滑らかな構造

数学では、多様体上の滑らかな構造により、滑らかな関数の明確な概念が可能になります。特に、滑らかな構造により、多様体上で数学的解析を実行できます。^[1]

多様体上の滑らかな構造は、滑らかに同値な滑らかなアトラスの集合です。ここで、位相多様体の滑らかなアトラスは、各遷移関数が滑らかな写像であるような のアトラスであり、 の 2 つの滑らかなアトラスは、それらの和が再び の滑らかなアトラスである場合に滑らかに同値です。これにより、滑らかなアトラスの集合に 自然な同値関係が与えられます。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$

滑らかな多様体とは、滑らかな構造を持つ位相多様体である。${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$

滑らかな構造に属するすべてのアトラスを結合すると、最大滑らかなアトラスが得られます。このアトラスには、滑らかな構造と互換性のあるすべてのチャートが含まれています。滑らかな構造と最大滑らかなアトラスの間には、自然な 1 対 1 の対応があります。したがって、滑らかな構造を最大滑らかなアトラスと見なすことができ、その逆も同様です。

一般に、多様体の最大アトラスを使った計算は扱いにくいものです。ほとんどのアプリケーションでは、より小さなアトラスを選択すれば十分です。たとえば、多様体がコンパクトであれば、有限個のチャートのみを持つアトラスを見つけることができます。

と が、と に関連付けられた 2 つの滑らかな構造上の 2 つの極大アトラスである場合、次のような微分同相写像が存在するとき、それらは同値であると言われる^{[引用が必要]}${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle f:M\to M}$${\displaystyle \mu \circ f=\nu .}$

ジョン・ミルナーは1956年に、7次元球面には標準的な滑らかな構造と同等ではない滑らかな構造が存在することを示しました。非標準的な滑らかな構造を備えた球面は、エキゾチック球面と呼ばれます。

E8多様体は、滑らかな構造を許容しない位相多様体の例です。これは本質的に、ロクリン定理が滑らかな構造にのみ適用され、位相多様体一般では適用されないことを示しています。

遷移関数の滑らかさの要件を弱めて、遷移マップが- 回連続的に微分可能であることだけを要求するようにしたり、遷移マップが実解析的であることを要求するように強化したりすることができます。したがって、これは多様体上に滑らかな構造ではなく、または(実) 解析的な構造を与えます。同様に、複素構造は、遷移マップが正則であることを要求することによって定義できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$

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