連結された空間

R²の連結部分空間と非連結部分空間

上から順に、赤い空間A、ピンクの空間B 、黄色_の空間C、オレンジ色の空間Dはすべて連結した空間ですが、緑の空間E （部分集合E1 、E2 _、 E3 _、 E4_から構成される）は連結していません。さらに、AとBは単連結（種数0）ですが、 CとDは連結していません。Cの種数は1、Dの種数は4です。

位相幾何学および関連する数学分野において、連結空間とは、互いに素な2つ以上の空でない開集合の和集合として表現できない位相空間のことである。連結性は、位相空間を特徴づける主要な位相的性質の一つである。

位相空間の部分集合${\displaystyle X}$は連結集合とは、連結空間として見た場合、連結空間であることを意味する。${\displaystyle X}$。

関連するが、より強い条件としては、パス連結、単連結、および${\displaystyle n}$-接続されている。関連する別の概念として局所的に接続されているというものがあるが、これは接続性を意味するものでも、接続性から導き出されるものでもない。

位相空間${\displaystyle X}$と言われている互いに素な2つの空でない開集合の和集合である場合は、切断されている。そうでない場合は、${\displaystyle X}$位相空間の部分集合は、その部分空間の位相に関して連結である場合、連結であると言われます。一部の著者は、空集合（固有の位相を持つ）を連結空間から除外していますが、この記事ではその慣例に従いません。

歴史的に、連結性の概念のこの現代的な定式化（分割なし${\displaystyle X}$（2つの別々のセットに分割する）は、 20世紀初頭にNJ Lennes、Frigyes Riesz、Felix Hausdorffによって（独立して）初めて登場した。詳細は（Wilder 1978 ）を参照。

接続性は、次の意味で同値関係を定義します。2 つの点が与えられた場合${\displaystyle x,y}$位相空間において${\displaystyle X}$私たちは書く${\displaystyle x\sim y}$もし${\displaystyle x,y}$同じ連結部分集合に属する。すると、${\displaystyle \sim }$これは同値関係である。^{[ 2 ]}

• 閉区間${\displaystyle [0,2)}$標準部分空間トポロジーでは連結しているが、例えば、${\displaystyle [0,1)}$そして${\displaystyle [1,2),}$2 番目の集合は、選択されたトポロジーでは開いていません。${\displaystyle [0,2).}$
• の結合${\displaystyle [0,1)}$そして${\displaystyle (1,2]}$は切断されている。これらの区間は両方とも標準位相空間において開区間である。${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$接続が切断されています。
• スペース${\displaystyle X=\{a,b\}}$離散的でない位相は連結であり、その唯一の開集合は${\displaystyle \varnothing }$そして${\displaystyle X}$。
• 部分空間${\displaystyle Y=[-1,0)\cup (0,1]\subset \mathbb {R} }$接続されていません。実際、セットは${\displaystyle [-1,0)}$そして${\displaystyle (0,1]}$は空ではなく、互いに素であり、部分空間トポロジーにおいて開いている。${\displaystyle Y}$、そして一緒に分離を形成する${\displaystyle Y}$。
• 凸部分集合$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$接続されている。実際には単に接続されているだけだ。
• 原点を除くユークリッド平面、${\displaystyle (0,0),}$連結ではあるが、単連結ではない。原点を除いた3次元ユークリッド空間は連結であり、単連結でもある。一方、原点を除いた1次元ユークリッド空間は連結ではない。
• 直線を取り除いたユークリッド平面は、2つの半平面から構成されているため、連結していません。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$通常の位相を持つ実数空間は連結である。
• ゾルゲンフライ線は切断されています。^{[ 5 ]}
• たとえ1点でも取り除かれたら${\displaystyle \mathbb {R} }$、残りの部分は切断されます。しかし、可算無限個の点が取り除かれたとしても$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 どこ${\displaystyle n\geq 2,}$残りは接続されています。${\displaystyle n\geq 3}$、 それから$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$可算個の点を除去した後も、単純連結のままである。
• 連結体（例えば、​​${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$)は単純に接続されている。
• 少なくとも 2 つの要素を持つすべての離散位相空間は非連結であり、実際にはそのような空間は完全に非連結である。最も単純な例は離散 2 点空間である。^{[ 6 ]}
• 一方、有限集合は連結している場合もある。例えば、離散評価環のスペクトルは2点から構成され、連結している。これはシェルピンスキー空間の一例である。
• カントール集合は完全に不連結である。集合には非可算個の点が含まれるため、非可算個の成分を持つ。
• スペース${\displaystyle X}$ホモトピーが連結空間と同値であれば、${\displaystyle X}$それ自体が繋がっている。
• 位相幾何学における正弦曲線は、連結ではあるが、経路連結でも局所連結でもない集合の一例である。
• 一般線形群${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$（つまり、${\displaystyle n}$-による-${\displaystyle n}$実数で可逆な行列）は、2 つの連結成分から構成されます。1 つは正の行列式を持つ行列、もう 1 つは負の行列式を持つ行列です。特に、連結ではありません。対照的に、${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$連結である。より一般的に言えば、複素ヒルベルト空間上の可逆な有界作用素の集合は連結である。
• 可換局所環と整域のスペクトルは関連している。より一般的には、以下は同等である^{[ 7 ]}
  1. 可換環のスペクトル${\displaystyle R}$接続されています
  2. 上のすべての有限生成射影加群${\displaystyle R}$ランクは一定である。
  3. ${\displaystyle R}$冪等性を持たない${\displaystyle \neq 0,1}$（つまり、${\displaystyle R}$（非自明な方法で2つの環の積ではない）。

