双対の特定の点によって囲まれるすべての点の部分集合（双対の場合）
関数 解析 、凸解析 、および関連する 数学 の分野において 、 極集合は、 双対空間 にある ベクトル空間 の任意 の部分集合に関連付けられた特別な凸集合です。 部分集合の双極子は の極子です
が 、 にあります ( ではありません )。
あ
∘
{\displaystyle A^{\circ}}
あ
{\displaystyle A}
バツ 、
{\displaystyle X,}
バツ
′
。
{\displaystyle X^{\prime }.}
あ
∘
、
{\displaystyle A^{\circ },}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′ ′
{\displaystyle X^{\prime \prime}}
定義 集合の極の定義には、射影幾何学と凸解析に由来する少なくとも 3 つの競合する定義があります。 [1] [ 要出典 ]
いずれの場合も、定義は実数または複素数 (多くの場合 、 位相ベクトル空間 (TVS))上の ベクトル空間の ペアの特定の部分集合間の双対性を記述します 。
⟨ バツ 、 はい ⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
が体上のベクトル空間である 場合 、特に明記されていない限り、 は通常は 上の 線型関数 のベクトル空間になりますが、常にそうとは限りません。 また、双対関係は 、 によって定義される
( 点 における ) 双線型評価 写像 になります。
が 位相ベクトル空間 である 場合、空間は通常は の 連続双対空間 になりますが、常にそうとは限りません。 その場合、双対関係は再び評価写像になります。
バツ
{\displaystyle X}
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
はい
{\displaystyle Y}
バツ
{\displaystyle X}
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ : バツ × はい →
け
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }
⟨ x 、 ふ ⟩ := ふ （ x ） 。
{\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
バツ 、
{\displaystyle X,}
の スカラー場における原点を中心とする 半径の閉じた球を 次のように
表す。
r ≥ 0
{\displaystyle r\geq 0}
け
{\displaystyle \mathbb {K} }
バツ
{\displaystyle X}
B
r
:=
B
r
け
:= { s ∈
け
:
|
s
|
≤ r } 。
{\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}
関数解析の定義
絶対極 がペアリング である と仮定します 。 の 部分集合の 極 または 絶対極は、 次の集合です。
⟨ バツ 、 はい ⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
あ
{\displaystyle A}
バツ
{\displaystyle X}
あ
∘
:=
{
ええ ∈ はい
:
すする
1つの ∈ あ
|
⟨ 1つの 、 ええ ⟩
|
≤ 1
}
=
{
ええ ∈ はい
:
すする
|
⟨ あ 、 ええ ⟩
|
≤ 1
}
どこ
|
⟨ あ 、 ええ ⟩
|
:= {
|
⟨ 1つの 、 ええ ⟩
|
: 1つの ∈ あ }
=
{
ええ ∈ はい
:
⟨ あ 、 ええ ⟩ ⊆
B
1
}
どこ
B
1
:= { s ∈
け
:
|
s
|
≤ 1 } 。
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}
ここで、は、 によって定義される 写像の下の 集合の 像 を表す。は、定義により を 含む 最小の 凸 かつ 平衡な 部分集合で ある 凸平衡包 を表す
場合 、
⟨ あ 、 ええ ⟩ := { ⟨ 1つの 、 ええ ⟩ : 1つの ∈ あ }
{\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}
あ
{\displaystyle A}
⟨ ⋅ 、 ええ ⟩ : バツ →
け
{\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }
x ↦ ⟨ x 、 ええ ⟩ 。
{\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}
コバルト あ
{\displaystyle \operatorname {コバルト} A}
あ 、
{\displaystyle A,}
バツ
{\displaystyle X}
あ 、
{\displaystyle A,}
あ
∘
= [ コバルト あ
]
∘
。
{\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}
これは幾何学的定義の アフィンシフト であり、単位球体（ ）の関数解析極が まさに単位球体（ ）であるという便利な特徴を持っています。
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
の サブセットの 前 極 または 絶対前極は 次のセットです。
B
{\displaystyle B}
はい
{\displaystyle Y}
∘
B :=
{
x ∈ バツ
:
すする
b ∈ B
|
⟨ x 、 b ⟩
|
≤ 1
}
= { x ∈ バツ
:
すする
|
⟨ x 、 B ⟩
|
≤ 1 }
{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}
多くの場合、の サブセットの前極は の 極 または 絶対極 とも呼ばれ 、 と表記されます 。実際には、この表記法と「極」という単語の再利用によって問題 (あいまいさなど) が発生することはほとんどなく、多くの著者は「前極」という単語さえ使用していません。
B
{\displaystyle B}
Y
{\displaystyle Y}
B
{\displaystyle B}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
の 部分集合の 双極子 は 、しばしば と表記される 集合 である 。つまり、
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
A
∘
∘
,
{\displaystyle A^{\circ \circ },}
∘
(
A
∘
)
{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}
A
∘
∘
:=
∘
(
A
∘
)
=
{
x
∈
X
:
sup
y
∈
A
∘
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
1
}
.
