オンライン整数列百科事典

ゼロは、存在しない数列要素を表すためによく使用されます。たとえば、A104157は、「最小の魔方陣定数を持つn × n魔方陣を形成するn^個の連続する素数の最小の素数、またはそのような魔方陣が存在しない場合は 0」を列挙します。a ( 1) (1 × 1 魔方陣)の値は2 です。a ( 3) は 1480028129 です。しかし、そのような 2 × 2 魔方陣は存在しないため、a (2) は 0 です。この特別な使用法は、特定の計数関数に確固たる数学的根拠があります。たとえば、トーシェント価関数N _φ ( m ) ( A014197 ) は、φ( x ) = mの解を数えます。4 には 4 つの解がありますが、14 には解がないため、 A014197 のa (14) は 0 です。

他の値も使用されますが、最も一般的なのは -1 です ( A000230またはA094076 を参照)。

OEIS はシーケンスの辞書順を維持するため、各シーケンスには先行シーケンスと後続シーケンス (その「コンテキスト」) があります。 ^{[ 18 ]} OEIS は、辞書順のためにシーケンスを正規化し、(通常) すべての先頭のゼロとイチ、および各要素の符号を無視します。重み分布コードのシーケンスでは、周期的に繰り返されるゼロが省略されることがよくあります。

例えば、素数、回文素数、フィボナッチ数列、怠け者のケータリング数列、および級数展開の係数を考えてみましょう。${\displaystyle \textstyle {{\ゼータ (n+2)} \over {\ゼータ (n)}}}$OEISの辞書順では、以下の通りです。

• シーケンス #1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... A000040
• シーケンス #2: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, ... A002385
• シーケンス #3: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ... A000045
• シーケンス番号4：1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92、106、121、137、154、... A000124
• シーケンス #5: 1、−3、−8、−3、−24、24、−48、−3、−8、72、−120、24、−168、144、... A046970

一方、正規化されていない辞書式順序では、これらのシーケンスは次のように順序付けられます: #3、#5、#4、#1、#2。

ID番号

OEIS のすべてのシーケンスにはシリアル番号が付与されています。シリアル番号は 6 桁の正の整数で、A が接頭辞として付きます (2004 年 11 月以前は左側がゼロ埋めされていました)。文字「A」は「絶対値」を意味します。番号は編集者または A 番号ディスペンサーによって割り当てられます。ディスペンサーは、投稿者が複数の関連シーケンスを一度に送信し、相互参照を作成したい場合に便利です。ディスペンサーから発行された A 番号は、使用されない場合、発行日から 1 か月で失効します。しかし、任意に選択されたシーケンスの次の表が示すように、おおまかな対応関係は成り立ちます。

OEISの前身となる書籍に掲載されている数列についても、ID番号は同じではありません。1973年版の「整数列ハンドブック」には約2400の数列が掲載されており、辞書式順序（文字Nに4桁の数字を付加し、必要に応じてゼロ埋め）で番号が付けられていました。一方、1995年版の「整数列百科事典」には5487の数列が掲載されており、こちらも辞書式順序（文字Mに4桁の数字を付加し、必要に応じてゼロ埋め）で番号が付けられていました。これらの古いM番号とN番号は、該当する場合、現代のA番号の後に括弧で囲まれてID番号欄に記載されています。

配列データ

シーケンスフィールドには、約 260 文字までの数値自体がリストされます。^{[ 21 ]}シーケンスのより多くの項は、いわゆる B ファイルで提供できます。^{[ 22 ]}シーケンスフィールドは、有限だが表示するには長すぎるシーケンスと無限のシーケンスを区別しません。代わりに、キーワード「fini」、「full」、「more」を使用して、そのようなシーケンスを区別します。指定された値がどのnに対応するかを判断するには、オフセット フィールドを参照してください。オフセット フィールドには、指定された最初の項のnが表示されます。

名前

名前フィールドには通常、数列の最も一般的な名前が記述され、場合によっては数式も記述されます。例えば、1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, ( A000578 ) は「立方数：a(n) = n^3」という名前になります。

