ヴィーフェリヒ素数

ヴィーフェリヒ素数

名前の由来	アーサー・ヴィーフェリッヒ
出版年	1909
出版物の著者	ヴィーフェリッヒ、A.
既知の用語の数	2
推定される用語数	無限
のサブシーケンス	クランドール数[1] ヴィーフェリヒ数[2] ルーカス・ヴィーフェリッヒ素数[3] 近似ヴィーフェリッヒ素数
最初の学期	1093 , 3511
最も大きな既知の用語	3511
OEIS指数	A001220

数論において、ヴィーフェリッヒ素数とは、 p ^{2 が}2 ^{p  − 1}  − 1を割り切るような素数 p のことである。^[4]したがって、これらの素数は、すべての奇数素数p が2 ^{p  − 1}  − 1を割り切るというフェルマーの小定理と結び付けられる。ヴィーフェリッヒ素数は、1909年にアーサー・ヴィーフェリッヒがフェルマーの最終定理に関する著作の中で初めて記述したが、その時点ではフェルマーの定理は両方とも数学者の間ですでによく知られていた。^{[5] [6]}

それ以来、ヴィーフェリッヒ素数と数学のさまざまな他のトピックとの間の関連性が発見され、その中にはメルセンヌ数やフェルマー数などの他の種類の数や素数、特定の種類の擬素数、ヴィーフェリッヒ素数の元の定義から一般化されたいくつかの種類の数などが含まれます。時間の経過とともに、発見されたこれらの関連性は、特定の素数のより多くの特性や、数体やABC予想などのより一般的な主題をカバーするように拡張されました。

2024年現在^{[アップデート]}、知られているヴィーフェリッヒ素数は1093と3511（OEISの配列A001220）のみである。

ヴィーフェリッヒ素数が満たすフェルマーの小定理のより強いバージョンは、通常、合同関係 2 ^{p -1} ≡ 1 (mod p ² )として表現されます。整数の合同関係の定義から、この特性は冒頭で示した定義と同等であることがわかります。したがって、素数p がこの合同性を満たす場合、この素数はフェルマー商 を割り切ります。以下は、素数 11 と 1093 を使用した 2 つの例です。 ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}}$

p = 11の場合、 93 となり、 11 で割った後の余りは 5 となるため、11 は Wieferich 素数ではありません。p = 1093 の場合、 485439490310 ...852893958515 (わかりやすくするために中間の 302 桁は省略) となり、1093 で割った後の余りは 0 となるため、1093 は Wieferich 素数です。${\displaystyle {\tfrac {2^{10}-1}{11}}}$${\displaystyle {\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}}$

ヴィーフェリッヒ素数は、他の同等な合同式によって定義できます。pがヴィーフェリッヒ素数の場合、合同式2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ² )の両辺に 2 を掛けて2 ^p  ≡ 2 (mod  p ² )を得ることができます。合同式の両辺をp乗すると、ヴィーフェリッヒ素数は2 ^{p 2}  ≡2 ^p  ≡ 2 (mod  p ² )も満たすことがわかります。したがって、すべてのk  ≥ 1に対して2 ^{p k}  ≡ 2 (mod  p ² )が成り立ちます。逆もまた真です。あるk  ≥ 1に対して2 ^{p k}  ≡ 2 (mod  p ² )は、2 を法としてp 2^{を掛け算すると}gcd ( p ^k  − 1 , φ ( p ² )) =  p  − 1を割り切れることを意味します。つまり、2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ² )であり、したがってpは Wieferich 素数です。これはまた、 Wieferich 素数は、 2 を法としてpを法としてp ²を法として乗算すると、次の式が一致する素数pとして定義できることも意味します。ord _{p ²} 2 = ord _p 2、(ちなみに、 ord ₁₀₉₃ 2 = 364、 ord ₃₅₁₁ 2 = 1755)。

HSヴァンディバーは、 2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ³ )が成り立つのは の場合のみであることを証明した。^{[7] : 187}${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