{\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}
リアルポーラー の 部分集合の 実極は 次 の集合です。
また、 の 部分集合の 実前極 は次の集合です。
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
A
r
:=
{
y
∈
Y
:
sup
a
∈
A
Re
⟨
a
,
y
⟩
≤
1
}
{\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}
B
{\displaystyle B}
Y
{\displaystyle Y}
r
B
:=
{
x
∈
X
:
sup
b
∈
B
Re
⟨
x
,
b
⟩
≤
1
}
.
{\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}
絶対前極子と同様に、実前極子は通常、 実極子と呼ばれ、 とも表記されます
。一部の著者 (例: [Schaefer 1999]) は、「極子」を (この記事で使用されている「絶対極子」ではなく) 「実極子」の意味で定義し、その表記法 (この記事や [Narici 2011] で使用されている表記法ではなく ) を使用していることに注意することが重要です。
B
r
.
{\displaystyle B^{r}.}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
r
{\displaystyle A^{r}}
の 部分集合の 実 双極子は 集合 と表記される。これは の 凸包 の -閉包 に等しい。
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
A
r
r
,
{\displaystyle A^{rr},}
r
(
A
r
)
{\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
A
∪
{
0
}
.
{\displaystyle A\cup \{0\}.}
の 部分集合は 凸で、 閉であり、を含む
一般に、 となる可能性があるが、 が バランスしている 場合には等式が成立する 。さらに、 は の バランスのとれた包 を表す。
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
A
r
{\displaystyle A^{r}}
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \sigma (Y,X)}
A
∘
.
{\displaystyle A^{\circ }.}
A
∘
≠
A
r
{\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}
A
{\displaystyle A}
A
∘
=
(
bal
(
A
r
)
)
{\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}
bal
(
A
r
)
{\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}
A
r
.
{\displaystyle A^{r}.}
競合する定義 集合の「極」の定義は、普遍的に合意されているわけではありません。この記事では「極」を「絶対極」と定義していますが、一部の著者は「極」を「実極」と定義し、他の著者はさらに別の定義を使用しています。著者が「極」をどのように定義したかに関係なく、表記は ほとんどの場合、 著者が 選択した定義を表します (したがって、表記の意味は ソースごとに異なる場合があります)。特に、の極は 次のように定義されることがあります。
この表記は標準の表記では あり ません 。
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
{\displaystyle A}
A
|
r
|
:=
{
y
∈
Y
:
sup
a
∈
A
|
Re
⟨
a
,
y
⟩
|
≤
1
}
{\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}
A
|
r
|
{\displaystyle A^{|r|}}
ここで、これらのさまざまな定義が互いにどのように関連しているか、また、どのような場合に同等であるかを簡単に説明します。
が実数値である
場合は 常に となり
（または、 および が 上のベクトル空間である場合と同値となる ）、
A
∘
⊆
A
|
r
|
⊆
A
r
{\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
A
∘
=
A
|
r
|
.
