有限格子表現問題

数学において、有限格子表現問題、または有限合同格子問題は、すべての有限格子が何らかの有限代数の合同格子と同型であるかどうかを問うものである。

背景

格子は、完全かつコンパクトに生成される場合に代数的格子と呼ばれます。1963年に、GrätzerとSchmidtは、すべての代数的格子は、ある代数の合同格子と同型であることを証明しました。^[¹^] したがって、代数の合同格子の形状には本質的に制限はありません。有限格子表現問題は、同じことが有限格子と有限代数にも当てはまるかどうかを問うものです。つまり、すべての有限格子は、有限代数の合同格子として現れるのでしょうか。

1980年、PálfyとPudlákは、この問題が、すべての有限束が有限群の部分群束の区間として現れるかどうかを判定する問題と同等であることを証明した。^[²^] この問題に対する群論的アプローチの概要については、Pálfy (1993) ^[³^{]およびPálfy (2001)}^[⁴^]を参照のこと。

この問題は、合同格子問題と混同してはならない。

意義

これは普遍代数における最も古い未解決問題の一つである。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}解決されるまでは、有限代数の理論は不完全である。なぜなら、有限代数が与えられた場合、その合同格子の形状に何らかの制約が事前に存在するかどうかは不明だからである。

参考文献

↑ G. Grätzer および ET Schmidt、「抽象代数の合同格子の特性」、Acta Sci. Math. (Szeged) 24 (1963)、34–59。
↑ Pálfy および Pudlák.有限代数の合同格子と有限群の部分群格子における区間. Algebra Universalis 11(1), 22–27 (1980). DOI
↑ Péter Pál Pálfy.有限群の部分群格子における区間。Groups '93 Galway/St. Andrews、第2巻、London Math. Soc. Lecture Note Ser. 第212巻、482–494ページ。Cambridge Univ. Press、ケンブリッジ、1995年。
↑ Péter Pál Pálfy. Groups and lattices. In Groups St. Andrews 2001 in Oxford. Vol. II, volume 305 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 428–454, Cambridge, 2003. Cambridge Univ. Press.
↑ジョエル・バーマン。有限普遍代数の合同格子。博士論文、ワシントン大学、1970年、 ProQuest 302550051。
↑ビャルニ・ヨンソン。普遍代数のトピック。数学講義ノート、第250巻。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、1972年。
↑ラルフ・マッケンジー。「有限禁止格子」。『普遍代数と格子理論』（プエブラ、1982年）、Lecture Notes in Math.、第1004巻、176-205頁。Springer、ベルリン（1983年）。DOI

さらに読む

DeMeo, William J (2012). "有限代数の合同格子". arXiv : 1204.4305 [ math.GR ].
Dowling, TA (1973年2月). 「有限群に基づく幾何学的格子の一種」 . Journal of Combinatorial Theory, Series B. 14 ( 1): 61– 86. doi : 10.1016/S0095-8956(73)80007-3 .

外部リンク

有限合同格子問題

[1] G. Grätzer および ET Schmidt、「抽象代数の合同格子の特性」、Acta Sci. Math. (Szeged) 24 (1963)、34–59。

[2] Pálfy および Pudlák.有限代数の合同格子と有限群の部分群格子における区間. Algebra Universalis 11(1), 22–27 (1980). DOI

[3] Péter Pál Pálfy.有限群の部分群格子における区間。Groups '93 Galway/St. Andrews、第2巻、London Math. Soc. Lecture Note Ser. 第212巻、482–494ページ。Cambridge Univ. Press、ケンブリッジ、1995年。

[4] Péter Pál Pálfy. Groups and lattices. In Groups St. Andrews 2001 in Oxford. Vol. II, volume 305 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 428–454, Cambridge, 2003. Cambridge Univ. Press.

[5] ジョエル・バーマン。有限普遍代数の合同格子。博士論文、ワシントン大学、1970年、 ProQuest 302550051。

[6] ビャルニ・ヨンソン。普遍代数のトピック。数学講義ノート、第250巻。シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、1972年。

[7] ラルフ・マッケンジー。「有限禁止格子」。『普遍代数と格子理論』（プエブラ、1982年）、Lecture Notes in Math.、第1004巻、176-205頁。Springer、ベルリン（1983年）。DOI

[

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

背景

意義

参考文献

さらに読む

外部リンク

関連するトピック

数学

格子が

代数の

合同格子