分類定理の記述 定理 — すべての有限単純群 は、 同型 を除いて、次のいずれかの群である。
18 種類の特定の無限単純群族の1つ、すなわち、 または、「散発性群 」と呼ばれる26の特定のグループのいずれか。 有限単純群の分類 分類定理は数学の多くの分野で応用されており、有限群 の構造（および他の数学的対象への作用）に関する問題は、有限単純群に関する問題に帰着できる場合がある。分類定理のおかげで、このような問題は、単純群の各族と各散在群を調べることで解決できる場合がある。
ダニエル・ゴレンシュタインは 1983年に有限単純群がすべて分類されたと発表したが、これは時期尚早であった。なぜなら、彼は準シシン群 の分類の証明について誤った情報を得ていたからである。分類の完全な証明は、アシュバッハーとスミスが欠落していた準シシン群の場合の1221ページに及ぶ証明を発表した後、アシュバッハー（2004）によって発表された。
分類定理の証明の概要 ゴレンシュタイン （ 1982年 、 1983年 ） は、証明の低ランクおよび奇数特性部分を概説した2巻を執筆し、マイケル・ アシュバッハー 、 リチャード・ライオンズ、 スティーブン ・D・スミス ら （ 2011年 ） は、残りの特性2の場合を扱った3巻目を執筆した。証明は、以下のようにいくつかの主要な部分に分けることができる。
小さな2ランクのグループ 低ランク の単純群は、主に奇数特性の体上の低ランクのリー型群であり、これに5つの交代型群、7つの特性2型群、および9つの散在型群が加わる。
2ランクの小さな単純群には以下が含まれます。
2階数0の群、つまり奇数位数の群はすべてフェイト・トンプソン定理 で解くこと ができます。 2階数1の群。シロー2部分群は、転送マップを使用して簡単に扱える巡回群か、ブラウアー・鈴木の定理 を使用して扱われる一般化四元数 のいずれかです。特に、位数2の巡回群を除いて、2階数1の単純群は存在しません。 2階数のグループ 2. アルペリンは、シロー部分群は二面体、準二面体、リース、またはU 3 (4) のシロー 2-部分群でなければならないことを示した。最初のケースは、唯一の単純群がq が奇数の場合 L 2 ( q )またはA 7と同型であることを示した ゴレンシュタイン-ウォルターの定理 によって行われた。2番目と3番目のケースは、唯一の単純群が q が奇数の場合L 3 ( q ) またはU 3 ( q )またはM 11と同型であることを意味する アルペリン-ブラウアー-ゴレンシュタインの定理 によって行われた。最後のケースは、 U 3 (4) が唯一の単純な可能性であることを示したライオンズによって行われた。 ゴレンシュタイン・ハラダの定理 によって分類される、最大4の区分的2ランクのグループ。小さな2ランク群、特にランクが最大2の群の分類では、通常の指標理論とモジュール指標理論が多用されるが、これは分類の他の部分ではほとんど直接的に用いられない。
2階数が小さい群以外はすべて、構成要素型群と特性2型群の2つの主要なクラスに分類できます。これは、群の区分的2階数が5以上であれば、マクウィリアムズがそのシロー2部分群が連結であることを示し、平衡定理から 連結シロー2部分群を持つ単純群は構成要素型か特性2型のいずれかになるからです。（2階数が低い群の場合、この証明は成り立ちません。なぜなら、シグナライザ関手 定理などの定理は、階数が3以上の基本アーベル部分群を持つ群にしか適用できないからです。）
コンポーネントタイプのグループ 群は、対合の中心化群Cに対して、 C / O ( C ) が成分を持つ場合、成分型であると言われます (ここでO ( C ) は C のコア、奇数位数の最大の正規部分群です)。これらは、ランクの大きい奇数特性のリー型群、交代群、およびいくつかの散在群とほぼ同じです。この場合の重要なステップは、対合のコアの障害を取り除くことです。これは、C / O ( C ) のすべての成分が C の成分の像であることを述べるB 定理 によって達成されます。
この考え方は、これらの群は、より小さな準単純群を成分とする対合の中心化群を持ち、それが帰納法によって既に知られていると仮定できるというものです。したがって、これらの群を分類するには、既知のすべての有限単純群のすべての中心拡大を取り、これを成分とする対合の中心化群を持つすべての単純群を見つけます。これにより、チェックすべきさまざまなケースがかなり多くなります。散在群が 26 個、リー型群の 16 族、および交代群があるだけでなく、ランクが小さい群や体上の群の多くは一般の場合とは異なる振る舞いをするため、個別に扱う必要があり、偶数特性と奇数特性のリー型群もかなり異なります。