{\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}
が対称集合 （つまり、 または同値 ） である 場合、 さらに が 実数値である場合、
A
{\displaystyle A}
−
A
=
A
{\displaystyle -A=A}
−
A
⊆
A
{\displaystyle -A\subseteq A}
A
|
r
|
=
A
r
{\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
A
∘
=
A
|
r
|
=
A
r
.
{\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}
および が （したがって は 複素数値） 上のベクトル空間であり、（ただしこれは および を 意味することに注意 ）である場合、さらに
すべての実数
に対して である場合 、
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
i
A
⊆
A
{\displaystyle iA\subseteq A}
−
A
=
A
{\displaystyle -A=A}
i
A
=
A
{\displaystyle iA=A}
A
∘
⊆
A
|
r
|
=
A
r
⊆
(
1
2
A
)
∘
{\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}
e
i
r
A
⊆
A
{\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}
r
{\displaystyle r}
A
∘
=
A
r
.
{\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}
したがって、 の極性集合のこれらすべての定義が 一致するためには、 単位長さ の すべてのスカラー に対してが成立すれば十分です [注 1] (ここで、これはすべての単位長さのスカラー に対して と同等です )。特に、がバランスの とれた集合 である 場合 (多くの場合はそうであるが、常にそうであるわけではない)、 の極性のすべての定義は一致するため、多くの場合、これらの競合する定義のどちらが使用されるかは重要ではありません。ただし、 の「極性」の定義におけるこれらの違いは、が必ずしもバランスがとれていない 場合に、微妙なまたは重要な技術的な違いを時々生み出します 。
A
{\displaystyle A}
s
A
⊆
A
{\displaystyle sA\subseteq A}
s
{\displaystyle s}
s
A
=
A
{\displaystyle sA=A}
s
{\displaystyle s}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
標準的な双対性の特殊化 代数的双対空間
が任意のベクトル空間である 場合、 は 上の すべての 線型関数の集合である代数 的双対空間 を表すものとする。 ベクトル空間は、 点ごとの収束の位相の下で、 上 の すべての - 値関数の 空間の閉じた部分集合である ので、 に部分空間位相が備わっている場合、 は ハウスドルフ 完全な 局所 凸位相ベクトル空間 (TVS)となる。 任意
の部分集合に対して、 は
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
X
,
{\displaystyle X,}
X
.
{\displaystyle X.}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
K
X
{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
{\displaystyle X}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
A
#
:=
A
∘
,
#
:=
{
f
∈
X
#
:
sup
a
∈
A
|
f
(
a
)
|
≤
1
}
=
{
f
∈
X
#
:
sup
|
f
(
A
)
|
≤
1
}
where
|
f
(
A
)
|
:=
{
|
f
(
a
)
|
:
a
∈
A
}
=
{
f
∈
X
#
:
f
(
A
)
⊆
B
1
}
where
B
1
:=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}
が任意の部分集合である 場合 、および は の 凸バランス包 を表します。 の任意の
有限次元ベクトル部分空間に対して、 が ハウス ドルフ位相ベクトル空間 (TVS) に なる唯一の位相 である ユークリッド位相 を表すものとします 。は、 が のすべての有限次元ベクトル部分空間上で変化する ときのすべての 閉包 の和集合を表します(
説明については この脚注 [注 2] を 参照してください)。 がの吸収部分集合である場合、 バナッハ–アラオグル定理 により 、は の 弱*コンパクト 部分集合に なります。
A
⊆
B
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}
B
#
⊆
A
#
{\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}
A
#
=
[
cobal
A
]
#
,
{\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}
cobal
A
{\displaystyle \operatorname {cobal} A}
A
.
{\displaystyle A.}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
τ
Y
{\displaystyle \tau _{Y}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
Y
{\displaystyle Y}
A
∪
cl
Finite
{\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}
cl
(
Y
,
τ
Y
)
(
Y
∩
A
)
{\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
A
#
=
[
A
∪
cl
Finite
]
#
{\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
A
#
{\displaystyle A^{\#}}
X
#
.