コメント

コメント欄は、他のどの欄にも当てはまらない数列に関する情報を記入するためのものです。コメント欄では、異なる数列間の興味深い関係や、数列のあまり知られていない応用例が指摘されることがよくあります。例えば、Lekraj Beedassy は A000578 へのコメントで、立方数には「三角形内でセビアンを交差させて、その2辺がそれぞれn分割されるようにしてできる三角形の総数」も含まれると指摘しています。また、Neil Sloane は A003215 へのコメントで、中心六角数( A003215 ) と第 2 次ベッセル多項式( A001498 )の間の予期せぬ関係を指摘しています。

参考文献

印刷された文書（書籍、論文など）への言及。

リンク

オンラインリソースへのリンク（URL）。これらは以下のとおりです。

1. 関連する学術誌の記事への参照
2. インデックスへのリンク
3. メインデータベースの行よりも広範囲のインデックスにわたるシーケンス用語（2列形式）を格納したテキストファイルへのリンク
4. ローカルデータベースディレクトリ内の画像へのリンク。これらの画像は、グラフ理論に関連する組み合わせ論的背景情報を提供することが多い。
5. その他、コンピュータコードに関連するもの、個人または研究グループによって提供される特定の研究分野におけるより詳細な表など

式

数列に関する公式、漸化式、母関数など。

例

シーケンスメンバーの値の例をいくつか示します。

カエデ

メープルシロップのコード。

マセマティカ

Wolfram言語コード。

プログラム

当初、OEISにおける数列計算にはMapleとMathematicaが好んで用いられており、それぞれ独自のフィールドラベルが付けられていた。 2016年現在Mathematicaが最も人気が高く、10万件のMathematicaプログラムが続き、次いでPARI/GPプログラムが5万件、Mapleプログラムが3万5千件、その他の言語によるプログラムが4万5千件でした。

記録の他の部分と同様に、名前が記載されていない場合は、その貢献（ここではプログラム）は、シーケンスの最初の提出者によって作成されたものです。

相互参照

元の提出者によって作成された配列相互参照は、通常「Cf.」で示されます。

新しいシーケンスを除き、「参照」フィールドには、シーケンスの辞書順（その「コンテキスト」）に関する情報も含まれており、A番号が近いシーケンス（この例ではA046967、A046968、A046969、A046971、A046972、A046973）へのリンクが提供されています。次の表は、この例のシーケンスA046970のコンテキストを示しています。