特性2のグループ 群が特性 2 型であるとは、任意の 2-局所部分群Yの 一般化フィッティング部分群 F *( Y )が 2-群である場合をいう。名前が示すように、これらは概ね特性 2 の体上のリー型群であり、交代型、散発型、または奇数特性の群がいくつか含まれる。分類は、ランクが小さい場合と大きい場合に分けられ、ランクは非自明な 2-部分群を正規化する奇数アーベル部分群の最大ランクであり、群が特性 2 のリー型群である場合、多くの場合 (常にではないが) カルタン部分代数のランクと同じである。
ランク1の群はアシュバッハーによって分類された薄い群であり、ランク2の群はアシュバッハーとスミスによって分類された悪名高い準薄い群 である。これらは、おおよそ標数2の体上のランク1または2のリー型群に対応する。
ランクが 3 以上の群は、ランク 3 については Aschbacher が、ランクが 4 以上の場合は Gorenstein と Lyons が証明した三分割定理 によって、さらに 3 つのクラスに細分化されます。 3 つのクラスは、GF(2) 型の群 (主に Timmesfeld によって分類)、ある奇素数に対する「標準型」の群 ( Gilman–Griess の定理 および他の数名の研究によって分類)、および一意性型の群です。一意性型の場合、Aschbacher の結果から単純群は存在しないことがわかります。一般的な高ランクのケースは、主にランクが 3 または 4 以上の標数 2 の体上の Lie 型の群で構成されています。
証明の歴史
1972年、ゴレンシュタイン（1979年 、付録） は、有限単純群の分類を完了するためのプログラムを発表した。このプログラムは、以下の16のステップから構成されている。
2ランクが低いグループ。これは基本的にゴレンシュタインと原田によって行われ、彼らはセクション2ランクが最大4のグループを分類した。2ランクが最大2のケースのほとんどは、ゴレンシュタインが自身のプログラムを発表するまでに完了していた。 2層の半単純性。問題は、単純群における対合の中心化群の2層が半単純であることを証明することです。 奇数特性の標準形式。群が奇数特性のリー型群である2成分を持つ対合を持つ場合、目標は、対合の中心化群が「標準形式」であることを示すことです。つまり、対合の中心化群は奇数特性のリー型成分を持ち、かつ2階数1の中心化群を持ちます。 奇数型の群の分類。問題は、群が「標準形」で対合の中心化群を持つ場合、その群は奇数特性のリー型群であることを示すことである。これは、アシュバッハーの古典的な対合定理 によって解決された。 準標準形 中心陥入 交互群の分類。 散発的なグループ 薄い群。単純な薄い有限群、すなわち奇素数 p に対して2-局所p ランクが最大 1 である群は、1978 年に Aschbacher によって分類された。 p が奇数の場合に強いp埋め込み部分群を持つグループ奇素数に対するシグナリザファンクター法。主な問題は、解けないシグナリザファンクターに対するシグナリザファンクター 定理を証明することである。これは1982年にマクブライドによって解決された。 特性p型の群。これは、 pが奇数である強 p 埋め込み2局所部分群を持つ群の問題であり、アシュバッハーによって扱われた問題である。 準準群。準準群とは、すべての奇素数 p に対して、 2-局所部分群のp- ランクが最大で 2 である群のことである。問題は、特性 2 型の単純な準準群を分類することである。これは、2004 年に Aschbacher と Smith によって解決された。 低 2-ローカル 3-ランクの群。これは基本的に、e ( G )=3の群に対するAschbacher の三分割定理 によって解決されました。主な変更点は、奇素数の場合、2-ローカル 3-ランクが 2-ローカルp- ランクに置き換えられることです。 標準形式の3要素の中心化。これは基本的に三分割定理 によって行われた。 特性2型の単純群の分類。これはギルマン・グリースの定理 によって扱われ、奇素数の場合は3要素がp要素に置き換えられた。
証明のタイムライン 以下の表の項目の多くは、Solomon (2001) から引用したものです。記載されている日付は通常、結果の完全な証明が公表された日付であり、証明や結果の最初の発表から数年後になる場合もあるため、一部の項目は「間違った」順序で表示されています。
