、James Maynard、Terence Taoらによる研究は、双子素数が無限に存在することを証明する上で大きな進歩を遂げましたが、現状ではこれは未解決のままです。^[⁵^]

数学における未解決問題

双子素数は無限に存在するのでしょうか？

数学における未解決問題

物件

$通常、 (2, 3)$ のペアは双子素数のペアとはみなされません。^{[ 6 ]} 2 は唯一の偶数の素数であるため、このペアは 1 だけ異なる素数のペアです。したがって、双子素数は他のどの 2 つの素数よりも間隔が狭くなります。

最初のいくつかの双子素数ペアは

(3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、

(17, 19)、(29, 31)、(41, 43)、

(59, 61)、(71, 73)、(101, 103)、

(107, 109)、(137, 139)、...

OEIS : A077800 。

$5 は 2 つのペアに属する唯一の素数であり、 (3, 5)$ より大きいすべての双子素数ペアは次の形式になります。 $(6n-1,6n+1)$ ある自然数 $n$ に対して、つまり、2 つの素数の間にある数は 6 の倍数である。^{[ 7 ]} その結果、双子素数 (3 と 5 を除く) のペアの和は 12 で割り切れる。

ブルンの定理

1915年、ヴィゴ・ブルンは双子素数の逆数の和が収束することを示した。^{[ 8 ]} この有名な結果はブルンの定理と呼ばれ、ブルンの篩が初めて用いられたものであり、現代の篩理論の発展のきっかけとなった。ブルンの議論の現代版を用いると、 $N$ より小さい双子素数の数がを超えないことを示すことができる。

{\frac {CN}{(\log N)^{2}}}

ある絶対定数 $C$ > 0に対して。 ^{[ 9 ]} 実際、それは以下によって上から抑えられる。 ${\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],$ どこ $C_{2}$ は、以下に示す双子素数定数（2/3よりわずかに小さい）である。^[¹⁰^]

双子素数予想

無限に多くの双子素数が存在するかどうかという問題は、長年にわたり数論における大きな未解決問題の一つでした。これは双子素数予想の内容であり、 $p$ $+ 2$ も素数となるような素数 $p が$ 無限に存在すると述べています。1849 年、ド・ポリニャックは、すべての自然数 $kに対して、$ $p$ $+ 2$ $k$ も素数となるような素数 $p が$ 無限に存在するという、より一般的な予想を立てました。^[¹¹^]ド・ポリニャックの予想の $k$ = 1の場合が双子素数予想です。

双子素数予想のより強い形式であるハーディ・リトルウッド予想は、素数定理に似た双子素数の分布法則を仮定している。

2013年4月17日、Yitang Zhangは、 7000万未満の整数 $N$ が存在し、 $N$ だけ異なる素数のペアが無限に存在するという証明を発表した。^[¹²^] Zhangの論文は2013年5月初旬に受理された。^[¹³^]その後、Terence Taoは、Zhangの限界を改善するための Polymath Projectの共同作業を提案した。^[¹⁴^]

張氏の発表から 1 年後、境界は 246 に縮小され、現在もその値のままである。^{[ 15 ]}これらの改良された境界は、張氏のものより単純な別のアプローチを使用して、ジェームズ・メイナードとテレンス・タオによって独立に発見された。この 2 番目のアプローチでは、幅 $f$ $($ $m$ $)$ の無限個の区間が少なくとも $m$ 個の素数を含むことを保証するために必要な最小の $f$ $($ $m$ $)$ の境界も与えられた。さらに (次のセクションも参照)エリオット・ハルバースタム予想とその一般化された形式を仮定すると、ポリマス・プロジェクトの wiki では、境界はそれぞれ 12 と 6 であるとされている。^[¹⁵^]

双子素数予想よりも弱いその他の定理

1940 年、ポール・エルデシュは、定数 $c < 1と、$ $p$ $' -$ $p$ $<$ $c$ $ln$ $p$ を満たす素数 $p$ が無限に存在することを示した。ここで $p' は$ $p$ の次の素数を表す。これは、より大きな素数へと進むにつれてこれらの区間のサイズがゆっくりと大きくなる限り、2 つの素数 $($ $p$ $、$ $p$ $' )$ を含む区間を無限に見つけることができることを意味する。ここで、「ゆっくりと大きくなる」とは、これらの区間の長さが対数的に大きくなることを意味する。この結果はその後改良され、1986 年にヘルムート・マイヤーは定数 $c$ $< 0.25$ を使用できることを示しました。2004 年にダニエル・ゴールドストンとセム・ユルドゥルムは、定数をさらに $c$ $= 0.085786...$ に改善できることを示しました。 2005年に、Goldston、Pintz、およびYıldırımは、 $cを$ 任意に小さく選択できることを確立しました^[¹⁶^]^[¹⁷^] 。

\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}

一方、この結果は、例えば $c ln ln p$ のように区間のサイズが大きくなることだけを許容する場合、2 つの素数を含む区間が無限に多く存在しない可能性を排除するものではありません。

エリオット・ハルバースタム予想、あるいはそれよりやや弱いバージョンを仮定することで、 $n$ 、 $n$ $+2$ 、 $n$ $+6 、$ $n$ $+8$ 、 n $+12$ 、 $n$ $+ 18$ 、 $n$ $+20$ のうち少なくとも2つが素数となるような $nが$ $無限$ $に存在することを示すことができた。より強い仮定の下では、 n$ 、 $n$ $+2$ 、 $n$ $+4$ 、 $n$ $+6$ のうち少なくとも2つが素数となるような $nが$ 無限に存在することを示した。