1902年、マイヤーは合同性a ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ^r )の解に関する定理を証明した。 ^{[8] : 930  [9]}その10年後、アーサー・ヴィーフェリッヒは、フェルマーの最終定理の最初のケースが奇数の素数指数に対して解を持つ場合、その素数はa = 2 およびr = 2に対してその合同性を満たす必要があることを具体的に示した。 ^[10]言い換えれば、整数x、y、zに対してx ^p + y ^p + z ^p = 0の解が存在し、p ∤ xyzとなる奇数の素数である場合、p は2 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² )を満たす。 1913年、バッハマンはの留数を調べた。彼はこの留数が消えるのはいつかという疑問を提起し、この疑問に答える表現を見つけようとした。^[11] ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$

素数 1093 は 1913 年に W. Meissner  [cs]によってヴィーフェリッヒ素数であることが発見され、2000 未満の唯一の素数であることが確認されました。彼はp < 2000のすべての素数に対しての最小の剰余を計算し、この剰余がt = 364 およびp = 1093に対して 0 になることを発見し、これによってヴィーフェリッヒ合同の不可能性に関するGraveの予想に対する反例を提供しました。 ^[12] E. Haentzschel  [de] は後に、初等計算のみによる Meissner の合同の正しさの検証を命じました。^{[13] : 664}オイラーの初期の研究に触発されて、彼は Meissner の証明を簡略化し、1093 ² | (2 ¹⁸² + 1) であることを示し、(2 ^{182 + 1) は (2 364} − 1)の因数であると述べました。^[14]また、マイスナーが使用した方法とは逆に、複素数を使わずに1093がヴィーフェリッヒ素数であることを証明できることも示されたが、 ^[15]マイスナー自身は複素数値を使わない証明を知っていると示唆した。^{[12] : 665}${\displaystyle {\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$

素数3511は1922年にNGWHビーガーによって初めてヴィーフェリッヒ素数であることが発見され^[16]、それがヴィーフェリッヒ素数であることの別の証明は1965年にガイによって発表されました。^[17] 1960年にクラヴィッツ^{[18]はフローベルグ} [sv]によって設定された以前の記録の2倍に達し^[19]、1961年にリーゼルはBESKの助けを借りて探索を500000まで拡張しました。^[20] 1980年頃、レーマーは6 × 10⁹ . ^[21]この限界は2.5 × 10^{2006年には15に}達し、 ^[22]最終的に3 × 10¹⁵ 。最終的に、他のヴィーフェリッヒ素数が存在する場合、それらは6.7 × 10より大きい必要があることが示された。¹⁵ . ^[23]

2007年から2016年にかけて、分散コンピューティングプロジェクトWieferich@Homeによって、ヴィーフェリッヒ素数の探索が行われた。 ^[24] 2011年から2017年には、PrimeGridプロジェクトによって別の探索が行われたが、後にこのプロジェクトで行われた作業は無駄だったと主張された。^{[25]これらのプロジェクトは1} × 10を超える探索限界に達したが、¹⁷、どちらも持続可能な結果を​​報告しませんでした。

2020年、PrimeGridは、ヴィーフェリッヒ素数とウォール・サン・サン素数を同時に探索する別のプロジェクトを開始しました。この新しいプロジェクトでは、チェックサムを使用して各サブ区間を独立に二重チェックできるようにし、ハードウェアの故障によりインスタンスを見逃すリスクを最小限に抑えました。^[26]このプロジェクトは2022年12月に終了し、3番目のヴィーフェリッヒ素数は2 ⁶⁴（約18 × 10¹⁸）。 ^[27]

ウィルソン素数と同様に、ヴィーフェリッヒ素数は無限に存在し、x以下のヴィーフェリッヒ素数の数はおよそ log(log( x )) であると予想されている。これは、素数pに対して、 p 2を法とする( p  − 1) 次の 1 の累乗根がp ^{2 を}法とする整数の乗法群に均一に分布するというもっともらしい仮定から導かれる経験的な結果である^{。 [28]}

ヴィーフェリッヒ素数とフェルマーの最終定理を結びつける次の定理は、1909年にヴィーフェリッヒによって証明された。^[10]

p を素数とし、x、y、z をx ^p  +  y ^p  +  z ^p  = 0となる整数とします。さらに、p が積xyz を割り切れないとします。すると、p はヴィーフェリッヒ素数になります。 