接続されていない空間の一例として、無限直線が削除された平面が挙げられます。接続されていない空間（つまり、連結されていない空間）の他の例としては、環状領域が削除された平面や、互いに素な2つの閉円盤の和集合などが挙げられます。なお、この段落で挙げた例はすべて、 2次元ユークリッド空間によって誘導される部分空間トポロジーを持っています。

A経路連結空間は、経路の構造を必要とする、より強い連結性の概念である。ある点からの経路${\displaystyle x}$ある程度まで${\displaystyle y}$位相空間において${\displaystyle X}$連続関数である${\displaystyle f}$単位区間から${\displaystyle [0,1]}$に${\displaystyle X}$と${\displaystyle f(0)=x}$そして${\displaystyle f(1)=y}$. Aパスコンポーネント${\displaystyle X}$は同値類である${\displaystyle X}$同値関係の下で${\displaystyle x}$同等${\displaystyle y}$からへの経路が存在する場合に限り${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$[ ^{8 ]}空間^​${\displaystyle X}$経路連結（または経路連結）であると言われ、${\displaystyle \mathbf {0} }$-接続済み）パスコンポーネントがちょうど1つある場合。^{[ 9 ]}

同様に、パスコンポーネントは${\displaystyle X}$は、最大パス連結部分集合である。${\displaystyle X}$（等価性を確認するには、前述の意味でのパスコンポーネントがパス連結であることに注目してください。）^{[ 10 ]}

経路で連結された空間はすべて連結している。^{[ 11 ]}逆は必ずしも真ではない。経路で連結されていない連結空間の例としては、長い線分などが挙げられる。${\displaystyle L^{*}}$そして、位相幾何学者の正弦曲線。

実数直線の部分集合${\displaystyle \mathbb {R} }$は、パス連結である場合に限り連結されます。これらの部分集合は、${\displaystyle \mathbb {R} }$また、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$または${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$連結であるのは、パス連結である場合に限る。さらに、有限位相空間では連結性とパス連結性は同じである。^{[ 12 ]}

スペース${\displaystyle X}$任意の位相的に区別可能な2 つの点が弧で結ばれる場合、それは弧連結または弧状連結であると言われ、これは埋め込みである。${\displaystyle f:[0,1]\to X}$弧状成分​​${\displaystyle X}$は、 の最大弧連結部分集合である。${\displaystyle X}$あるいは、2つの点が弧または位相的に区別できない点を持つパスで結ばれるかどうかの同値関係の同値類。

パス連結なハウスドルフ空間はすべてアーク連結でもある。 ^{[ 13 ]}より一般的には、${\displaystyle \Delta }$-ハウスドルフ空間とは、パスの各像が閉じている空間のことです。パス連結ではあるが弧連結ではない空間の例としては、2つの原点を持つ直線が挙げられます。その2つのコピーは${\displaystyle 0}$パスで接続することはできるが、アークで接続することはできない。

経路連結空間の直感は、弧連結空間には容易に適用できない。${\displaystyle X}$2つの始点を持つ直線とする。以下は、経路連結空間では成り立つが、弧連結空間では成り立たない事実である。

