無料モジュール

数学において、自由加群は基底、つまり線型独立な元からなる生成集合を持つ加群である。すべてのベクトル空間は自由加群であるが^[1] 、係数の環が除算環（可換な場合は体）でない場合、非自由加群が存在します。

任意の集合 Sと環R が与えられた場合、基底Sを持つ自由R加群が存在し、これはS上の自由加群、またはSの元の形式的R線形結合の加群と呼ばれます。

自由アーベル群は、整数環Z上の自由加群そのものです。

環 と-加群の場合、次の条件を満たす集合はの基底となります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E\subseteq M}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle E}$は の生成集合です。つまり、 のすべての要素は の要素に の係数を乗じた有限和です。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle E}$は、異なる元のすべてに対して、 が成り立つとき、は線形独立です(ただし、 はの零元であり、は の零元です)。${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$${\displaystyle 0_{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 0_{R}}$${\displaystyle R}$

自由加群は基底を持つ加群である。^[2]

定義の後半の直接的な結果は、前半の係数がMの各要素に対して一意であるということです。

が不変基底数を持つ場合、定義により任意の 2 つの基底は同じ基底数を持ちます。たとえば、非ゼロの可換環は不変基底数 を持ちます。任意の (したがってすべての) 基底の基底数は、自由モジュール のランクと呼ばれます。この基数が有限である場合、自由モジュールは有限ランク から自由であると言われ、ランクがnであることがわかっている場合はランクnから自由であると言われます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$

Rを環と します。

• R は、それ自身に対してランク 1 の自由モジュールです (左モジュールまたは右モジュールとして)。任意の単位元は基底です。
• より一般的には、Rが可換ならば、 Rの非零イデアルIが自由であるためには、それが非零因子によって生成される主イデアルであり、生成元が基底である場合に限られる。^[3]
• 主イデアル領域（例えば）上では、自由モジュールのサブモジュールは自由である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Rが可換である場合、不定元Xの多項式環は、可能な基底 1、X、X ²、...を持つ自由加群です。${\displaystyle R[X]}$
• を可換環A上の多項式環とし、そこの次数dの単項多項式をf とし、tの像をBとします。このとき、B はA を部分環として含み、基底 を持つA加群として自由です。${\displaystyle A[t]}$${\displaystyle B=A[t]/(f)}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• 任意の非負整数nに対して、左R加群としてのRのn個のコピーの直積は自由である。R が不変基底数を持つ場合、その階数はnである。${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• 自由加群の直和は自由であるが、自由加群の無限直積は一般に自由ではない（Baer–Specker 群を参照）。
• 可換局所環上の有限生成加群が自由となるのは、それが忠実に平坦である場合に限ります。^[4]また、カプランスキーの定理によれば、（おそらく非可換な）局所環上の射影加群は自由となります。
• 場合によっては、モジュールが自由であるかどうかは、集合論的な意味では決定不可能です。有名な例は、ホワイトヘッド群が自由であるかどうかを問うホワイトヘッド問題です。結局のところ、この問題は ZFC とは無関係です。

集合Eと環R が与えられたとき、 E を基底とする自由R加群が存在する。すなわち、 Eで添字付けされたRのコピーの直和である。

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$。

明示的には、有限 個の非ゼロ成分のみを持つ元からなる直積の部分モジュール（ R は左モジュールとみなされる）である。 e 番目の成分が 1（ R の単位元）で、他のすべての成分がゼロであるR ( E )^の元eをその元と同一視することにより、 Eを部分集合としてR ^{( E ) に埋め込むことができる。この場合、 R ( E )}の^各元は次のように一意に表すことができる。 ${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

ここで、非ゼロのものは有限個だけである。これはEの元の形式的な線形結合と呼ばれる。 ${\displaystyle c_{e}}$

同様の議論により、すべての自由左（または右）R加群は、左（または右）加群としての Rのコピーの直和に同型であることが示されます。

自由モジュールR ^{( E )}は、次のように同等の方法で構築することもできます。

環Rと集合E が与えられたとき、まず集合として

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ 有限個を除くすべての }}x\in E\}.}$

左加群の構造を装備し、その加法は次のように定義される: E内のxに対して、

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

そしてスカラー乗算は次のように行われます。rがRに、xがEにそれぞれ属する場合、

${\displaystyle (rf)(x)=rf(x)}$

ここで、E上のR値関数として、の各f は次のように一意に表すことができます。 ${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

ここで、 Rには有限個の非ゼロの要素があり、次のように与えられる。 ${\displaystyle c_{e}}$${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

(これはクロネッカーのデルタの変形です)。上記は、のサブセットがの基底であることを意味します。マッピングは、 Eとこの基底の間の全単射です。この全単射により、 は基底Eを持つ自由モジュールです。 ${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$${\displaystyle R^{(E)}}$${\displaystyle R^{(E)}}$${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$${\displaystyle R^{(E)}}$

上記で定義した包含写像は、次の意味で普遍的である。集合Eから左R加群Nへの任意の関数が与えられたとき、となる唯一の加群準同型が存在する。すなわち、は式によって定義される。 ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

は線型性によって拡張することによって得られると言われています。一意性とは、各R線型写像がEへの制限によって一意に決定されることを意味します。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

普遍的性質の場合と同様に、これは標準同型を除いてR ( E )を定義する。また、各^{集合Eに対する} の形成は、関手を決定する。${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$、

集合の圏から左R加群の圏への変換である。これは自由関手と呼ばれ、自然な関係を満たす。各集合Eと左加群Nに対して、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

ここで は忘却関手であり、は忘却関手の 左随伴関数であることを意味します。${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle R^{(-)}}$

自由加群に当てはまる多くの記述は、特定のより大きな加群のクラスに拡張されます。射影加群は自由加群の直和です。 平坦加群は、それらとのテンソル化によって正確なシーケンスが保存されるという特性によって定義されます。 捩れのない加群はさらに広いクラスを形成します。PID ( Zなど) 上の有限生成加群の場合、自由、射影、平坦、および捩れのない特性は同等です。

局所環、完全環、デデキント環を参照してください。

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• アダムソン、イアン・T. (1972)。『初等環と加群』。大学数学テキスト。オリバーとボイド。pp. 65–66。ISBN 0-05-002192-3. MR  0345993。
• Keown, R. (1975).群表現理論入門. 科学と工学における数学. 第116巻. アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-404250-6. MR  0387387。
• Govorov, VE (2001) [1994]、「自由モジュール」、数学百科事典、EMS Press。
• 松村秀之 (1986)。可換環論。ケンブリッジ高等数学研究第8巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36764-6. MR  0879273. Zbl  0603.13001.