上記のケース（pがx、y、zのいずれも割り切れない）は、一般にフェルマーの最終定理（FLTI）の最初のケースとして知られており^{[29] [30] 、素数}pに対してフェルマー方程式の解が存在する場合、 FLTIは成り立たないと言われ、そうでない場合は FLTI がpに対して成り立ちます。^[31] 1910 年に、ミリマノフは定理を拡張し^{[32] 、定理の前提条件が何らかの素数}pに対して成り立つ場合、p ^{2 は}3 ^{p  − 1}  − 1も割り切れる必要があることを示しました。グランビルとモナガンはさらに、p ^{2 は}m ≤ 89 のすべての素数に対してm ^{p  − 1}  − 1 を実際に割り切れることを証明しました。 ^[33]鈴木は証明を m ≤ 113 のすべての素数に拡張しました。 [ 34 ^]

H _{p を、} 1 を最大公約数とする整数のペアの集合とし、pはx、y、x + yと素であり、 ( x + y ) ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )、 ( x + ξy ) は、 ξがcos 2 π / p + i sin 2 π / pと定義されるKのイデアルのp乗とする。K = Q ( ξ​​ ) は、代数的数ξのすべての多項式を有理数体に付加することによって得られる体拡大である（このような拡大は数体、またはこの特定のケースでは、ξが1 の根、円分数体と呼ばれる）。^{[33] : 332} Q (ξ)におけるイデアルの因数分解の一意性 から、フェルマーの最終定理の最初のケースが解x、y、z を持つ場合、p はx + y + zを割り切り、 ( x、y )、 ( y、z )、 ( z、x ) はH _pの元であることがわかる。^{[33] : 333}グランビルとモナガンは、 p がヴィーフェリッヒ素数である場合に限り、 (1, 1) ∈ H _pであることを示した。^{[33] : 333}

非ヴィーフェリッヒ素数とは、 2 ^{p  − 1}  ≢ 1 (mod  p ² )を満たす素数pである。JH シルバーマンは1988 年に、abc予想が成り立つ場合、非ヴィーフェリッヒ素数が無限に存在することを示した。^[35]より正確には、abc予想は、 αのみに依存する定数が存在し、 pが変数 X 以下であるα を底とする非ヴィーフェリッヒ素数の数が、 Xが無限大に近づくにつれて log( X )より大きくなることを示している。 ^{[36] : 227}数値的証拠は、与えられた区間内の素数のうち、ヴィーフェリッヒ素数はごくわずかであることを示唆している。ヴィーフェリッヒ素数の集合と非ヴィーフェリッヒ素数の集合は、それぞれW 2_とW 2 _c^{と表記されることもある[37]}補集合であるため、一方が有限であることが示された場合、もう一方は必然的に無限でなければならない。後に、非ヴィーフェリッヒ素数が無限に存在することは、 ABC -( k , ε )予想と呼ばれるabc予想の弱いバージョンからすでに導かれることが示された。^[38]さらに、平方自由メルセンヌ数が無限に存在する場合^[39]や、集合 { n ∈ N  : λ(2 ⁿ − 1) < 2 − ξ } が密度1 となるような実数ξ が存在する場合にも、非ヴィーフェリッヒ素数が無限に存在することが導かれる。ここで、整数nの合成指数λ ( n ) はおよび と定義され、これはnのすべての素因数の積を与えることを意味する。^{[37] : 4} ${\displaystyle {\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}}$${\displaystyle \gamma (n)=\prod _{p\mid n}p}$${\displaystyle \gamma (n)}$

n番目のメルセンヌ数 M _n  = 2 ⁿ  − 1はnが素数の場合にのみ素数であることが知られています。フェルマーの小定理は、p  > 2が素数の場合、M _{p −1} (= 2 ^{p  − 1}  − 1)は常にpで割り切れることを意味します。素数指数 M _pとM _qのメルセンヌ数は互いに素であるため、

M _qの素因数p （ qは素数）は、 p ^{2 が}M _{q を}割り切れる場合にのみ、ヴィーフェリッヒ素数である。^[40]

