三角数

三角数または三角形数は、正の整数の列であり、正三角形に配置された点の格子として表すことができます。${\displaystyle n}$番目の三角数には${\displaystyle n}$行: 最初の行には 1 つのポイントが含まれ、2 番目の行には 2 つのポイントが含まれ、このパターンは まで続きます。${\displaystyle n}$行目には、${\displaystyle n}$したがって、三角数も次の式で表すことができます。

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\sum _{k=1}^{n}k}$

三角数は最も単純な図形数です。図形数は、五角数などの他の2次元多角形や、四面体数などの高次元多面体にもその概念を一般化します。${\displaystyle T_{0}=0}$（空の和を参照）最初の数項は

（OEISにおける配列番号A000217）

三角数は、以下の明示的な式で与えられます。

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$は二項係数を表す表記法です。n + 1個の対象から選択できる異なるペアの数を表し、「 nプラス 1 チョイス ツー」と読みます。

事実、${\displaystyle n}$番目の三角数は${\displaystyle n(n+1)/2}$視覚的な証明を用いて説明することができる。^{[ 1 ]}すべての三角数について${\displaystyle T_{n}}$下の図のように、三角数に対応する物体の「半長方形」配置を想像してください。この配置をコピーして回転させると長方形の図形が作成され、物体の数が2倍になり、寸法が の長方形が生成されます。${\displaystyle n\times (n+1)}$これは長方形内のオブジェクトの数でもあります。明らかに、三角数自体は常にそのような図形内のオブジェクトの数のちょうど半分であり、つまり次のようになります。${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$例として${\displaystyle T_{4}}$続く：

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$（緑＋黄色）は、${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$（緑）。   

この公式は数学的帰納法を用いて形式的に証明できる。^{[ 2 ]}これは明らかに次の場合に当てはまる。${\displaystyle 1}$:

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

ここで、ある自然数に対して、${\displaystyle m}$、${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$そうすれば、それを検証できます。${\displaystyle m+1}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m+1}k&=\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)\\&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m^{2}+m}{2}}+{\frac {2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

したがって、式が真である場合${\displaystyle m}$それは真実です${\displaystyle m+1}$明らかに真実であるため${\displaystyle 1}$したがって、${\displaystyle 2}$、${\displaystyle 3}$そして究極的にはすべての自然数${\displaystyle n}$帰納法によって。

ドイツの数学者ガウスが若い頃にこの関係を発見したという逸話がある。彼は和の中の n / 2 組の数に、それぞれの組の n + 1 の値を掛けたという。[ 3 ]いずれにせよ^{、ガウスが}この公式を最初に発見したわけではなく、その起源は紀元前 5 世紀のピタゴラス派に遡ると考える人もいる。 ^{[ 4 ]} 2 つの公式は、アイルランドの修道士ディクイルが816 年頃に著したComputusに記述されている。^{[ 5 ]}ディクイルの記述の英語訳が入手可能である。^{[ 6 ]}

標準的な公式では、最終的な 2 による除算の前に整数オーバーフローt = n*(n+1)/2が発生するような大きな三角数を計算する必要がある場合があります。たとえば、 T ₂₀ = 210 < 256 なので、8 ビットのバイトには収まりますが、中間積 420 には収まりません。これは、 nまたはn+1のいずれかが偶数の場合に、乗算の前に 2 で割ることで解決できます。として実装すれば、条件分岐は必要ありません。が奇数の場合、バイナリ OR演算は効果がなく、これは と同等で正しいです。 が偶数の場合、最下位ビットを で設定することは1 を加えることと同じですが、除算の前に追加された 1 は切り捨てられるため、これはと同等で正しいです。t = (n|1) * ((n+1)/2)nn|1t = n * ((n+1)/2)nn|1t = (n+1) * (n/2)

三角数は、他の図形数と非常に多様な関係性を持つ。

最も単純に言えば、連続する 2 つの三角数の和は平方数になります。なぜなら、次の理由があるからです。^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

ここで、合計は2つの差の2乗であり（したがって、2つの差は合計の平方根である）。 $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

この性質は、一般にスミルナのテオンの定理として知られており、^{[ 9 ]}次の和で視覚的に示され、${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$桁の合計として：