• 弧連結空間の連続像は弧連結ではない場合がある。例えば、弧連結空間から、位相的に区別可能な点が可算個（少なくとも2個）存在する商空間への商写像は、濃度が小さすぎるため弧連結にはなり得ない。
• アークコンポーネントは互いに分離していない場合があります。たとえば、${\displaystyle X}$2つの重なり合う円弧成分を持つ。
• 弧で結ばれた積空間は、弧で結ばれた空間の積ではないかもしれない。例えば、${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$弧で接続されているが、${\displaystyle X}$そうではない。
• 積空間の弧成分は、周辺空間の弧成分の積とは限らない。例えば、${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$単一の円弧成分を持つが、${\displaystyle X}$2つの円弧成分を持つ。
• 弧連結部分集合が空でない共通部分を持つ場合、それらの和集合は弧連結ではない可能性がある。たとえば、${\displaystyle X}$それらは交差するが、それらの結合は弧で繋がっていない。

位相空間は、ある点で局所的に連結していると言われる。${\displaystyle x}$すべての近隣地域が${\displaystyle x}$連結した開近傍を含む。連結集合の基底を持つ場合、局所的に連結である。空間は、${\displaystyle X}$は、すべての開集合のすべての構成要素が、${\displaystyle X}$営業中です。

同様に、位相空間は局所的にパス連結であるとは、パス連結集合の基底を持つ場合をいう。局所的にパス連結な空間の開部分集合は、パス連結である場合に限り連結である。これは、以前の記述を一般化するものである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$それぞれが局所的に経路連結である。より一般的に言えば、任意の位相多様体は局所的に経路連結である。

局所的に連結しているからといって連結しているとは限らず、局所的に経路連結しているからといって経路連結しているとは限らない。連結していない（または経路連結していない）局所的に連結している（かつ局所的に経路連結している）空間の簡単な例として、2 つの分離した区間の和集合が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {R} }$、 のような${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$。

局所的に連結していない連結空間の典型的な例は、いわゆるトポロジーの正弦曲線であり、次のように定義される。${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$包含によって誘導されるユークリッド位相 を持つ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

連結した集合の共通部分は、必ずしも連結しているとは限らない。

連結集合の和集合は必ずしも連結ではない。これは、次の点からわかる。${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$。

各楕円は連結集合であるが、その和集合は連結集合ではない。なぜなら、和集合は互いに素な2つの開集合に分割できるからである。${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$。

これは、組合が${\displaystyle X}$接続が切断されると、コレクション${\displaystyle \{X_{i}\}}$は、サブコレクションの和集合が互いに素でオープンであるような 2 つのサブコレクションに分割できます。${\displaystyle X}$（図を参照）。これは、多くの場合、連結集合の和集合は必然的に連結であることを意味する。特に、次のとおりである。

1. すべての集合の共通部分が空集合でない場合（${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$) ならば、明らかにそれらは互いに素な和集合を持つ集合に分割することはできません。したがって、空でない共通部分を持つ連結集合の和集合は連結です。
2. 各集合のペアの共通部分が空でない場合（${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$) すると、それらは互いに素な和集合を持つコレクションに分割できないため、それらの和集合は連結していなければなりません。
3. セットが「連結チェーン」として順序付けられる場合、つまり整数インデックスでインデックス付けされ、${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$そうなると、両者の結びつきは必然的に繋がっているはずだ。
4. 集合が互いに素で商空間が${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$が接続されているならば、Xも接続されている必要がある。そうでなければ、${\displaystyle U\cup V}$Xの分離である場合${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$商空間の分離である（なぜなら${\displaystyle q(U),q(V)}$商空間では互いに素で開いている）。^{[ 14 ]}

連結集合の集合差は必ずしも連結ではない。ただし、${\displaystyle X\supseteq Y}$そしてそれらの違い${\displaystyle X\setminus Y}$は連結していない（したがって、2 つの開集合の和集合として記述できる）${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$)、次に${\displaystyle Y}$各コンポーネントが接続されている（つまり${\displaystyle Y\cup X_{i}}$すべての人がつながっています${\displaystyle i}$)