したがって、メルセンヌ素数はヴィーフェリッヒ素数にもなり得ない。注目すべき未解決問題は、素数指数のメルセンヌ数がすべて平方自由であるかどうかを判断することである。q が素数であり、メルセンヌ数 M q が平方自由でない場合、つまりp ₂でM qを^{割り切れる}素数_pが存在する場合、pはヴィーフェリッヒ素数である。したがって、ヴィーフェリッヒ素数が有限個しかない場合、平方自由でない素数指数のメルセンヌ数はせいぜい有限個である。ロトキエヴィッチは関連する結果を示した。平方自由のメルセンヌ数が無限個ある場合、ヴィーフェリッヒ素数でない数も無限個ある。^[41]

同様に、pが素数であり、p2^がフェルマー数 Fn = 2 ^{2 n}  + 1_を 割り切る場合、pはヴィーフェリッヒ素数でなければならない。^[42]

実際、自然数nと素数p が存在し、それがp ²で割り切れるのは( はn番目の円分多項式) 、 p がWieferich 素数である場合に限ります。たとえば、1093 ^{2 は}を割り切れ、3511 ^{2 は}を割り切れます。メルセンヌ数とフェルマー数は の特殊な状況にすぎません。したがって、1093 と 3511 が 2 つの Wieferich 素数である場合、およびを除いてすべては平方数ではありません(実際、p ²で何らかの を割り切れる素数p が存在する場合、それは Wieferich 素数です)。また、が素数である場合、それは Wieferich 素数にはなり得ないことは明らかです。 (任意の奇数の素数p は1 のみを割り切り、n はp  − 1を割り切ります。また、 2 進法での 1/p の周期の長さがnである場合にのみ、p はを割り切ります。さらに、p がヴィーフェリッヒ素数である場合にのみ、 1/p と 1/p ²の周期の長さは同じです (2 進法)。それ以外の場合は、これはその p倍です。)${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(x)}$ ${\displaystyle \ファイ _{364}(2)}$${\displaystyle \Phi _{1755}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \ファイ _{364}(2)}$${\displaystyle \Phi _{1755}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$${\displaystyle \Phi_{n}(2)}$

素数1093と3511については、364と1755が素数でも2の累乗でもないため、どちらも素数指数を持つメルセンヌ数の約数でもフェルマー数の約数でもないことが示された。^[43]

スコットとスタイアーは、方程式p ^x – 2 ^y = d は、正の整数 ( x、y )に最大で 1 つの解を持つが、 p ≢ 65 (mod 192) の場合にp ⁴ | 2 ^{ord _p 2} – 1 のとき、または無条件にp ² | 2 ^{ord _p 2} – 1 のときは、ord _p 2は 2 を法としてp を除いた乗法順序を表すことを示した。^{[44] : 215, 217–218}また、方程式 ± a ^{x ₁} ± 2 ^{y ₁} = ± a ^{x ₂} ± 2 ^{y ₂} = cの解は特定の方程式セットから得られるが、aが 1.25 x 10 ¹⁵より大きいヴィーフェリッヒ素数の場合は、この限りではないことも示した。^{[45] : 258}

ジョンソンは^{、 2つの既知のヴィーフェリッヒ素数は周期的な}2進数展開を持つ数より1大きいことを観察した（1092 = 010001000100 ₂ =444 ₁₆ ; 3510 = 110110110110 ₂ =6666 ₈）。Wieferich@Homeプロジェクトは、周期的な2進数展開を持つ数より1大きい数をテストすることでヴィーフェリッヒ素数を探したが、最大24ビット長のビット文字列の組み合わせによって生成されたテストされた2進数の「ビット疑似長」3500までで、新しいヴィーフェリッヒ素数は見つからなかった。^[47]

既知のヴィーフェリッヒ素数は相互に友好的な数（共有豊富さ指数は 112/39） より 1 大きいことが指摘されています（OEISのシーケンスA239875 ）。

2つの既知のヴィーフェリッヒ素数は、25 × 10までのすべての非平方自由基数2フェルマー擬素数の平方因数であることが観察された。⁹ . ^{[48]その後の計算により、 1012}までの擬素数の重複因数は1093と3511だけである^{ことが示されました。[49]}さらに、次の関係が存在します。

n を底 2 の擬素数、p をnの素因数とする。 ならばでもある。^{[31] : 378}さらに、pがヴィーフェリッヒ素数ならば、p ^{2 は}カタラン擬素数である。${\displaystyle {\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}}$

