ミレニアム賞問題

幾何学的トポロジー の分野では、2 次元球は、唯一の閉じた単連結な2 次元曲面であるという特徴があります。1904 年に、アンリ・ポアンカレは、同様の記述が 3 次元の形状にも当てはまるかどうかという問題を提起しました。これはポアンカレ予想として知られるようになり、その正確な定式化は次のようになります。^{[ 9 ]}

閉じていて単連結な任意の3次元位相多様体は、3次元球面と同相でなければならない。

この予想は通常この形で述べられるが、滑らかな多様体と微分同相写像の文脈でそれを提示することも同等である（1950年代に発見された）。

この予想の証明は、より強力な幾何化予想とともに、 2002年と2003年にグリゴリー・ペレルマンによって与えられた。ペレルマンの解は、リチャード・ハミルトンがそれまでの20年間かけて開発してきた幾何化予想の解法プログラムを完成させた。ハミルトンとペレルマンの研究は、リーマン幾何学の分野で定義された複雑な偏微分方程式系であるハミルトンのリッチフローを中心に展開された。

リッチフロー理論への貢献により、ペレルマンは2006年にフィールズ賞を受賞しましたが、受賞を辞退しました。^{[ 10 ]}ポアンカレ予想の証明により、ペレルマンは2010年3月18日にミレニアム賞を受賞しました。^{[ 11 ]}しかし、ハミルトンの貢献は自分に劣らないとして、賞と賞金を辞退しました。^{[ 1 ]}

バーチとスウィナートン＝ダイアー予想の公式発表はアンドリュー・ワイルズによってなされた。^{[ 12 ]}ブライアン・ジョン・バーチとピーター・スウィナートン＝ダイアーにちなんで名付けられたこの予想は、有理数上の楕円曲線を定義する特定のタイプの方程式を扱っている。この予想は、そのような方程式が有理数の解を有限個持つか無限個持つかを判断する簡単な方法があるというものである。より具体的には、ミレニアム賞バージョンの予想は、楕円曲線E のランクがrである場合、それに関連付けられたL関数L ( E , s )はs = 1でrのオーダーで消滅するというものである。

ホッジ予想とは、射影代数多様体の場合、ホッジサイクルは代数サイクルの有理線形結合であるという予想である。

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

これをX上の次数 2 kのホッジクラスの群と呼びます。

ホッジ予想の現代的な表現は以下のとおりです。

X を非特異な複素射影多様体とする。このとき、X 上のすべてのホッジ類は、Xの複素部分多様体のコホモロジー類の有理係数線形結合で表される。

問題の公式な説明はピエール・ドリーニュによってなされた。^{[ 13 ]}

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{変動}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{対流}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{体積あたりの慣性}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{拡散}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{内部}}\\{\text{源}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{発散\begin{smallmatrix}{\text{外部}}\\{\text{ソース}}\end{smallmatrix}}.}$

ナビエ・ストークス方程式は流体の運動を記述する方程式であり、流体力学の柱の一つです。しかし、科学や工学において重要な役割を担っているにもかかわらず、その解に関する理論的な理解は未だ不完全です。3次元方程式系において、いくつかの初期条件が与えられた場合、滑らかな解が常に存在することを数学者たちはまだ証明できていません。これはナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさの問題と呼ばれています。

非圧縮性流れの場合に限定されるこの問題は、ある条件を満たす滑らかで大域的に定義された解が存在するか、あるいはそのような解が常に存在せず方程式が破綻するかを証明することである。この問題の公式な記述はチャールズ・フェファーマンによってなされた。^{[ 14 ]}