キーワード

OEISには独自の語彙集があります。これは、各シーケンスを特徴付ける、主に4文字のキーワードの標準セットです。 ^{[ 23 ]}

• 割り当て済み– ユーザーのために確保されたA番号だが、そのエントリはまだ承認されていない（そしておそらくまだ入力されていない）。
• 基数– 計算結果は特定の位置基数に依存します。たとえば、2、3、5、7、11、101、131、151、181 ... A002385は基数に関係なく素数ですが、特に基数 10 では回文数になります。これらのほとんどは、2 進数では回文数になりません。一部のシーケンスは、定義方法に応じてこのキーワードを評価します。たとえば、メルセンヌ素数3、7、31、127、8191、131071、... A000668 は、「2^n − 1 の形の素数」として定義すると、「基数」の評価を受けません。しかし、「2 進数のレピュニット素数」として定義すると、このシーケンスはキーワード「基数」の評価を受けます。
• bref – 「シーケンスが短すぎて分析できません」、例えばA079243 、 n位の集合上の結合的非可換非反結合的反可換閉二項演算の同型クラスの数。
• 変更済み過去2週間でシーケンスが変更されました。
• cofr – この数列は連分数を表します。例えば、 e ( A003417 ) や π ( A001203 )の連分数展開などです。
• 欠点– この数列は、 e ( A001113 ) や π ( A000796 )などの数学定数の小数展開です。
• コア– 素数 ( A000040 )、フィボナッチ数列 ( A000045 ) など、数学の分野の基礎となる重要な数列。
• dead – このキーワードは、論文や書籍に掲載された誤った配列、または既存の配列の重複に対して使用されます。たとえば、A088552はA000668と同じです。
• 愚かな– より主観的なキーワードの 1 つです。「重要でないシーケンス」を意味し、大衆文化の参照、インターネット パズルからの任意のシーケンス、数字キーパッド入力に関連するシーケンスなど、数学に直接関係する場合もそうでない場合もあります。A001355 、「円周率と e の数字を混ぜる」は重要性の低さの一例であり、A085808 、「プライス イズ ライト ホイール」（米国のゲーム番組「ザ・プライス イズライト」で使用されるショーケース ショーダウンホイールの数字のシーケンス）は、主に雑学目的で保持されている、数学とは関係のないシーケンスの一例です。^{[ 24 ]}
• 簡単– 数列の項は簡単に計算できます。おそらくこのキーワードに最もふさわしい数列は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... A000027でしょう。この数列では、各項は前の項より 1 大きくなります。キーワード「簡単」は、f ( m ) が簡単に計算できる関数である「 f ( m ) の形の素数」の数列にも付けられることがあります。（ただし、mが大きい場合f ( m ) の計算が簡単であっても、 f ( m ) が素数かどうかを判断するのは非常に難しい場合があります。）
• 固有値–固有値の列。
• fini – 数列は有限ですが、表示できる数よりも多くの項が含まれている可能性があります。たとえば、A105417の数列フィールドには全項の約 4 分の 1 しか表示されていませんが、コメントには最後の項が 3888 であると記されています。
• frac –有理数を表す分数の列の分子または分母のいずれかの列。このキーワードを持つすべての列は、対応する分子または分母の列と相互参照する必要がありますが、A069257のようなエジプト分数の列の場合は、分子の列がA000012となるため、この相互参照は省略できます。このキーワードは、連分数の列には使用しないでください。その場合は、代わりに cofr を使用してください。
• full – シーケンスフィールドには、完全なシーケンスが表示されます。シーケンスにキーワード「full」が指定されている場合は、キーワード「fini」も指定する必要があります。完全な有限シーケンスの一例として、超特異素数A002267があり、これは正確に 15 個存在します。
• 難しい– 数列の項は、たとえ高度な計算能力を用いても容易には計算できません。このキーワードは、「同じ大きさのn個の球が互いに接することができる数はいくつあるか？」といった未解決問題に対応する数列に対して最もよく使用されます。A001116には、既知の最初の 10 個の解がリストされています。
• hear – 「特に興味深い、または美しい」とみなされるグラフオーディオのシーケンス。いくつかの例はOEIS サイトに集められています。
• less – 「あまり面白くないシーケンス」。
• 見る– 「特に興味深い、または美しい」とみなされるグラフビジュアルを含むシーケンス。数千例のうちの2例はA331124、A347347です。
• 続き– 数列の項をさらに追加してください。読者の皆様から追加案を投稿いただけます。
• mult – この数列は乗法関数に対応します。項a (1) は 1 である必要があり、mとnが互いに素である場合、項a ( mn ) はa ( m ) にa ( n )を掛けることで計算できます。たとえば、A046970では、a (12) = a (3) 、a (4) = −8 × −3 です。
• 新規– 過去数週間以内に追加された配列、または最近大幅な拡張が行われた配列に使用します。このキーワードは、新規配列を送信するためのWebフォームにはチェックボックスとして表示されません。Sloaneのプログラムは、該当する場合にデフォルトで追加します。
• 素晴らしい– おそらく最も主観的なキーワードで、「非常に素晴らしいシーケンス」を表す。
• nonn – 数列は非負の整数で構成されます（ゼロを含む場合があります）。選択されたオフセットによってのみ非負の数で構成される数列（例：n ³、立方数。n = 0 以降はすべて非負です）と、定義上完全に非負である数列（例：n ²、平方数）は区別されません。
• obsc – このシーケンスは不明瞭であると考えられており、より明確な定義が必要です。
• リサイクル– 編集者たちが、新たに提案されたシーケンスをOEISに追加する価値がないと判断した場合、編集者は該当項目を空白にし、キーワード行のみを残して「keyword:recycled」と表示します。その後、そのA番号は別の新しいシーケンスの割り当てに使用できるようになります。
• 符号– シーケンスの値の一部（またはすべて）が負の値です。エントリには、符号を示す「符号付き」フィールドと、絶対値関数を通過したすべての値で構成される「シーケンス」フィールドの両方が含まれます。
• tabf – 「行ごとに読み取ることで数列となる、不規則な（または奇妙な形の）数値配列。」例えば、A071031、「行ごとに読み取られる三角形で、ルール62によって生成されたセルオートマトンの状態を連続的に示す。」
• 表– 三角形や正方形などの幾何学的な数字の配置を、行ごとに読み取ることによって得られる数列。典型的な例は、行ごとに読み取ったパスカルの三角形（ A007318）です。
• uned – この配列は編集されていませんが、OEISに含める価値があるかもしれません。この配列には計算ミスや誤植が含まれている可能性があります。投稿者の皆様には、これらの配列を編集していただくことをお勧めします。
• unkn – その数列については「ほとんど何もわかっていない」。それを生成する数式さえもわかっていない。例えば、インターネットオラクルに検討を依頼したA072036など。
• 歩行– 「歩行回数（または自己回避経路）をカウントします。」
• 単語– 特定の言語の単語によって異なります。たとえば、zero、one、two、three、four、fiveなどです。たとえば、4、3、3、5、4、4、3、5、5、4、3、6、6、8、8、7、7、9、8、8 ... A005589 、「 nの英語名の文字数（スペースとハイフンを除く）」。