100000までのすべての素数pについて、L ( p ^{n +1} ) = L ( p ⁿ )となるのは、次の2 つの場合のみです。L (1093 ² ) = L (1093) = 364およびL (3511 ² ) = L (3511) = 1755。ここで、L ( m )は、 mを法とする倍加図の 1 のサイクル内の頂点の数です。ここで、倍加図は、 m未満の非負整数を頂点とし、各頂点xから頂点 2 xに向かう有向辺をmを法として減じた有向グラフを表します。^{[50] : 74}すべての奇数の素数について、L ( p ^{n +1} ) = p · L ( p ⁿ )またはL ( p ^{n +1} ) = L ( p ⁿ )のいずれかであることが示されました。^{[50] : 75}

2 ^{p  − 1}  ≢ 1 (mod  p ² )のときかつそのときに限り、かつとなることが示された。ここでp は奇素数であり、は虚二次体の基本判別式である。さらに、次のことが示された。p をヴィーフェリッヒ素数とする。もしp ≡ 3 (mod 4)ならば、は虚二次体の基本判別式とし、もしp ≡ 1 (mod 4)ならば、は虚二次体の基本判別式とする。すると、かつとなる（この文脈におけるχとλ は岩沢不変量を表す）。^{[51] : 27}${\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}$${\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}$${\displaystyle D_{0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}}$${\displaystyle D_{0}$${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )}}$${\displaystyle D_{0}$${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}}$${\displaystyle \chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1}$${\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1}$

さらに、次の結果が得られました。q を奇数の素数、kとpをp = 2 k + 1、 k ≡ 3 (mod 4)、 p ≡ −1 (mod q )、 p ≢ −1 (mod q ³ )を満たす素数とし、 kを法とするqの位数は です。q が、実円分体 の類数 h + を割り切ると仮定します。円分体は、^有理数体にp乗根とその逆数の和を付加することで得られます。このとき、q はWieferich 素数です。^{[52] : 55}これはまた、条件p ≡ −1 (mod q )およびp ≢ −1 (mod q ³ )をp ≡ −3 (mod q )およびp ≢ −3 (mod q ³ )に置き換えた場合にも成立し、条件p ≡ −1 (mod q )をp ≡ −5 (mod q )に置き換えた場合（この場合qはWall-Sun-Sun 素数）、不一致条件をp ≢ −5 (mod q ³ )に置き換えた場合にも成立します。^{[53] : 376}${\displaystyle {\tfrac {k-1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}}$

^{2 ( p −1)/2} ≡ ±1 +  Ap (mod p ² ) という合同式を満たす素数p は、一般に近似ヴィーフェリッヒ素数( OEISのシーケンスA195988 )と呼ばれます。 ^{[28] [54]} A = 0の近似ヴィーフェリッヒ素数はヴィーフェリッヒ素数を表します。最近の検索では、ヴィーフェリッヒ素数の主な検索に加えて、近似ヴィーフェリッヒ素数も検索しようとしました。^[23] [ ^55]次の表は、区間 [1 × 10 ⁹ , 3 × 10¹⁵ ]。 ^[56]この検索範囲は、2006年にP. Carlisle、R. Crandall、M. Rodenkirchによる検索で達成されました。 ^{[22] [57]}より大きなエントリはPrimeGridによるものです。

上記の符号 +1 または -1 は、オイラーの基準(および二次の相互法則の 2 番目の補足) によって簡単に予測できます。

DoraisとKlyve ^[23]は、近似ヴィーフェリッヒ素数の異なる定義を使用し、の値が小さい素数pとして定義しました。ここで、 はpを法とした2のpに関するフェルマー商です（ここでのモジュロ演算は、絶対値が最小の剰余を与えます）。次の表は、を満たすp ≤ 6.7 × 10 ¹⁵のすべての素数を示しています。 ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|}$${\displaystyle \omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p}$${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}}$