問題は、アルゴリズムが与えられた解を迅速に検証できる（つまり、多項式時間で検証できる）すべての問題について、アルゴリズムがその解を迅速に見つけることができるかどうかである。前者はNPと呼ばれる問題のクラスを記述し、後者はPを記述するため、この問題はNPのすべての問題がPにも含まれるかどうかを問うことと同等である。これは、数学、生物学^{[ 15 ]}、哲学^{[ 16 ]}、暗号学（PとNPの問題証明の結果を参照）における他の問題に広範な影響を与えるため、数学と理論計算機科学における最も重要な未解決問題の1つと一般的に考えられている。Pに含まれることが知られていないNP問題の一般的な例は、ブール充足可能性問題である。

ほとんどの数学者やコンピュータ科学者はP  ≠  NPであると予想しているが、それはまだ証明されていない。^{[ 17 ]}

問題の公式声明はスティーブン・クックによって発表された。^{[ 18 ]}

リーマンゼータ関数${\displaystyle \zeta (s)}$は、引数が1以外の任意の複素数であり、値も複素数である関数です。この関数は、単位分数のべき乗の無限和として表現できます。^{[ 19 ]}$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .}$$その解析接続は負の偶数で零点を持つ。つまり、${\displaystyle \zeta (s)=0}$いつ ${\displaystyle s}$は${\displaystyle -2}$、${\displaystyle -4}$、${\displaystyle -6}$など。これらは自明な零点と呼ばれます。しかし、負の偶数だけがゼータ関数がゼロになる値ではありません。その他の値は非自明な零点と呼ばれます。リーマン予想はこれらの非自明な零点の位置に関するもので、次のように述べられています。

リーマンゼータ関数の非自明な零点の実部は${\textstyle {\frac {1}{2}}}$。

リーマン予想とは、リーマンゼータ関数の非自明な零点の実部がすべて 1/2 であるというものである。この予想の証明または反証は、数論、特に素数の分布に広範な影響を与えるだろう。これはヒルベルトの第 8 問題であり、1 世紀経った今でも重要な未解決問題と考えられている。

この問題は、1859年にベルンハルト・リーマンによって最初に提起されて以来、よく知られている。クレイ研究所によるこの問題の説明は、エンリコ・ボンビエリによって行われた。^{[ 20 ]}

量子場理論において、質量ギャップとは、真空状態と次に低いエネルギー状態とのエネルギー差のことである。定義上、真空状態のエネルギーはゼロであり、すべてのエネルギー状態を平面波中の粒子とみなすと仮定すると、質量ギャップは最も軽い粒子の質量となる。

与えられた実数体に対して${\displaystyle \phi (x)}$2点関数が次の性質を持つ場合、理論には質量ギャップがあると言える。

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

と${\displaystyle \Delta _{0}>0}$これはハミルトニアンのスペクトルにおける最低エネルギー値であり、したがって質量ギャップに相当します。この量は他の場にも容易に一般化でき、格子計算において一般的に測定されるものです。

量子ヤン・ミルズ理論は、素粒子物理学の現実と潜在的な現実に対する思考の理論的応用の大部分の基礎となっている。^{[ 21 ]}この理論は、色電磁場自体が電荷を持つというマクスウェル電磁気理論の一般化である。古典的な場の理論として、光速で伝わる解を持つため、その量子版は質量のない粒子（グルーオン）を記述するはずである。しかし、仮定された色閉じ込め現象は、質量のある粒子を形成するグルーオンの束縛状態のみを許容する。これが質量ギャップである。閉じ込めのもう1つの側面は漸近的自由であり、量子ヤン・ミルズ理論が低エネルギー尺度に制限されずに存在すると考えられる。問題は、量子ヤン・ミルズ理論と質量ギャップの存在を厳密に確立することである。

任意のコンパクト単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が存在することを証明せよ。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$また、質量ギャップ Δ > 0 を持つ。存在には、少なくとも Streater & Wightman (1964) ^{[ 22 ]} 、 Osterwalder & Schrader (1973) [ ²³ ]、および Osterwalder & Schrader (1975) ^{[ 24 ]で引用されているものと同等の公理的性質を確立することが含まれる。}

問題の公式な説明はアーサー・ジャッフェとエドワード・ウィッテンによってなされた。^{[ 25 ]}