張易堂の結果、

\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {ただし} ~N=7\times 10^{7},

これは、Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım の結果を大幅に改善したものです。Polymath Project による Zhang の境界の改善と Maynard の研究により、境界は縮小され、下限は最大で 246 となります。^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}これは、次の素数が 246 より大きくない素数の無限集合が存在することを意味します。境界を 2 に改善することは、双子素数予想の証明となります。

推測

第一のハーディ・リトルウッド予想

第一ハーディ・リトルウッド予想（GHハーディとジョン・リトルウッドにちなんで名付けられた）は、双子素数予想の一般化である。これは、素数定理に類似して、双子素数を含む素数集合の分布に関係している。としよう。 $\displaystyle \pi _{2}(x)$ $p \leq xで$ $p + 2$ も素数となる素数の数を表す。双子素数定数 $C 2 を$ 次のように^{定義する[ 20 ]} $C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .$ （ここで積はすべての素数 $p \geq 3$ に及ぶ。）すると、ハーディ・リトルウッド予想の第一の特殊なケースとして、 $\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}$ $2つの式の商がxが$ 無限大に近づくにつれて1に近づくという意味で。^[⁹^]（2番目の~は予想の一部ではなく、部分積分によって証明される。）

この推測は、以下の仮定によって正当化される（ただし証明はされない）。 ${\tfrac {1}{\ln t}}$ は素数分布の密度関数を表します。素数定理によって示唆されるこの仮定は、の式で示されるように、双子素数予想を意味します。 $\pi _{2}(x)$ 上記。

素数 $k$ 組に関する完全に一般的な第 1 ハーディ・リトルウッド予想(ここでは示さない) は、第2ハーディ・リトルウッド予想が偽であることを意味する。

この予想はディクソンの予想によって拡張された。

ポリニャックの予想

1849年のポリニャック予想は、任意の正の偶数 $kに対して、$ $p$ $' -$ $p$ $=$ $k$ となるような連続する素数ペア $p$ と $p'$ が無限に存在する（つまり、サイズ $kの$ 素数ギャップが無限に存在する）と述べている。k $= 2 の$ 場合は双子素数予想である。この予想は、 $k$ $の特定の値$ に対してはまだ証明も反証もされていないが、張氏の結果は、少なくとも 1 つの (現在不明な) $kの値に対しては真であることを証明している。実際、そのような$ $k$ が存在しない場合、任意の正の偶数の自然数 $Nに対して、$ $n$ は有限個しか存在しない。 $p_{n+1}-p_{n}=m$ $すべてのm < N$ に対して、したがって $n$ が十分に大きい場合、 $p_{n+1}-p_{n}>N,$ これは張氏の結果と矛盾するだろう。^{[ 11 ]}

大型ツインプライム

2007年から始まった2つの分散コンピューティングプロジェクト、Twin Prime SearchとPrimeGridは、記録的な大きさの双子素数をいくつか生み出してきた。2025年1月現在現在知られている最大の双子素数ペアは2996863034895 × 2 ^1290000 ± 1 であり、^{[ 21 ]} 388,342 桁の十進数です。これは 2016 年9 月に発見されました。 ^{[ 22 ]}

10 未満の双子素数ペアは808,675,888,577,436組あります。^18.^{[ 23 ]}^[²⁴^]

4.35 × 10までのすべての素数ペアの経験的分析^{15 は} $、 x$ より小さいそのようなペアの数が $f (x) \cdot x /(log x) 2 で$ ある場合、 $f (x)$ は小さい $xでは約 1.7 であり、$ $x が$ 無限大に近づくにつれて約 1.3 に減少することを $示しています。ハーディ・リトルウッド予想によれば、 f (x)$ の極限値は双子素数定数 ( OEIS : A114907 ) (ブルンの定数と混同しないように) の 2 倍に等しいと予想されています。

その他の基本特性

3 番目に多い奇数は 3 で割り切れるため、3 つの連続する奇数は、そのうちの 1 つが 3 でない限り素数にはなり得ません。したがって、5 は 2 つの双子素数ペアの一部となる唯一の素数です。ペアの小さい方の数は、定義によりチェン素数です。

m − 4 またはm + 6 も素数である場合、3 つの素数は素数トリプレットと呼ばれます。

ペア ( m , m + 2) が双子素数であるのは、以下の条件を満たす場合に限ることが証明されている^{[ 25 ]。}

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.

ある自然数n > 1に対して、(6 n − 1, 6 n + 1)の形の双子素数ペアの場合、 n は数字 0、2、3、5、7、または 8 で終わらなければなりません ( OEIS : A002822 )。nが1 または 6 で終わる場合、6 nは6 で終わり、6 n −1 は 5 の倍数になります。n = 1でない限り、これは素数ではありません。同様に、n が4 または 9 で終わる場合、6 n は4 で終わり、6 n +1 は 5 の倍数になります。同じ規則は、任意の素数p ≥ 5 を法として適用されます。n ≡ ±6 −1 (mod p ) の場合、ペア^の1つはpで割り切れ、6 n = p ±1 でない限り双子素数ペアにはなりません。p = 5は、10 進数で特に単純なパターンを生成するだけです。

孤立した素数

孤立素数（単独素数または非双子素数とも呼ばれる）とは、 p − 2 もp + 2 も素数ではない素数pのことである。言い換えれば、pは双子素数ペアの一部ではない。例えば、21 と 25 はどちらも合成数なので、23 は孤立素数である。

最初のいくつかの孤立した素数は

2、23、37、47、53、67、79、83、89、97、... OEIS : A007510 。

ブルンの定理によれば、ほとんどすべての素数は孤立している。つまり、与えられた閾値nより小さい孤立素数の数とnより小さいすべての素数の数の比は、 nが無限大に近づくにつれて1に近づく。

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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20,000番目の最初の双子素数
博識家：素数間のギャップは限定的である
素数問題における突然の進展に数学者たちは興奮している

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