近さの 2 つの概念は次のように関連しています。 の場合、2 乗すると、明らかにになります。したがって、が小さいで選択された場合、明らかにも (非常に) 小さく、偶数になります。ただし、上記の が奇数のとき、最後の 2 乗前の関連するAは「小さい」ものではありませんでした。たとえば、 の場合、 は非常に非近くであると読み取れますが、これを 2 乗すると になり、2 番目の定義により、これは近 Wieferich になります。 ${\displaystyle 2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle |\!\pm 2A|=2|A|}$${\displaystyle \omega (p)}$${\displaystyle p=3167939147662997}$${\displaystyle 2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}}$${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1-17p{\pmod {p^{2}}}}$

ヴィーフェリッヒ素数基数aは、次を満たす 素数pである。

a ^{p  − 1}  ≡ 1 (mod  p ² )、 ^[8]でaはpより小さいが1より大きい。

このような素数はを割り切ることができません。なぜなら、その場合 1 も割り切れてしまうからです。

これは、あらゆる自然数aに対して、 a を底とするヴィーフェリッヒ素数が無限に存在するという予想です。

Bolyai は、 pとqが素数の場合、a はpとqで割り切れない正の整数で、a ^{p −1} ≡ 1 (mod q )、a ^{q −1} ≡ 1 (mod p )、a ^{pq −1} ≡ 1 (mod pq )となることを示した。p = qとすると、 a ^{p 2 −1} ≡ 1 (mod p ² )となる。^{[58] : 284} a ^{p 2 −1} ≡ 1 (mod p ² )は、 a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )のときのみであることが示された。^{[58] : 285–286}

小さなaの値に対するa ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )の既知の解は以下である: ^{[59] (5 × 10 13}まで確認済み)

詳細については、^{[60] [61] [62]および[63]}を参照してください。 （ a = b ^kの解は、bを割り切れないkの素因数とa = bの解の和集合であることに注意）

n ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )の最小解は

2、1093、11、1093、2、66161、5、3、2、3、71、2693、2、29、29131、1093、2、5、3、281、2、13、13、5、2、3、11、3、2、7、7、5、2、46145917691、3、66161、2、17、8039、11、2、23、5、3、2、3、...（次の項> 4.9×10 13 ）（OEISの^{シーケンス}A039951）

n = 47、72、186、187、200、203、222、231、304、311、335、355、435、454、546、554、610、639、662、760、772、798、808、812、858、860、871、983、986、1002、1023、1130、1136、1138、... に対してn ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )の既知の解は存在しません。

あらゆる自然数aに対して、 a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )の解が無限に存在するという予想がある。

pがヴィーフェリッヒ素数である基底b < p ^2は（ b > p ²の場合、解はk > 0の場合k · p ²だけシフトされる）、pのp ²未満の解はp  − 1 個あり、 pと合同な解の集合は{1, 2, 3, ..., p  − 1} である） （ OEISのシーケンスA143548）

素数( n )がヴィーフェリッヒ素数となる 最小の基数b > 1は

5、8、7、18、3、19、38、28、28、14、115、18、51、19、53、338、53、264、143、11、306、31、99、184、53、 181、43、164、 96、68、38、58、19、328、313、78、226、65、253、259、532、78、176、276、143、174、165、69、330、44、33、332、94、 263、 48、79、 171、747、731、20、...（OEISの配列A039678）

また、式 を考えることもできます(一般化されたフェルマーの小定理により、 はすべての素数pと、 aとa  + 1の両方がpで割り切れないすべての自然数aに対して成り立ちます)。これは、すべての自然数aに対して、 となる素数が無限に存在するという推測です。 ${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$${\displaystyle (a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

小さいaに対する既知の解は以下の通りである: (4 × 10 ¹¹まで確認済み) ^[64]

ヴィーフェリッヒペアとは、pとqの素数のペアで、

p ^{q − 1} ≡ 1 (mod q ² ) かつq ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² )

したがって、ヴィーフェリッヒ素数p≡1（mod 4）はそのようなペア（p、2）を形成する。この場合の唯一の既知の例はp  = 1093である。ヴィーフェリッヒペアは7つしか知られていない。^[65]