{\displaystyle X^{\#}.}
がベクトル空間の任意の空でない部分集合であり 、が 上の線型関数の任意のベクトル空間（つまり、 の 代数的双対空間 のベクトル部分空間）である 場合 、実数値写像
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
|
⋅
|
A
:
Y
→
R
{\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }
定義
|
x
′
|
A
:=
sup
|
x
′
(
A
)
|
:=
sup
a
∈
A
|
x
′
(
a
)
|
{\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}
は上の 半ノルム です 。の 場合、 上限 の定義により、上記で定義された マップは 実数値ではなく、結果として半ノルムではありません。
Y
.
{\displaystyle Y.}
A
=
∅
{\displaystyle A=\varnothing }
sup
|
x
′
(
A
)
|
=
−
∞
{\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}
|
⋅
|
∅
=
−
∞
{\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}
連続デュアルスペース
が連続双対空間を持つ 位相ベクトル空間 （TVS）で あると 仮定する。
ここで重要な特別な場合である 、括弧は標準写像を表す。3
つ組は、 に関連付けられた 標準 ペアリング と呼ばれる。
X
{\displaystyle X}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
Y
:=
X
′
{\displaystyle Y:=X^{\prime }}
⟨
x
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
x
)
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
X
.
{\displaystyle X.}
この標準的なペアリングに関する
サブセットの極性は次のとおりです。
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
A
∘
:=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
a
∈
A
|
x
′
(
a
)
|
≤
1
}
because
⟨
a
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
a
)
=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
|
x
′
(
A
)
|
≤
1
}
where
|
x
′
(
A
)
|
:=
{
|
x
′
(
a
)
|
:
a
∈
A
}
=
{
x
′
∈
X
′
:
x
′
(
A
)
⊆
B
1
}
where
B
1
:=
{
s
∈
K
:
|
s
|
≤
1
}
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}
が閉包 を 表す 任意 の 部分集合に対して
A
⊆
X
,
{\displaystyle A\subseteq X,}
A
∘
=
[
cl
X
A
]
∘
{\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}
cl
X
A
{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}
A
{\displaystyle A}
X
.
{\displaystyle X.}
バナッハ ・アラオグルの定理は 、が の 原点の近傍である 場合、 が 弱*位相 （点ごとの収束の位相としても知られる）を備えている とき 、この極集合は 連続双対空間の コンパクトな部分集合 であることを述べています。
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
A
∘
=
A
#
{\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
単位長さのすべてのスカラーに対してが 満たされる 場合 、絶対値符号を (実部演算子) に置き換えることができます。
A
{\displaystyle A}
s
A
⊆
A
{\displaystyle sA\subseteq A}
s
{\displaystyle s}
Re
{\displaystyle \operatorname {Re} }
A
∘
=
A
r
:=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
a
∈
A
Re
x
′
(
a
)
≤
1
}
=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
Re
x
′
(
A
)
≤
1
}
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}
の サブセットの前極は 次のようになります。
B
{\displaystyle B}
Y
=
X
′
{\displaystyle Y=X^{\prime }}
∘
B
:=
{
x
∈
X
:
sup
b
′
∈
B
|
b
′
(
x
)
|
≤
1
}
=
{
x
∈
X
:
sup
|
B
(
x
)
|
≤
1
}
{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}
単位長さのすべてのスカラーに対してが 成り立つ 場合 、絶対値の符号を 次のように置き換えることができる。
ここで
B
{\displaystyle B}
s
B
⊆
B
{\displaystyle sB\subseteq B}
s
{\displaystyle s}
Re
{\displaystyle \operatorname {Re} }
∘
B
=
{
x
∈
X
:
sup
b
′
∈
B
Re
b
′
(
x
)
≤
1
}
=
{
x
∈
X
:
sup
Re
B
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}
B
(
x
)
:=
{
b
′
(
x
)
:
b
′
∈
B
}
.
