保型L関数

数学において、保型L関数は、複素変数sの関数L ( s ,π, r )であり、大域体上の簡約群Gの保型表現π と、 Gのラングランズ双対群^L Gの有限次元複素表現rに関連付けられ、ディリクレ指標のディリクレ L 級数とモジュラー形式のメリン変換を一般化したものである。これらは、ラングランズ (1967、1970、1971) によって導入された。

Borel (1979) と Arthur & Gelbart (1991) は保型 L 関数の調査を行った。

保型関数には、次のような特性があるはずです (いくつかのケースでは証明されていますが、他のケースではまだ推測の域を出ません)。 ${\displaystyle L}$

L 関数は、局所関数の位の積である必要があります。 ${\displaystyle L(s,\pi ,r)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\prod _{v}L(s,\pi _{v},r_{v})}$

ここで、保型表現 は局所群の 表現のテンソル積です。${\displaystyle \pi =\otimes \pi _{v}}$${\displaystyle \pi_{v}}$

L関数は、すべての複素数の有理型関数として解析接続を持ち、関数方程式を満たすこと が期待されます。${\displaystyle s}$

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\lor })}$

ここで、係数は「局所定数」の積である。 ${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)}$

${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)=\prod _{v}\epsilon (s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v})}$

ほとんどすべてが 1 です。

Godement & Jacquet (1972) は、 r を標準表現とする一般線型群の保型 L 関数(いわゆる標準 L 関数) を構築し、 Tate の論文の手法の一般化を使用して、解析接続と関数方程式を検証しました。Langlands プログラムには、 GL(m) と GL(n) の表現のRankin-Selberg積が至る所にあります。結果として得られる Rankin-Selberg L 関数は、いくつかの解析特性を満たし、その関数方程式はLanglands-Shahidi 法によって初めて証明されました。

一般に、ラングランズ関数予想は、連結簡約群の保型 L 関数が一般線型群の保型 L 関数の積に等しいことを意味しています。ラングランズ関数の証明は、保型 L 関数の解析的性質の完全な理解にもつながります。

• 大リーマン予想

• アーサー、ジェームズ、ゲルバート、スティーブン(1991)、「L 関数の自己同型講義」、ジョン・コーツ、MJ テイラー (編)、『L 関数と算術』(ダーラム、1989) (PDF)、ロンドン数学協会講義ノートシリーズ、第 153 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 1–59、doi :10.1017/CBO9780511526053.003、ISBN 978-0-521-38619-7、MR  1110389
• Borel, Armand (1979)、「保型 L 関数」、Borel, Armand ; Casselman, W. (編)、保型形式、表現、および L 関数 (Proc. Sympos. Pure Math.、オレゴン州立大学、コーバリス、オレゴン州、1977)、第 2 部、第 XXXIII 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 27–61、doi :10.1090/pspum/033.2/546608、ISBN 978-0-8218-1437-6、MR  0546608
• コグデル、ジェームズ W.、キム、ヘンリー H.、マーティ、マルティ ラム (2004)、「Lectures on automorphic L-functions」、フィールズ研究所モノグラフ、第 20 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-3516-6、MR  2071722
• ゲルバート、スティーブン、ピアテツキ・シャピロ、イリヤ、ラリス、スティーブン（1987）、保型L関数の明示的構築、数学講義ノート、第1254巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラグ、doi：10.1007/BFb0078125、ISBN 978-3-540-17848-4、MR  0892097
• ゴデマン、ロジェ、ジャケ、エルヴェ（1972）、単純代数のゼータ関数、数学講義ノート、第260巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、doi：10.1007/BFb0070263、ISBN 978-3-540-05797-0、MR  0342495
• ジャケ、H.ピアテツキ＝シャピロ２世。シャリカ、JA (1983)、「Rankin-Selberg Convolutions」、Amer。 Ｊ．Ｍａｔｈ．、105 (2): 367–464、土井:10.2307/2374264、JSTOR  2374264
• ロバート・ラングランズ (1967)、ワイル教授への手紙
• ラングランズ、RP (1970)、「保型形式の理論における問題」、現代解析学および応用講義、III、数学講義ノート、第170巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. 18–61、doi：10.1007/BFb0079065、ISBN 978-3-540-05284-5、MR  0302614
• ラングランズ、ロバート・P. (1971) [1967]、オイラー積、イェール大学出版局、ISBN 978-0-300-01395-5、MR  0419366
• Shahidi, F. (1981)、「特定の「L」関数について」、Amer. J. Math.、103 (2): 297–355、doi :10.2307/2374219、JSTOR  2374219