第二世代分類 1985年頃の時点での定理の証明は、第一世代の 証明と呼ぶことができる。第一世代の証明は非常に長かったため、より簡潔な証明、すなわち第二世代の分類証明を見つけるための努力が盛んに行われてきた。この「修正主義」と呼ばれる取り組みは、当初 ダニエル・ゴレンシュタイン が主導し、リチャード・ライオンズ とロナルド・ソロモン が共著した。
2023年現在 Inna Capdeboscq 、2021、2023）。2012年にSolomonは、このプロジェクトにはさらに5巻が必要になると見積もったが、進捗は遅いと述べた。新しい証明は最終的に約5,000ページになると見積もられている（この長さは、第二世代の証明がよりリラックスしたスタイルで書かれていることに一部起因している）。しかし、GLSシリーズの第9巻が出版され、Aschbacher–Smithの貢献も含まれた時点で、この見積もりはすでに達成されており、さらに数巻がまだ準備中である（当初第9巻に予定されていた残りの部分と、予定されている第10巻と第11巻）。アシュバッハーとスミスは、準シシンケースに関する2冊の著作を、第二世代の証明の一部となるような形で執筆した。
ゴレンシュタイン氏とその共同研究者たちは、より簡潔な証明が可能である理由をいくつか挙げている。
最も重要なことは、定理の正しい最終的な記述が明らかになったことである。有限単純群であることが分かっているタイプの群に対しては、より簡略化された手法を適用できる。これに対し、第一世代の証明に取り組んだ人々は、散在群がいくつ存在するのかを知らなかった。実際、散在群の一部（例えば、ヤンコ群 ）は、分類定理の他の場合を証明する過程で発見された。その結果、定理の多くの部分は、過度に一般的な手法を用いて証明された。 結論が不明であったため、第一世代の証明は、重要な特殊ケースを扱う多くの独立した定理から構成されていた。これらの定理の証明作業の多くは、多数の特殊ケースの分析に費やされた。より大規模で体系的な証明が与えられれば、これらの特殊ケースの多くは、最も強力な仮定を適用できるまで後回しにすることができる。この改訂された戦略の代償として、これらの第一世代の定理は、もはや比較的短い証明ではなく、完全な分類に依存するようになった。 第一世代の定理の多くは重複しており、そのため可能な場合分けが非効率的な方法で行われていました。結果として、有限単純群の族や部分族が複数回特定されていました。改訂された証明では、異なる場合分けを用いることで、これらの重複を解消しています。 有限群論の専門家は、このような演習においてより多くの経験を持ち、新しい手法も利用できる。 アシュバッハー（2004） は、ウルリッヒ・マイヤーフランケンフェルト、ベルント・シュテルマッハー、ゲルノット・ストロートらによる分類問題に関する研究を、第三世代プログラム と呼んでいる。このプログラムの目標の一つは、アマルガム法を用いて特性2のすべてのグループを均一に扱うことである。
証明の長さ ゴレンシュタインは、コンパクトリー群 の分類と同様の分類の簡潔な証明が存在しないかもしれない理由のいくつかについて議論した。
最も明白な理由は、単純群のリストが非常に複雑であることです。26個の散在群が存在するため、証明において考慮しなければならない特殊なケースが多数存在する可能性があります。これまでのところ、ディンキン図 によるコンパクトリー群のパラメータ化に似た、有限単純群の簡潔で統一的な記述は見つかっていません。 アティヤらは、群が作用する何らかの幾何学的対象を構築し、それらの幾何学的構造を分類することで、分類を簡略化できると提唱している。問題は、単純群に関連付けられたそのような幾何学的構造を簡単に見つける方法が誰も提案できていないことである。ある意味では、BNペア のような幾何学的構造を見つけることで分類は機能するが、これは有限単純群の構造に関する非常に長く困難な解析の最後にようやく得られるものである。 証明を簡略化するためのもう一つの提案は、表現論 をより活用することである。しかし、表現論がうまく機能するためには、群の部分群を非常に厳密に制御する必要があるように思われるという問題がある。ランクの低い群であれば、そのような制御が可能であり、表現論は非常にうまく機能するが、ランクの高い群では、誰も表現論を用いて分類を簡略化することに成功していない。分類の初期には、表現論を用いるための相当な努力がなされたが、高ランクの場合には大きな成功を収めることはなかった。
分類の結果 この節では、有限単純群の分類を用いて証明されたいくつかの結果を列挙する。
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