自己同型

数学において、自己同型写像​​とは、ある数学的対象からそれ自身への同型写像のことである。それはある意味で対象の対称性であり、対象の構造をすべて保持したまま対象をそれ自身に写像する方法である。対象に対するすべての自己同型写像​​の集合は群を形成し、これを自己同型群と呼ぶ。大まかに言えば、それは対象の対称群である。

群、環、ベクトル空間などの代数構造において、自己同型写像​​とは、対象から対象自身への全単射準同型写像のことである。（準同型写像の定義は代数構造の種類によって異なる。例えば、群準同型写像、環準同型写像、線形作用素を参照のこと。）

より一般的には、ある圏の対象に対して、自己同型とは、逆射を持つ対象から対象自身への射、すなわち射である。${\displaystyle f:X\to X}$射が存在する場合、それは自己同型である。${\displaystyle g:X\to X}$そのため${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$どこ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$はX の恒等射です。代数構造の場合、2 つの定義は同等です。この場合、恒等射は単に恒等関数であり、しばしば自明な自己同型と呼ばれます。

対象Xの自己同型写像​​は、射の合成に関して群を形成し、これをXの自己同型群と呼ぶ。これは圏の定義から直接導かれる。

カテゴリーCにおける対象Xの自己同型群は、しばしばAut _C ( X )と表記される。または、文脈からカテゴリが明確な場合は単に Aut( X ) とします。

• 集合論において、集合Xの要素の任意の置換を自己同型写像​​と呼ぶ。Xの自己同型群は、X上の対称群とも呼ばれる。
• 初等算術では、整数の集合は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$加法に関して群として考えると、非自明な自己同型写像​​として否定が一つだけ存在する。しかし、環として考えると、自明な自己同型写像​​しか存在しない。一般に、否定は任意のアーベル群の自己同型写像​​であるが、環や体の自己同型写像​​ではない。
• 群自己同型とは、群から群自身への群同型写像のことである。非公式には、群の構造が変わらないような群要素の置換である。任意の群Gに対して、内部自己同型写像​​の群 Inn( G ) を像とし、核がGの中心となる自然な群準同型写像G → Aut( G )が存在する。したがって、G が自明な中心を持つ場合、G は自身の自己同型群に埋め込むことができる。^{[ 1 ]}
• 線形代数において、ベクトル空間Vの自己準同型とは、線形作用素V → Vのことである。自己同型とは、 V上の可逆な線形作用素のことである。ベクトル空間が有限次元の場合、Vの自己同型群は一般線形群GL( V )と同じである。（Vのすべての自己準同型の代数構造は、 Vと同じ基底体上の代数であり、その可逆元はGL( V )に正確に一致する。）
• 体自己同型とは、体から体自身への全単射環準同型のことである。
  • その分野${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の には、恒等写像以外の自己同型写像​​は存在しません。なぜなら、自己同型写像​​は加法単位元0と乗法単位元1を固定する必要があり、有限個の1の和とこれらの和の加法逆元も固定されなければならないからです (つまり、自己同型写像​​はすべての整数を固定します)。最後に、すべての有理数は 2 つの整数の商であるため、すべての有理数は任意の自己同型写像​​によって固定されなければなりません。
  • その分野${\displaystyle \mathbb {R} }$実数には恒等写像以外の自己同型写像​​は存在しない。実際、上記のように、有理数はすべての自己同型写像​​によって固定されなければならない。自己同型写像​​は不等式を保存しなければならない。${\displaystyle x<y}$と同等${\displaystyle \exists z\mid yx=z^{2},}$そして後者の性質はすべての自己同型写像​​によって保持される。最後に、すべての実数は有理数列の最小上界であるため、必ず固定される。
  • その分野${\displaystyle \mathbb {C} }$複素数には、実数を固定する一意の非自明な自己同型写像​​が存在する。それは複素共役であり、${\displaystyle i}$に${\displaystyle -i.}$選択公理は、実数を固定しない無数の自己同型写像​​の存在を意味する。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}
  • 代数体拡大の自己同型写像​​の研究は、ガロア理論の出発点であり、主要な研究対象である。
• 四元数の自己同型群（⁠${\displaystyle \mathbb {H} }$⁠ ) 環としての内部自己同型は、スコレム・ネーターの定理により、 a ↦ bab ⁻¹の形の写像。 ^{[ 4 ]}この群は、3 次元空間の回転群であるSO(3)と同型である。
• 八元数の自己同型群（${\displaystyle \mathbb {O} }$⁠ ) は例外的なリー群G ₂です。
• グラフ理論において、グラフの自己同型写像​​とは、辺と非辺を保持するノードの置換のことである。特に、2つのノードが辺で結ばれている場合、置換後のそれらの像も辺で結ばれる。
• 幾何学において、自己同型写像​​は空間の 運動と呼ばれることがある。専門的な用語も用いられる。
  • 計量幾何学において、自己同型写像​​は自己等長写像である。自己同型群は等長写像群とも呼ばれる。
  • リーマン面の圏において、自己同型写像​​とは、ある面からそれ自身への双正則写像（等角写像とも呼ばれる）のことである。例えば、リーマン球面の自己同型写像​​はメビウス変換である。
  • 微分多様体Mの自己同型写像​​とは、 MからM 自身への微分同相写像のことである。自己同型群は、Diff( M ) と表記されることもある。
  • 位相幾何学において、位相空間間の射は連続写像と呼ばれ、位相空間の自己同型写像​​は、その空間からその空間自身への同相写像、すなわち自己同相写像である（同相群を参照）。この例では、射が全単射であるだけでは同型写像となるには不十分である。

最も初期の群自己同型（点の自己同型群ではなく、群の自己同型）の1つは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって彼の二十面体計算の中で与えられ、そこで彼は2次の自己同型を発見し、^{[ 5 ]}次のように書いています。

となることによって${\displaystyle \mu }$これは、以前の第 5 根と関連付けられた新しい第 5 根です${\displaystyle \lambda }$完全な相互関係によって。

いくつかのカテゴリー、特に群、環、リー代数においては、自己同型写像​​を「内部自己同型写像​​」と「外部自己同型写像​​」と呼ばれる2つのタイプに分類することが可能です。

群の場合、内部自己同型は群自身の要素による共役です。群Gの各要素aに対して、aによる共役は、 φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (またはa ⁻¹ ga ; 用法は様々)で与えられる演算φ _a : G → Gです。a による共役が群の自己同型であることは容易に確認できます。内部自己同型はAut( G ) の正規部分群を形成し、Inn( G ) と表記されます。これはGoursat の補題と呼ばれます。 

その他の自己同型写像​​は、外部自己同型写像​​と呼ばれます。商群Aut( G ) / Inn( G )は通常 Out( G ) と表記され、非自明な要素は外部自己同型写像​​を含む剰余類です。

可逆元aを持つ任意の単位元環または代数において、同じ定義が成り立つ。リー代数の場合、定義は若干異なる。

• 反自己同型性
• 自己同型性（数独パズルにおいて）
• 特徴的なサブグループ
• 内在環
• フロベニウス自己同型
• 形態
• 順序自己同型（順序理論において）。
• 関係保存型自己同型写像
• 分数フーリエ変換

• 数学百科事典における自己同型性
• ワイスタイン、エリック W. 「自己同型性」。マスワールド。