{\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}
双極 定理は、 位相ベクトル空間のサブセットの双極を特徴付けます。
がノルム空間であり、 が （ または、開単位球を含む閉単位球の任意の部分集合） の開単位球または閉単位球である場合、 が標準的な 双対ノルム を備えている とき、 は連続双対空間の閉単位球です 。
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
円錐の幾何学的定義 凸錐の 極錐 は 集合である
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
A
∘
:=
{
y
∈
Y
:
sup
x
∈
A
⟨
x
,
y
⟩
≤
0
}
{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}
この定義は点と超平面の双対性を与え、後者は2つの反対向きの半空間の交差として記述される。点の極超平面は 軌跡であり 、超平面の 双対 関係はその超平面の極点を生み出す。 [3] [ 引用が必要 ]
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
{
y
:
⟨
y
,
x
⟩
=
0
}
{\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}
一部の著者は（紛らわしいことに）二重円錐を極円錐と呼んでいますが、この記事ではその慣例には従いません。 [4]
プロパティ 特に明記しない限り、は ペアリング になります 。位相は 上の 弱*位相 であり 、 は 上の 弱位相 です。
任意の集合に対して、 は の実極を表し 、 は の絶対極を表します。
「極」という用語は 絶対 極を指します。
⟨
X
,
Y
⟩
{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
σ
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \sigma (Y,X)}
Y
{\displaystyle Y}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
X
.
{\displaystyle X.}
A
,
{\displaystyle A,}
A
r
{\displaystyle A^{r}}
A
{\displaystyle A}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
A
.
{\displaystyle A.}
集合の（絶対）極は 凸 で バランスが取れて いる。 の 部分集合の 実極は 凸であるが、 必ずしも平衡である必要 はない 。が平衡であれば平衡となる 。
A
r
{\displaystyle A^{r}}
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
A
r
{\displaystyle A^{r}}
A
{\displaystyle A}
単位長さの すべてのスカラー に対して
s
A
⊆
A
{\displaystyle sA\subseteq A}
s
{\displaystyle s}
A
∘
=
A
r
.
{\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
は、上の 弱 *位相 で 閉じている 。 [ 3]
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
の 部分集合が 弱有界（すなわち -有界）であるためには、 が に 吸収される 必要がある 。
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
Y
{\displaystyle Y}
がTVS でが その連続双対空間である 双対対に対して、 が有界であればは で 吸収される [ が 局所的に凸でで 吸収されるなら はで 有界であるさらに、 の 部分集合 が弱有界であるためには が で 吸収される 必要がある。
⟨
X
,
X
′
⟩
,
{\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
⊆
X
{\displaystyle B\subseteq X}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
X
{\displaystyle X}
B
∘
{\displaystyle B^{\circ }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
{\displaystyle B}
X
.
{\displaystyle X.}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
S
∘
{\displaystyle S^{\circ }}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
集合の 双極子は、 との 両方を含む 最小の- 閉凸 集合である の -閉凸包 です。
A
∘
∘
{\displaystyle A^{\circ \circ }}
A
{\displaystyle A}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
A
∪
{
0
}
,
{\displaystyle A\cup \{0\},}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
A
{\displaystyle A}
0.
{\displaystyle 0.}
同様に、円錐の双対円錐は [7] の 閉 円錐包 である。
A
{\displaystyle A}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
A
.
{\displaystyle A.}
がTVSの原点の基底である 場合 、
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
X
′
=
⋃
B
∈
B
(
B
∘
)
.
{\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}
が局所凸TVSである場合、 任意の0近傍基数の 極座標（ に関して取られた）は の等連続部分集合の基本族を形成する （つまり、 の任意の有界部分集合が与えられた場合、 となる 原点の 近傍が存在する ）。
X
{\displaystyle X}
⟨
X
,
X
′
⟩
{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
H
{\displaystyle H}
X
σ
′
,
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
H
⊆
S
∘
{\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}
逆に、が局所凸TVSである場合、 の 等連続部分集合の任意の基本族の 極座標（ に関して取られた）は、 の原点の近傍基を形成する。
X
{\displaystyle X}
⟨
X
,
X
#
⟩
{\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
.