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

この事実は、三角形を反対方向に配置して正方形を作ることで、図解的にも示すことができる。

6 + 10 = 16 10 + 15 = 25         

上記のセクション§ 公式の視覚的証明にあるように、三角数の2倍はプロニック数と呼ばれます。

平方数でもある三角数は無限に存在します。例えば、1、36、1225などです。これらのうちいくつかは、簡単な漸化式で生成できます。 $${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$と${\displaystyle S_{1}=1.}$

すべての平方三角数は再帰によって求められます $${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$と${\displaystyle S_{0}=0}$そして${\displaystyle S_{1}=1.}$

n番目の三角数の二乗は、1 からnまでの整数の立方和と同じである。これは次のように表すこともできる。 $$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

最初のn個の三角数の合計は、 n番目の四面体数です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

より一般的に言えば、 n番目のm角数とn番目の( m + 1)角数の差は、 ( n − 1)番目の三角数です。例えば、6 番目の七角数(81) から 6 番目の六角数(66) を引くと、5 番目の三角数である 15 になります。その他のすべての三角数は六角数です。三角数が分かれば、任意の中心多角数を計算できます。n番目の中心k角数は、次の式で求められます。 $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

ここでTは三角数である。

2つの三角数の正の差は台形数である。

三角数に見られるパターン${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$四面体数の場合${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$二項係数を使用する式は一般化できます。これにより、次の式が得られます。^{[ 11 ]}$${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

三角数は、ファウルハーバーの公式の1次の場合に対応する。

{{{注釈}}}

すべての六角数は奇数辺の三角数であることを言葉なしで証明する

交互に並ぶ三角数（1、6、15、28、…）は六角数でもある。

すべての偶数の完全数は三角形（および六角形）であり、その公式は次の通りである。 $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$ ここで、 M _pはメルセンヌ素数である。奇数の完全数は知られていないため、既知の完全数はすべて三角数である。

例えば、3番目の三角数は(3 × 2 =) 6、7番目は(7 × 4 =) 28、31番目は(31 × 16 =) 496、127番目は(127 × 64 =) 8128です。

三角数の末尾の桁は0、1、3、5、6、または8であり、したがって、そのような数は2、4、7、または9で終わることはありません。末尾が3の場合は、その前に0または5がなければなりません。末尾が8の場合は、その前に2または7がなければなりません。

10進数では、ゼロでない三角数のデジタルルートは常に1、3、6、または9です。したがって、すべての三角数は3で割り切れるか、9で割ったときの余りが1になります。

上記のように、9項ごとに繰り返される三角数のデジタルルートパターンは「1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9」です。

しかし、上記の記述の逆は必ずしも真ではありません。例えば、三角数ではない12のデジタル根は3であり、3で割り切れます。

xが三角数、a が奇数の平方数で、b = a − 1 / 8の場合、ax + bも三角数になります。8 T _n + 1 = (2 n + 1) ²という式から、すべての奇数の平方数は三角数に 8 を掛けて 1 を加えることで得られるため、 bは常に三角数になります。また、 a が奇数の平方数である場合のbの計算は、この操作の逆です。この形式の最初のいくつかのペア( 1 x + 0を除く) は、9 x + 1、25 x + 3、49 x + 6、81 x + 10、121 x + 15、169 x + 21 、 ...などです。xがT nに等しい場合、これらの式はT 3 n + ₁、T 5 n _{+ 2、} T 7 _{n + 3}、T _{9 n +} 4などを_{生成します}。

すべての非ゼロ三角数の 逆数の合計は$$\sum_{n=1}^{\infty}{1\over{n^{2}+n}\over2}}=2\sum_{n=1}^{\infty}{1\over{n^{2}+n}}=2.}$$

これは、望遠鏡級数の基本和を用いることで示すことができる。 $$\sum_{n=1}^{\infty}{1\over{n(n+1)}}=1.}$$

さらに、この級数の第n項の部分和は次のように表すことができます。 $$2n \over {n+1}。$$

三角数に関する他の2つの公式は次のとおりです。 $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$ そして $${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$ どちらも、点のパターンを見る（上記参照）か、簡単な代数計算によって証明できる。

1796年、ガウスはすべての正の整数が3つの三角数の和として表せることを発見し、日記に「ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ 」という有名な言葉を記しました。3つの三角数は必ずしも異なるとは限らず、ゼロでない必要もありません。例えば、20 = 10 + 10 + 0 です。これはフェルマーの多角数定理の特殊なケースです。