いくつかのキーワードは相互に排他的です。具体的には、coreとdumb、easyとhard、fullとmore、lessとnice、nonnとsignなどです。

オフセット

オフセットは、最初に与えられた項のインデックスです。数列によっては、オフセットが明らかです。たとえば、平方数の数列を 0, 1, 4, 9, 16, 25 ... とリストすると、オフセットは 0 になります。一方、1, 4, 9, 16, 25 ... とリストすると、オフセットは 1 になります。デフォルトのオフセットは 0 であり、OEIS のほとんどの数列のオフセットは 0 または 1 です。最小行和を持つ素数エントリ (1 を素数とみなす) を持つn × n魔方陣の魔法定数である数列A073502は、オフセットが 3 の数列の例であり、 A072171「視等級nの星の数」は、オフセットが -1 の数列の例です。数列の最初の項が何であるか、そしてそれに応じてオフセットが何であるべきかについて意見の相違が生じる場合があります。怠惰なケータリング業者のシーケンスの場合、 n回でパンケーキを何切れにできるかという最大数について、OEIS では 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ... A000124というシーケンスがオフセット 0 で与えられていますが、Mathworld では2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ... (暗黙のオフセット 1) というシーケンスが与えられています。パンケーキを切らないことは技術的には切っている回数、つまりn = 0 であると主張できますが、切っていないパンケーキはこの問題とは無関係であるとも主張できます。オフセットは必須フィールドですが、一部の貢献者は、デフォルトのオフセット 0 が送信するシーケンスに適切かどうかを確認する手間をかけません。内部フォーマットでは、オフセットとして実際には 2 つの数値が表示されます。最初の値は上記の数値であり、2番目の値は絶対値が1より大きい最初のエントリのインデックス（1から数える）を表します。この2番目の値は、シーケンスの検索処理を高速化するために使用されます。したがって、最初のエントリが(1)を表す1, 1, 1, 2で始まるA000001は、オフセットフィールドの内部値が1, 4となります。

著者

配列の著者は、たとえその配列が古代から知られていたとしても、配列を提出した人物です。提出者の名前は、名（フルネーム）、ミドルネームの頭文字（該当する場合）、姓の順で記載されます。これは、参照欄に記載される名前の書き方とは異なります。2011年以前は、提出者の電子メールアドレスも記載されていましたが、アソシエイトエディターや電子メールアドレスが存在しない場合など、いくつかの例外を除き、「@」文字は「(AT)」に置き換えられていました。現在では、OEISの方針として、配列に電子メールアドレスは表示されていません。A055000以降のほとんどの配列では、著者欄に提出者が配列を送信した日付も記載されています。

拡大

数列を拡張（項を追加）した人、または数列の項を修正した人の名前と、拡張した日付。