カレン数

数学 において、カレン数は整数列 ( は自然数)の要素です。カレン数は 1905 年にJames Cullenによって初めて研究されました。この数はProth 数の特殊なケースです。 ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$${\displaystyle n}$

1976 年にクリストファー・フーリーは、C _nが素数となる正の整数の自然密度はに対してo ( x )のオーダーであることを示した。その意味では、ほとんどすべてのカレン数は合成数である。^{[1]フーリーの証明は須山弘美によって書き直され、} aとbが整数である任意の数列n ·2 ^{n + a} + b に対して有効であることが示され、特にウッドオール数に対しても有効であることが示された。カレン素数として知られているのは、 n が次の値に等しいものだけである。 ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle x\to \infty }$

1、141、4713、5795、6611、18496、32292、32469、59656、90825、262419、361275、481899、1354828、6328548、6679881（OEISの配列A005849）。

それでも、カレン素数は無限に存在すると 推測されます。

カレン数C _{n は}、 p が8 k  − 3 の形式の素数である場合にp  = 2 n  − 1で割り切れます。さらに、フェルマーの小定理から、 p が奇数の素数である場合、各m ( k ) = (2 ^k  −  k ) ( p  − 1) −  k ( k > 0)についてp はC _{m ( k )}を割り切れること がわかります。また、ヤコビ記号(2 | p ) が -1のときに素数p はC _{( p  + 1)/2 を}割り切れること、ヤコビ記号(2 |  p ) が + 1のときに p はC _{(3 p} − 1  _)/2を割り切れることも示されています。

C _pも素数となるような素数p が存在するかどうかは不明です。

C _pは再帰関係に従う

${\displaystyle C_{p}=4(C_{p-1}+C_{p-2})+1}$。

一般化されたカレン数基数b は、n · b ⁿ + 1 （n  + 2 >  b ）の形式で表される数として定義されることがあります。素数がこの形式で表せる場合、それは一般化されたカレン素数と呼ばれます。ウッドオール数は、第二種カレン数と呼ばれることもあります。^[2]

2021年10月現在、最大の一般化カレン素数は2525532·73 ^2525532  + 1である。これは4,705,888桁あり、PrimeGridの参加者であるトム・グリアによって発見された。^{[3] [4]}

フェルマーの小定理によれば、n がp − 1で割り切れ、 n + 1 がpで割り切れる( 特にn = p − 1のとき)ような素数pが存在し、p がb を割り切れない場合、b ^{n は}1 mod pに合同でなければなりません( b ^{n は}b ^{p − 1}の累乗であり、b ^{p − 1 は1 mod} pに合同であるため)。 したがって、n · b ⁿ + 1 はpで割り切れるため、素数ではありません。 たとえば、 2 mod 6 に合同なn ( つまり 2、8、14、20、26、32、...) がある場合、n · b ⁿ + 1 が素数であるため、b は3 で割り切れなければなりません ( b = 1を除く)。

n · b ⁿ + 1が素数となる最小のn（この項が現在不明な場合は疑問符を付ける）は^{[5] [6]}

1、1、2、1、1242、1、34、5、2、1、10、1、?、3、8、1、19650、1、6460、3、2、1、4330、2、2805222、 117、2、1、?、1、 82960、5、2、25、304、1、36、3、368、1、1806676、1、390、53、2、1、?、3、?、9665、62、1、1341174、3、?、 1072、234、1、 220、1、 142、1295、8、3、16990、1、474、129897、?、1、13948、1、?、3、2、1161、12198、1、682156、5、350、1、1242、26、186、 3、2、1、298、14、101670、9、2、775、202、1、1374、63、2、1、...（OEISの配列A240234）

• カレン、ジェームズ（1905年12月）、「質問15897」、Educ. Times：534。
• ガイ、リチャード K. (2004)、数論における未解決問題(第 3 版)、ニューヨーク:シュプリンガー出版、セクション B20、ISBN 0-387-20860-7、Zbl  1058.11001。
• フーリー、クリストファー（1976）、篩法の応用、ケンブリッジ数学論文集、第70巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 115-119、ISBN 0-521-20915-3、ZBL  0327.10044。
• ケラー、ウィルフリッド (1995)、「新しいカレン素数」(PDF)、計算数学、64 (212): 1733–1741、S39–S46、doi : 10.2307/2153382、ISSN  0025-5718、JSTOR  2153382、Zbl  0851.11003。

• クリス・コールドウェル、The Top Twenty: Cullen primes at The Prime Pages。
• The Prime 用語集: The Prime Pages の Cullen 数。
• クリス・コールドウェル、「The Top Twenty: Generalized Cullen」、The Prime Pages にて。
• ワイスタイン、エリック・W.「カレン番号」。マスワールド。
• カレンプライム：定義とステータス（古い）、カレンプライム検索は現在PrimeGridでホストされています
• ポール・レイランド、（一般化された）カレンとウッドオールの数