(2, 1093)、(3, 1006003)、(5, 1645333507)、(5, 188748146801)、(83, 4871)、(911, 318917)、(2903, 18787) (シーケンスOEIS : OEISのA282293 )

a(1) を任意の自然数 (>1) として、a( n ) は (a( n −1)) ^{p −1} =1 (mod p2 )となる最小の素数pであるが、 p2^はa( n −1)−1 または a( n −1)+1 を割り切れない。( p2^がa ( n −1)−1 または a( n −1)+1 を割り切れる場合、解は自明である。) すべての自然数k = a(1)>1 により、この数列は周期的になるという予想がある。たとえば、a(1) = 2 とする。

2、1093、5、20771、18043、5、20771、18043、5、...、循環します: {5、20771、18043}。

（OEISの配列A359952）

a(1) = 83とします。

83、4871、83、4871、83、4871、83、...、循環します: {83、4871}。

a(1) = 59（より長いシーケンス）とします。

59、2777、133287067、13、863、7、5、20771、18043、5、…、これも5になります。

しかし、a(1)の状態が不明な値は多数存在します。例えば、a(1) = 3とします。

3、11、71、47、？（47を底とするヴィーフェリッヒ素数は知られていない）。

a(1) = 14とします。

14、29、？（29を底とするヴィーフェリッヒ素数は2以外には知られていないが、2 ² = 4は29 − 1 = 28を割り切る）

a(1) = 39（より長いシーケンス）とします。

39、8039、617、101、1050139、29、？（29も取得します）

結果として得られるシーケンスが最終的に周期的にならないようなa(1) > 1の値が存在するかどうかは不明です。

a( n − 1)= kのとき、a( n ) は ( k = 2から開始) 次のように表されます: 1093、11、1093、20771、66161、5、1093、11、487、71、2693、863、29、29131、1093、46021、5、7、281、?、13、13、25633、20771、71、11、19、?、7、7、5、233、46145917691、1613、66161、77867、17、8039、11、29、23、5、229、 1283、829、?、257、491531、?、...（k = 21、29、47、50の場合、次の値も不明）

ヴィーフェリッヒ数は、合同性 2 ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ² ) を満たす奇数の自然数nです。ここで、φ はオイラーのトーティエント関数を表します(オイラーの定理によれば、すべての奇数の自然数nに対して2 ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ) です)。ヴィーフェリッヒ数nが素数である場合、それはヴィーフェリッヒ素数です。最初のいくつかのヴィーフェリッヒ数は次のとおりです。

1、1093、3279、3511、7651、10533、14209、17555、22953、31599、42627、45643、52665、68859、94797、99463、...（OEISの配列A077816）

ヴィーフェリッヒ素数が有限個しかない場合、ヴィーフェリッヒ数も有限個しかないことが示されます。特に、ヴィーフェリッヒ素数が1093と3511だけである場合、正確に104個のヴィーフェリッヒ数が存在し、これは現在知られているヴィーフェリッヒ数の数と一致します。^[2]

より一般的には、自然数nがaを基底とするヴィーフェリッヒ数 であるとは、a ^{φ ( n )} ≡ 1 (mod n ² )であるときである。^{[66] : 31}

別の定義では、ヴィーフェリッヒ数は奇数の自然数nでnとが互いに素でない数と定義され、mはnを法とする2の乗法順序である。これらの数の最初のものは次の通りである: ^[67]${\displaystyle {\tfrac {2^{m}-1}{n}}}$

21、39、55、57、105、111、147、155、165、171、183、195、201、203、205、219、231、237、253、273、285、291、301、305、309、327、333、355、357、385、399、...（OEISの配列A182297）

上記のように、ヴィーフェリッヒ数qが素数であれば、それはヴィーフェリッヒ素数です。

aを底とする弱ヴィーフェリッヒ素数は素数pであり、条件を満たす。

p ≡ a ⁽ mod p ² )

a を底とするすべての Wieferich 素数は、 a を底とする弱い Wieferich 素数でもあります。aが平方数でない場合、素数p がaを底とする弱い Wieferich 素数となるのは、 p がa を底とする Wieferich 素数である場合に限ります。

nを底とする最小の弱ヴィーフェリッヒ素数は（n = 0から始まる）

2、2、1093、11、2、2、66161、5、2、2、3、71、2、2、29、29131、2、2、3、3、2、2、13、13、2、 2、3、3、2、2、7、7、2、 2、46145917691、3、2、2、17、8039、2、2、23、5、2、2、3、...

