ピアポントプライム

数論において、ピアポント素数（ピアポントそくり、英: Pierpont prime）は、負でない整数uおよびv に対しての形を とる素数である。つまり、p − 1が3 次元滑らか であるような素数pである。ピアポント素数は、円錐曲線を使用して作図できる正多角形を特徴付けるために使用した数学者ジェームズ・ピアポントにちなんで名付けられた。同じ特徴付けは、定規、コンパス、角の三等分線、または紙を折って作図できる多角形にも当てはまる。 $${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1\,}$$

2 とフェルマー素数を除いて、すべてのピアポン素数は 6 を法とする 1 でなければなりません。最初のいくつかのピアポン素数は次のとおりです。

ピアポント素数は無限に存在すると推測されているが、これはまだ証明されていない。

v = 0のピアポン素数はの形式であるため、フェルマー素数です ( u = 0でない限り)。v が正の場合、uも正でなければなりません ( 2 より大きい偶数になるため素数ではないため)。したがって、フェルマー以外のピアポン素数はすべて、 kが正の整数のとき6 k  + 1の形式になります ( u = v = 0 のときの 2 を除く)。 ${\displaystyle 2^{u}+1}$${\displaystyle 3^{v}+1}$

経験的に、ピアポン素数は特に稀であったり、まばらに分布しているようには思えない。10 ^{6未満のピアポン素数は 42 個、10 9}未満のピアポン素数は 65 個、10 ²⁰未満のピアポン素数は 157 個、10 ¹⁰⁰未満のピアポン素数は 795 個ある。ピアポン素数には代数的因数分解による制約がほとんどないため、指数が素数でなければならないというメルセンヌ素数条件のような要件はない。したがって、正しい形式のn桁の数のうち、素数である数の割合は1/ nに比例することが期待され、これはすべてのn桁の数のうちの素数の割合と同様の割合である。この範囲に正しい形式の数があるため、ピアポン素数が 存在するはずである。${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$${\displaystyle \Theta (n^{2})}$${\displaystyle \Theta (n)}$

アンドリュー・M・グリーソンはこの推論を明確にし、ピアポント素数は無限に存在すると推測し、より具体的には、10 ⁿまでのピアポント素数はおよそ9 n 個存在するはずであると主張した。^[1]グリーソンの予想によれば、その範囲内のメルセンヌ素数の推測数が少ないのとは対照的に、Nより小さいピアポント素数が存在する。 ${\displaystyle \Theta (\log N)}$${\displaystyle O(\log \log N)}$

のとき、はプロス数であり、したがってその素数性はプロスの定理によって判定できる。一方、 のとき、 を小さな偶数に3 の大きな累乗を掛けたものとして因数分解することで、の代替素数性判定が可能である。^[2]${\displaystyle 2^{u}>3^{v}}$${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$${\displaystyle 2^{u}}$${\displaystyle M=2^{u}\cdot 3^{v}+1}$${\displaystyle M-1}$

フェルマー数の因数を求める世界的な取り組みの一環として、いくつかのピアポント素数が因数として発表されている。次の表^[3]は、 m、k、nの値を示しており、

${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$は割り切れる${\displaystyle 3^{k}\cdot 2^{n}+1.}$

左側はフェルマー数、右側はピアポント素数です。

2023年現在^{[アップデート]}、最大のピアポント素数は81×2 ^20498148 + 1（6,170,560桁）であり、その素数であることが2023年6月に発見された。^[4]

紙折りの数学では、フジタの公理が7 種類の折り方のうち 6 つを定義しています。これらの折り方は、あらゆる3 次方程式を解く点の構築を可能にするのに十分であることが示されています。^[5] したがって、N ≥ 3で2 ^m 3 ⁿ ρの形である限り、 N辺の任意の正多角形を形成できます。ここで、ρは異なるピアポン素数の積です。これは、コンパス、定規、角の三等分線で構築できる正多角形と同じクラスです。^[1]コンパスと定規のみで構築できる正多角形 (構成可能多角形) は、 n  = 0でρ が異なるフェルマー素数の積であり、それ自体がピアポン素数のサブセット である特殊なケースです。

1895 年、ジェームズ・ピアポントは、同じ種類の正多角形を研究しました。彼の研究により、ピアポント素数に名前が付けられました。ピアポントは、コンパスと定規による作図を別の方法で一般化し、係数が以前に作成された点から得られる円錐曲線を描く機能を追加しました。彼が示したように、これらの操作で作成できる正N角形は、 Nのトーティエントが 3 滑らかであるものです。素数のトーティエントは、素数から 1 を引くことによって形成されるため、ピアポントの構成が機能する素数N は、まさにピアポント素数です。ただし、ピアポントは、3 滑らかなトーティエントを持つ合成数の形を説明しませんでした。^[6]グリーソンが後に示したように、これらの数は、上記の2 ^m 3 ⁿ ρの形とまったく同じです。 ^[1]

ピアポント素数（またはフェルマー素数）ではない最小の素数は11です。したがって、12角形はコンパス、定規、角度の三等分線（または折り紙、円錐曲線）で作図できない最初の正多角形です。3 ≤ N ≤ 21の他のすべての正N角形は、コンパス、定規、三等分線で作図できます。^[1]

第二種ピアポント素数は2 ^u 3 ^v − 1の形の素数である。これらの数は

このタイプの最大の既知の素数はメルセンヌ素数である。現在知られている最大の素数は（41,024,320桁）である。メルセンヌ素数ではない第2種の最大の既知のピアポント素数は であり、 PrimeGridによって発見された。^[7]${\displaystyle 2^{136279841}-1}$${\displaystyle 3\cdot 2^{22103376}-1}$

一般化されたピアポント素数は、k個の素数がp ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _kに固定された形式の素数です。第 2 種の一般化されたピアポント素数は、k 個の素数がp ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _kに固定された形式の素数です。2 より大きい素数はすべて奇数なので、どちらの種類でもp _{1 は2 でなければなりません}。OEISにおけるこのような素数のシーケンスは次のとおりです。 ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1}$

• プロト素数、すなわちkとnが正の整数である形の素数は奇数であり、${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2^{n}>k.}$