2 ^k − 1 の形の最大の三角数は4095です(ラマヌジャン-ナゲル方程式を参照)。

ヴァツワフ・フランツィシェク・シェルピンスキは、等比数列の中に4つの異なる三角数が存在するかどうかという問題を提起した。ポーランドの数学者カジミエシュ・シミチェクは不可能だと推測したが、後に2007年にファンとチェンによって証明された。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

整数を三角数の和として表す公式は、シータ関数、特にラマヌジャンのシータ関数と関連している。^{[ 14 ] [ 15 ]}

三角形内の最も近い点のペア間の線分の数は、点の数または漸化式を用いて表すことができる。 $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};\qquad L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

極限では、 2 つの数値、点と線分の比率は $$\lim_{n\to\infty}{T_n}{L_n} = 1/3.$$

三角数T _{n は、}n + 1人の人がいる部屋で各人が全員と 1 回ずつ握手をする場合の握手の数を数える握手問題を解決します。言い換えれば、n人の握手問題の解はT _{n −1}です。^{[ 16 ]}

同様に、n個のコンピューティングデバイスが完全に接続されたネットワークには、 T _{n − 1本}のケーブルまたはその他の接続が必要となる。

三角数${\displaystyle T_{n}}$次元における主回転の数に等しい${\displaystyle n+1}$例えば、5次元では主回転の数は10であり、${\displaystyle T_{4}}$[ ^{17 ]​}

総当たり戦方式のグループステージを採用するトーナメント形式では、 nチーム間で行われる試合数は三角数T _{n − 1}に等しくなります。例えば、4チームのグループステージでは6試合、8チームのグループステージでは28試合が必要となります。これは、握手問題や完全連結ネットワーク問題とも同等です。

資産の減価償却を計算する方法の1つに、年数合計法があります。これは、資産の耐用年数をnとしたときのT _nを求める方法です。毎年、資産は( b − s ) × ⁠ n − y / T _n ⁠ だけ価値を失います。ここで、bは資産の初期価値（通貨単位）、sは最終残存価値、nは資産が使用可能な年数の合計、yは減価償却スケジュールの現在の年です。この方法では、耐用年数がn = 4 年である品目は、1年目に「損失可能」価値の4 /10、2 年目に 3/10、3 年目に 2/ 10、4年目に1/10を失い、合計で損失可能価値の10/10 (全体)の減価償却が蓄積されます。

ボードゲームデザイナーのジェフリー・エンゲルスタインとアイザック・シャレフは、三角数が「ゲームデザイナーの間でマントラや公案のような地位をほぼ獲得した」と述べており、「非常に直感的」で「膨大な数のゲームに登場し、他のすべての戦略を排除して過度に専門化を奨励することなく、より大きなセットに対して段階的に報酬を与えるという点で非常に汎用性が高い」と述べている。^{[ 18 ]}

xの平方根との類推により、(正の) xの三角根をT _n = xとなる数nとして定義することができる。^{[ 19 ]}$${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

これは二次方程式の解の公式からすぐに導かれる。したがって、整数xが三角数であるのは、8x + 1 が平方数である場合に限る。言い換えれば、 xの正の三角根n が整数である場合、xはn番目の三角数である。^{[ 19 ]}

階乗関数（因数が 1 からnまでの整数である積）との類推から、ドナルド・クヌースは、項が 1 からnまでの整数（n番目の三角数^{）である和をn} ?と表記して、Termial 関数という名前を提案しました。[ ²⁰ ]他のいくつかの資料ではこの名前と表記を使用していますが、^{[ 21 ]}広くは使用されていません。したがって、Termial 関数は次のように表記で定義できます。^{[ 20 ]}  

${\displaystyle n?=\sum _{k=1}^{n}{k}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} }$

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 二重三角数とは、三角数列における位置も三角数である三角数のことである。
• テトラクティスとは、三角形の中に10個の点を配置​​したもので、ピタゴラス学において重要な概念である。
• 階乗数
• シンデル配列

• 「等差数列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• カット・ザ・ノットの三角数
• 切断法では平方数でもある三角数が存在する
• ワイススタイン、エリック・W. 「三角数」 . MathWorld .
• Rob Hubbard著「ハイパーテトラヘドラル多面体根」には、三角立方根への一般化、いくつかの高次元、およびいくつかの近似式が含まれています。