• 連結性の主定理：${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$を位相空間とし、${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$連続関数である。${\displaystyle X}$（パス）接続されている場合は、画像${\displaystyle f(X)}$は（経路）連結である。この結果は、中間値の定理の一般化と考えることができる。
• 経路で繋がった空間はすべて繋がっている。
• 局所的に経路連結な空間では、すべての開連結集合は経路連結である。
• 局所的に経路接続されている空間はすべて、局所的に接続されている。
• 局所的に経路連結な空間は、それが連結である場合に限り、経路連結である。
• 連結部分集合の閉包は連結である。さらに、連結部分集合とその閉包の間の任意の部分集合は連結である。
• 接続されたコンポーネントは常に閉じている（ただし、一般的には開いていない）。
• 局所的に接続された空間の接続された構成要素もまた開放されている。
• 空間の連結成分は、経路連結成分の非交和である（一般に、経路連結成分は開集合でも閉集合でもない）。
• 連結空間（または局所連結空間、経路連結空間、局所経路連結空間）のすべての商空間は連結空間（または局所連結空間、経路連結空間、局所経路連結空間）である。
• 連結した（または経路連結した）空間の族のすべての 積は連結している（または経路連結している）。
• 局所的に連結な（または局所的に経路連結な）空間のすべての開部分集合は、局所的に連結である（または局所的に経路連結である）。
• すべての多様体は局所的に経路連結されている。
• 弧状に連結された空間は経路状に連結されているが、経路状に連結された空間は弧状に連結されていない可能性がある。
• 弧状に連結された集合の連続像は、弧状に連結されている。

グラフにはパス連結部分集合、すなわち任意の2点間に辺のパスが存在する部分集合が存在する。しかし、点集合上に同じ連結集合を誘導するトポロジーを見つけることが常に可能とは限らない。5サイクルグラフ（および任意の${\displaystyle n}$-サイクル${\displaystyle n>3}$（奇妙な）はその一例です。

その結果、連結性の概念は空間の位相とは独立して定式化できる。すなわち、連結性公理を満たす連結部分集合の集合からなる連結空間のカテゴリーが存在する。それらの射は、連結集合を連結集合に写像する関数である（Muscat & Buhagiar 2006 ）。位相空間とグラフは連結空間の特殊な場合であり、実際、有限連結空間はまさに有限グラフである。

しかし、頂点を点、辺を単位区間のコピーとして扱うことで、すべてのグラフを標準的な位相空間にすることができます（位相グラフ理論#グラフを位相空間として扱うを参照）。そして、グラフが（グラフ理論的な意味で）連結であることと、位相空間として連結であることは同値であることが示せます。

位相空間には、より強い連結性を示す形態が存在する。例えば、以下のようなものがある。

• 位相空間内に互いに素な空でない開集合が2つ存在しない場合${\displaystyle X}$、${\displaystyle X}$それらは繋がっていなければならず、したがって、超接続された空間もまた繋がっている。
• 単連結空間は定義上、経路連結性も必要とされるため、単連結空間はすべて連結している。もし「経路連結性」という要件を単連結性の定義から除外すれば、単連結空間は連結である必要はない。
• しかし、より強力な連結性の概念としては、縮約可能な空間という概念が含まれる。すべての縮約可能な空間は経路連結であり、したがって連結でもある。

一般に、経路連結空間は必ず連結であるが、経路連結ではない連結空間も存在する。削除された櫛状空間や、前述の位相幾何学者の正弦曲線は、そのような例である。

連結空間とは、任意の2点が任意の距離にある点の連鎖で結ばれる距離空間のことである。${\displaystyle X}$接続されています、^{[ 16 ]： Ch.I §8}逆は真ではありません（例として${\displaystyle \mathbb {Q} }$)

• 連結成分（グラフ理論）– 頂点同士が到達可能な最大部分グラフ リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 連結性の位置
• ドメイン（数学解析）– 位相空間の連結した開部分集合 
• 極めて不連結な空間– すべての開集合の閉包が開いている位相空間 
• 局所的に連結された空間– 位相空間の特性 
• n連結
• 均一に連結された空間– 均一な空間の種類 
• ピクセル接続

• Bredon, GE (2013).トポロジーと幾何学. 大学院数学テキスト. 第 139巻. Springer Science & Business Media.
• エンゲルキング、リシャルト（1989）。一般トポロジー（改訂・完成 版）。レムゴ：ヘルデルマン出版。ISBN 3-88538-006-4。
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc . 39 : 1– 13. 2016-03-04 にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2010-05-17に取得。。
• ワイルダー、RL（1978）。「連結」の位相概念の進化「. American Mathematical Monthly . 85 (9): 720– 726. doi : 10.2307/2321676 . JSTOR 2321676 . 
• ウィラード、スティーブン（1970）。一般トポロジー。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-486-43479-6。