{\displaystyle X.}
が位相を持つTVSである とする と、が 局所凸TVS位相であるとき、かつそのときに限り、が の等連続部分集合上で一様収束する位相となる。
X
{\displaystyle X}
τ
.
{\displaystyle \tau .}
τ
{\displaystyle \tau }
τ
{\displaystyle \tau }
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
最後の 2 つの結果は、連続双対空間の等連続部分集合が関数解析の現代理論で非常に重要な役割を果たす理由を説明しています。等連続部分集合は、局所凸空間 の元の位相に関するすべての情報をカプセル化するためです。
X
{\displaystyle X}
関係を設定する
X
∘
=
X
|
r
|
=
X
r
=
{
0
}
{\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}
と
∅
∘
=
∅
|
r
|
=
∅
r
=
Y
.
{\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}
すべてのスカラー とすべての実数 と
s
≠
0
,
{\displaystyle s\neq 0,}
(
s
A
)
∘
=
1
s
(
A
∘
)
{\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}
t
≠
0
,
{\displaystyle t\neq 0,}
(
t
A
)
|
r
|
=
1
t
(
A
|
r
|
)
{\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}
(
t
A
)
r
=
1
t
(
A
r
)
.
{\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}
A
∘
∘
∘
=
A
∘
.
{\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}
しかし、実数極の場合、
A
r
r
r
⊆
A
r
.
{\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}
任意の有限集合に対して
A
1
,
…
,
A
n
,
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
)
∘
=
(
A
1
∘
)
∪
⋯
∪
(
A
n
∘
)
.
{\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}
もし そうなら そして
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
B
∘
⊆
A
∘
,
{\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}
B
r
⊆
A
r
,
{\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}
B
|
r
|
⊆
A
|
r
|
.
{\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}
直接的な帰結として 、 が有限の場合には等式は必然的に成立し 、 が無限の場合には成立しない可能性がある、ということが言えます 。
⋃
i
∈
I
(
A
i
∘
)
⊆
(
⋂
i
∈
I
A
i
)
∘
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
⋂
i
∈
I
(
A
i
∘
)
=
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
∘
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}
そして
⋂
i
∈
I
(
A
i
r
)
=
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
r
.
{\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}
が円錐である 場合 、
C
{\displaystyle C}
X
{\displaystyle X}
C
∘
=
{
y
∈
Y
:
⟨
c
,
y
⟩
=
0
for all
c
∈
C
}
.
{\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}
が を含む の閉部分集合 の族である 場合 、 の実極は の閉凸包である
(
S
i
)
i
∈
I
{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
σ
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \sigma (X,Y)}
X
{\displaystyle X}
0
∈
X
,
{\displaystyle 0\in X,}
∩
i
∈
I
S
i
{\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}
∪
i
∈
I
(
S
i
r
)
.
{\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}
もし そうなら
0
∈
A
∩
B
{\displaystyle 0\in A\cap B}
A
∘
∩
B
∘
⊆
2
[
(
A
+
B
)
∘
]
⊆
2
(
A
∘
∩
B
∘
)
.
{\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}
実ベクトル空間の 閉じた 凸錐 に対して、 極錐 は の極である 。つまり、 [1]
C
{\displaystyle C}
X
,
{\displaystyle X,}
C
{\displaystyle C}
C
∘
=
{
y
∈
Y
:
sup
⟨
C
,
y
⟩
≤
0
}
,
{\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}
sup
⟨
C
,
y
⟩
:=
sup
c
∈
C
⟨
c
,
y
⟩
.
{\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}
参照 バナッハ・アラオグルの定理 – 関数解析における定理 双極定理 – 凸解析における定理 極円錐 – 凸解析の概念 Pages displaying short descriptions of redirect targets 極位相 – 有界部分集合の一部の集合上で一様収束する双対空間位相 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
注記
^
極集合のこれらの完全な定義がすべて 一致するためには、 が実数値である場合は 対称であることが十分であり、 が複素数値である場合は すべての実数値に対してが
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
A
{\displaystyle A}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
e
i
r
A
⊆
A
{\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}
s
.
