密な集合

位相幾何学および関連する数学分野では、位相空間Xの部分集合Aは、 Xのすべての点がAに属するか、またはAの要素に任意に「近い」場合、 Xにおいて稠密であると言われます。たとえば、有理数は実数の稠密な部分集合です。なぜなら、すべての実数は有理数であるか、またはそれに対して任意に「近い」有理数を持つからです (ディオファントス近似を参照)。形式的には、${\displaystyle A}$密度が高い${\displaystyle X}$最小の閉部分集合の場合${\displaystyle X}$含む${\displaystyle A}$は${\displaystyle X}$それ自体。^{[ 1 ]}

の位相空間の密度${\displaystyle X}$は、密な部分集合の最小濃度です。${\displaystyle X.}$

サブセット${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$と言われている密なサブセット${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等の条件が満たされる場合：

1. の最小の閉部分集合${\displaystyle X}$含む${\displaystyle A}$は${\displaystyle X}$自体。
2. 閉鎖​​${\displaystyle A}$で${\displaystyle X}$に等しい${\displaystyle X.}$つまり、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. 補題の内部​​${\displaystyle A}$空です。つまり、${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. すべてのポイント${\displaystyle X}$または${\displaystyle A}$または限界点${\displaystyle A.}$
5. すべての${\displaystyle x\in X,}$どの地域でも${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$交差する${\displaystyle A;}$つまり、${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$空でないすべての開部分集合と交差する${\displaystyle X.}$

そしてもし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、上の位相の開集合の基底である。${\displaystyle X}$そして、このリストには以下を含めることができます。

7. すべての${\displaystyle x\in X,}$すべての基本的な近隣地域${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$の${\displaystyle x}$交差する${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$空でないすべてのものと交差する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

通常の位相を持つ実数では、有理数が可算稠密部分集合として存在し、位相空間の稠密部分集合の濃度が空間自体の濃度よりも厳密に小さくなる場合があることを示しています。無理数は別の稠密部分集合であり、位相空間には互いに素な稠密部分集合が複数存在し（特に、2つの稠密部分集合が互いに補集合となる場合があり）、それらの濃度が同じである必要もないことを示しています。さらに驚くべきことに、有理数と無理数の両方に空の内部があり、稠密集合には空でない開集合が含まれないことを示しています。位相空間の2つの稠密開部分集合の共通部分は、再び稠密かつ開集合となります。^{[証明1 ]} 空集合はそれ自身の稠密部分集合です。しかし、空でない空間のすべての稠密部分集合は、空でないものでなければなりません。

ワイエルシュトラスの近似定理によれば、閉区間上で定義された任意の複素数値連続関数は、${\displaystyle [a,b]}$は、多項式関数によって望む限り均一に近似できる。言い換えれば、多項式関数は空間内で稠密である。${\displaystyle C[a,b]}$区間上の連続複素数値関数${\displaystyle [a,b],}$最高規範を備えている。

すべての距離空間は、その完備化において稠密である。

すべての位相空間は、それ自身の稠密な部分集合である。${\displaystyle X}$離散トポロジーを備えた空間全体は、唯一の稠密な部分集合である。集合の空でない部分集合はすべて${\displaystyle X}$自明な位相を備えたものは稠密であり、すべての空でない部分集合が稠密であるような位相はすべて自明でなければならない。

密度は推移的である：3つの部分集合が与えられた場合${\displaystyle A,B}$そして${\displaystyle C}$位相空間の${\displaystyle X}$と${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$そのため${\displaystyle A}$密度が高い${\displaystyle B}$そして${\displaystyle B}$密度が高い${\displaystyle C}$（それぞれの部分空間トポロジーにおいて）${\displaystyle A}$また、${\displaystyle C.}$

全射連続関数による稠密部分集合の像は、再び稠密となる。位相空間の稠密性（その稠密部分集合の濃度の最小値）は位相不変量である。

連結した稠密な部分集合を持つ位相空間は、必然的にそれ自体も連結である。

ハウスドルフ空間への連続関数は、稠密部分集合上の値によって決定されます。2つの連続関数が${\displaystyle f,g:X\to Y}$ハウスドルフ空間へ${\displaystyle Y}$密なサブセットに同意する${\displaystyle X}$そして彼らはすべてのことに同意する${\displaystyle X.}$

距離空間には普遍空間があり、与えられた密度のすべての空間を埋め込むことができます。密度 の距離空間${\displaystyle \alpha }$は部分空間に等長である${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$実連続関数の積の空間${\displaystyle \alpha }$単位間隔のコピー。^{[ 2 ]}

ある点${\displaystyle x}$部分集合の${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$限界点と呼ばれる${\displaystyle A}$（で${\displaystyle X}$）すべての近隣地域${\displaystyle x}$また、${\displaystyle A}$以外${\displaystyle x}$それ自体、そして孤立した点${\displaystyle A}$それ以外の場合。孤立点のない部分集合は、それ自体で密であると言われます。

サブセット${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$はどこにも密ではない（${\displaystyle X}$近隣がない場合${\displaystyle X}$で${\displaystyle A}$は密である。言い換えれば、位相空間の部分集合は、その閉包の内部が空である場合に限り、どこにも密ではない。どこにも密ではない集合の補集合の内部は常に密である。閉じたどこにも密ではない集合の補集合は、密な開集合である。位相空間が与えられたとき、${\displaystyle X,}$部分集合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$これは、可算個のどこにも密でない部分集合の和集合として表現できる。${\displaystyle X}$は「乏しい」と呼ばれます。有理数は実数においては稠密ですが、実数の部分集合としては乏しいです。

可算個の稠密部分集合を持つ位相空間は、分離可能と呼ばれる。位相空間がベール空間であるのは、可算個の稠密開集合の共通部分が常に稠密である場合に限る。位相空間が、互いに素な2つの稠密部分集合の和集合である場合、それは可解であると呼ばれる。より一般的に、位相空間が基数κに対してκ可解であるとは、κ個の互いに素な稠密集合を含む場合をいう。

位相空間の埋め込み${\displaystyle X}$コンパクト空間の稠密な部分集合はコンパクト化と呼ばれる。${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間間の線形演算子${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$の定義域が の稠密な部分集合である場合、は稠密に定義されていると言われる。${\displaystyle X}$そしてその範囲が${\displaystyle Y.}$連続線形拡張も参照してください。

位相空間${\displaystyle X}$は、すべての空でない開集合が稠密である場合に限り、超連結である。${\displaystyle X.}$位相空間が準極大であるのは、すべての稠密部分集合が開集合である場合に限る。

もし${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$が距離空間であるならば、空でない部分集合${\displaystyle Y}$と言われている${\displaystyle \varepsilon }$-密度が高い場合 $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

すると、${\displaystyle D}$密度が高い${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$すべての ε-稠密である場合に限る${\displaystyle \varepsilon >0.}$

• ブルンバーグの定理– R 上の任意の実関数は、R の稠密な部分集合上で連続な制限を持つ 
• 密な順序– 集合の順序付けの種類 
• 稠密（格子理論）

証明