シンプレクトモルフィズム

数学では、シンプレクティック同型写像またはシンプレクティック写像は、シンプレクティック多様体のカテゴリーにおける同型写像です。古典力学では、シンプレクティック同型写像は、体積を保存し、位相空間のシンプレクティック構造を保存する位相空間の変換を表し、正準変換と呼ばれます。^{[ 1 ]}

2つのシンプレクティック多様体間の微分同相写像${\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')}$シンプレクトモルフィズムとは、

${\displaystyle f^{*}\omega '=\omega ,}$

どこ${\displaystyle f^{*}}$プルバックは​${\displaystyle f}$シンプレクティック微分同相写像${\displaystyle M}$に${\displaystyle M}$これらは（擬似）群であり、シンプレクトモルフィズム群と呼ばれる（下記参照）。

シンプレクティック同相写像の無限小バージョンはシンプレクティックベクトル場を与える。ベクトル場${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(TM)}$シンプレクティックと呼ばれるのは、

$\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}$

また、${\displaystyle X}$流れがシンプレクティックである場合${\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M}$の${\displaystyle X}$はすべての に対してシンプレクティックである${\displaystyle t}$これらのベクトル場は、${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$。 ここ、${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$は、上の滑らかなベクトル場の集合である。${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$はベクトル場に沿ったリー微分である。${\displaystyle X.}$

シンプレクトモルフィズムの例としては、古典力学や理論物理学の正準変換、任意のハミルトン関数に関連付けられた流れ、多様体の任意の微分同相写像によって誘導される余接束上の写像、リー群の要素の共随軌道への共随作用などが挙げられる。

シンプレクティック多様体上の任意の滑らかな関数は、定義によりハミルトンベクトル場を生成し、そのようなベクトル場の集合は、シンプレクティックベクトル場のリー代数の部分代数を形成する。シンプレクティックベクトル場の流れの積分はシンプレクトモルフィズムである。シンプレクトモルフィズムはシンプレクティック2形式、ひいてはシンプレクティック体積形式を保存するため、ハミルトン力学におけるリウヴィルの定理が成り立つ。ハミルトンベクトル場から生じるシンプレクトモルフィズムは、ハミルトンシンプレクトモルフィズムとして知られている。

{ H , H } = X _H ( H ) = 0であるため、ハミルトニアンベクトル場の流れはHも保存します。物理学では、これはエネルギー保存の法則として解釈されます。

連結シンプレクティック多様体の第一ベッチ数がゼロの場合、シンプレクティックベクトル場とハミルトンベクトル場は一致するため、シンプレクティック同型写像のハミルトン同位性とシンプレクティック同位性の概念は一致する。

測地線の方程式はハミルトン流として定式化できることが示されています（「ハミルトン流としての測地線」を参照）。

多様体からそれ自身へのシンプレクティック写像は、無限次元擬群を形成する。対応するリー代数は、シンプレクティックベクトル場からなる。ハミルトンシンプレクティック写像は部分群を形成し、そのリー代数はハミルトンベクトル場によって与えられる。後者は、定数を除いて、ポアソン括弧に関する多様体上の滑らかな関数のリー代数と同型である。

ハミルトンシンプレクティック群${\displaystyle (M,\omega )}$通常は次のように表記される${\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )}$。

ハミルトン微分同相群は、バニャガの定理により単純である。^{[ 2 ]}それらはホーファーノルムによって与えられる自然な幾何学を持つ。球の積などの特定の単純なシンプレクティック4次元多様体のシンプレクティック同相群のホモトピー型は、グロモフの擬正則曲線の理論を使用して計算できる。

リーマン多様体とは異なり、シンプレクティック多様体はあまり剛性が高くありません。ダルブーの定理によれば、同じ次元のすべてのシンプレクティック多様体は局所的に同型です。対照的に、リーマン幾何学における等長変換はリーマン曲率テンソルを保存しなければならず、これはリーマン多様体の局所不変量です。さらに、シンプレクティック多様体上のすべての関数Hはハミルトンベクトル場X _Hを定義し、これはハミルトン微分同相写像の1 パラメータ群に指数化されます。したがって、シンプレクティック同相写像群は常に非常に大きく、特に無限次元になります。一方、リーマン多様体の等長変換群は常に (有限次元)リー群です。さらに、大きな対称群を持つリーマン多様体は非常に特殊であり、一般的なリーマン多様体には非自明な対称性は存在しない。

ヒルベルト空間上のシンプレクティック群の有限次元部分群（一般にħ変形後）の表現は量子化と呼ばれます。リー群がハミルトニアンによって定義される場合、それは「エネルギーによる量子化」と呼ばれます。リー代数から連続線形作用素のリー代数への対応する作用素も量子化と呼ばれることがあり、これは物理学においてより一般的な見方です。

ウラジーミル・アーノルドの有名な予想は、ハミルトンシンプレクティック写像の最小固定点数に関するものである。${\displaystyle \varphi :M\to M}$、 万一に備えて${\displaystyle M}$はコンパクトシンプレクティック多様体であり、モース理論によれば（^{[ 3 ]}を参照）。より正確には、この予想は次のように述べている。${\displaystyle \varphi }$は、滑らかな関数が持つ臨界点の数と少なくとも同数の固定点を持つ。${\displaystyle M}$必ずそうである。この予想のより弱いバージョンが証明されている。${\displaystyle \varphi }$は「非退化」であり、固定点の数はベッチ数の合計によって下から制限される。${\displaystyle M}$（^{[ 4 ] [ 5 ]}を参照）。この有名な予想によって引き起こされたシンプレクティック幾何学における最も重要な発展は、アンドレアス・フローアにちなんで名付けられたフローアホモロジーの誕生である（^{[ 6 ]}を参照） 。

一般的な

• McDuff、Dusa & Salamon、D. (1998)、シンプレクティックトポロジー入門、オックスフォード数学モノグラフ、ISBN 0-19-850451-9。
• アブラハム、ラルフ＆マースデン、ジェロルド E. (1978) 『力学の基礎』ロンドン：ベンジャミン・カミングス、ISBN 0-8053-0102-Xセクション3.2を参照してください。

シンプレクトモルフィズム群

• Gromov, M. (1985), "シンプレクティック多様体における擬正則曲線", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347 , Bibcode : 1985InMat..82..307G , doi : 10.1007/BF01388806 , S2CID 4983969 。
• ポルテロヴィッチ、レオニード（2001）『シンプレクティック微分同相群の幾何学』バーゼル、ボストン：ビルクハウザー出版、ISBN 3-7643-6432-7。