{\displaystyle s.}
^ が の有限次元ベクトル部分空間である こと を証明するためには、 が連続である ため （有限次元ハウスドルフTVS上のすべての線型関数がそうであるように）、 とが 閉集合であることから次のことが導かれる。 したがって、そのような集合の和集合も の部分集合であり、が で あることを証明する。 したがって 、 が 上 の任意のTVS位相である場合、
A
#
⊆
[
A
∪
cl
Finite
]
#
,
{\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#},}
f
∈
A
#
.
{\displaystyle f\in A^{\#}.}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
f
|
Y
:
(
Y
,
τ
Y
)
→
K
{\displaystyle f{\big \vert }_{Y}:\left(Y,\tau _{Y}\right)\to \mathbb {K} }
f
(
A
)
⊆
B
1
{\displaystyle f(A)\subseteq B_{1}}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
f
(
cl
(
Y
,
τ
Y
)
(
Y
∩
A
)
)
=
f
|
Y
(
cl
(
Y
,
τ
Y
)
(
Y
∩
A
)
)
⊆
cl
K
(
f
(
Y
∩
A
)
)
⊆
cl
K
f
(
A
)
⊆
cl
K
B
1
=
B
1
.
{\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)=f{\big \vert }_{Y}\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }(f(Y\cap A))\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }f(A)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }B_{1}=B_{1}.}
B
1
,
{\displaystyle B_{1},}
f
(
A
∪
cl
Finite
)
⊆
B
1
{\displaystyle f\left(A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right)\subseteq B_{1}}
f
∈
[
A
∪
cl
Finite
]
#
.
{\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}.}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
τ
{\displaystyle \tau }
X
{\displaystyle X}
A
∪
cl
Finite
⊆
cl
(
X
,
τ
)
A
.
{\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\subseteq \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A.}
参考文献
^ ab Aliprantis, CD; Border, KC (2007). 無限次元解析: ヒッチハイクガイド (第3版). Springer. p. 215. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0 。 ^ ab Zălinescu, C. (2002). 一般ベクトル空間における凸解析 リバーエッジ、ニュージャージー: World Scientific. pp. 7–8. ISBN 978-9812380678 。 ^ Rockafellar, TR (1970). 凸解析 . プリンストン大学. pp. 121-8. ISBN 978-0-691-01586-6 。 ^
文献 ヤルコウ、ハンス (1981)。 局所的に凸状の空間 。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。 ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342. ケーテ、ゴットフリート (1983) [1969]。 位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。 ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498. OCLC 840293704. ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。 位相 ベクトル空間 。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウィランスキー、アルバート (2013)。 位相ベクトル空間における最新の手法 。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af73bd385336a18f8700ce68511d1f84cb7f2c5a)
![{\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebcfe82d7a295d41910884c62b6984e140a6b19)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ ただし }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ ただし }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7801a13fe2c2dfcaa5615b237e7b228f0eed0af6)
![{\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cf1011160fdbe0d2c8af67320ae00941a65e25)
![{\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {有限} }\right]^{\#}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddeb6649e9500ca8506c8b0c1d8abbfb79e5664)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ ここで }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ ただし }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e9e1cb9806bffc9f4d5b0fa4a9124e2e6f044c)
![{\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d54d2ac5ee3ac1bfb58f025e4dfdb66b3214ac)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81b61e74d09c27d6084ea8b67d99412c0ead268)
![{\displaystyle A^{\circ}\cap B^{\circ}\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ}\right]\subseteq 2\left(A^{\circ}\cap B^{\circ}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554041b7ff8eb544b226e26edd510c07de846c3d)
![{\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {有限} }\right]^{\#},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1541029a4ef45bbb041524dc2847f56657c1d1e9)
![{\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {有限} }\right]^{\#}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fde4b6279d7647b04d7ada781a40edaeab77442)