整数n ≥ 2に対して、 aを基数とするn次のヴィーフェリッヒ素数は素数pであり、条件を満たす。

p ⁻¹ ≡ 1 ( ^p n^を法として)

明らかに、 n次でa を底とする Wieferich 素数は、2 ≤ m ≤ nのすべてに対して、 m 次で a を底とする Wieferich 素数でもあります。また、 2 次で a を底とする Wieferich 素数は、aを底とする Wieferich 素数と同等であるため、 n ≥ 3 の場合のみを検討できます。ただし、 2 次で 3 次となる既知の Wieferich 素数はありません。 3 次で既知の Wieferich 素数を持つ最初の底は 9 で、2 は 9 次で 3 次となる Wieferich 素数です。さらに、 5 と 113 はどちらも 68 次で 3 次となる Wieferich 素数です。

PとQを整数とする。ペア( P , Q )に関連する第一種ルーカス列は 次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\end{aligned}}}$

すべての に対して成り立つ。( P , Q ) に関連付けられたルーカス・ヴィーフェリッヒ素数は、U _{p − ε} ( P , Q ) ≡ 0 (mod p ² ) を満たす素数pである。ここでε はルジャンドル記号に等しい。すべてのヴィーフェリッヒ素数は、ペア (3, 2) に関連付けられたルーカス・ヴィーフェリッヒ素数である。^{[3] : 2088}${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)}$

K を大域体、すなわち有限体上の 1 変数の数体または関数体とし、E を楕円曲線とする。vがKのノルムq vの非_{アルキメデス}的位置でa ∈ K で v (a) = 0 のとき、v ( a q v − 1 ^{− ₁  )}  ≥ 1である。vは、 v (a ^{q _v  − 1}  − 1) > 1 のとき基数aのWieferich 位置と呼ばれ、N _v P ∈ E ₂のとき基数P ∈ Eの楕円 Wieferich 位置と呼ばれ、n _v P ∈ E ₂のとき基数P ∈ Eの強楕円 Wieferich 位置と呼ばれる。ここでn _{v は}v を法とするPの位数であり、N _{v は}vにおけるEの縮約の有理点の数( vの留数体上) を表す。^{[68] : 206}

• ウォール・サン・サン素数- 最も広い意味ではFLTの研究から生まれた別の種類の素数
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• 合同表– 素数が満たす他の合同を一覧表示します
• PrimeGrid – 素数検索プロジェクト
• ボインク
• 分散コンピューティング

• Haussner, R. (1926)、「Über die Kongruenzen 2p−1 − 1 ≡ 0 (mod p2) für die Primzahlen p=1093 und 3511」、Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (ドイツ語)、39 (5​​): 7、JFM  52.0141.06、DNB 363953469
• Haussner, R. (1927)、「Über numerische Lösungen der Kongruenz up−1 − 1 ≡ 0 (mod p2)」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1927 (156): 223–226、doi :10.1515/crll.1927.156.223、S2CID  117969297
• リベンボイム、P. (1979)、フェルマーの最終定理に関する13の講義、シュプリンガー・フェアラーク、pp. 139、151、ISBN 978-0-387-90432-0
• ガイ、リチャード K. (2004)、数論における未解決問題(第 3 版)、Springer Verlag、p. 14、ISBN 978-0-387-20860-2
• Crandall, RE; Pomerance, C. (2005)、素数：計算上の観点（PDF）、Springer Science+Business Media、pp. 31–32、ISBN 978-0-387-25282-7
• リベンボイム、P. (1996)、素数記録の新書、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. 333–346、ISBN 978-0-387-94457-9

• ワイスタイン、エリック・W.「ヴィーフェリヒ全盛期」。マスワールド。
• 任意の k を持つフェルマー/オイラー商 (ap−1 − 1)/pk
• 2つの既知のヴィーフェリッヒ素数に関する注記
• PrimeGrid の Wieferich Prime Search プロジェクト ページ