アフィン多様体

微分幾何学において、アフィン多様体とは、平坦でねじれのない接続を備えた微分可能な多様体です。

同様に、これはの開集合によって覆われた多様体（連結されている場合）であり、モノドロミーはアフィン変換によって作用します。この同値性は、カルタン・アンブローズ・ヒックスの定理の簡単な系です。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

同様に、これはアフィン構造と呼ばれるアトラスを備えた多様体であり、チャート間のすべての遷移関数はアフィン変換である（つまり、定数ヤコビ行列を持つ）; ^[1] 2 つのアトラスが同等なのは、多様体が両方に従属するアトラスを受け入れ、両方のアトラスからより小さなアトラスへの遷移がアフィンである場合です。 明確なアフィン構造を持つ多様体はアフィン多様体と呼ばれ、アフィン構造のチャートとアフィン関係にあるチャートはアフィンチャートと呼ばれます。 各アフィン座標領域では、座標ベクトル場はその領域の平行化を形成するため、各領域には関連する接続が存在します。これらの局所的に定義された接続は重なり合う部分で同じであるため、アフィン構造に関連付けられた一意の接続が存在します。線形 接続（アフィン接続とも呼ばれる）とウェブの間にはリンクがあることに注意してください。

アフィン多様体は 、すべての に対してとなるチャートを持つ実多様体です。ここではアフィン変換のリー群を表します。より洗練された言葉で言えば、これは(G,X) 多様体であり、 はアフィン変換の群です。 ${\displaystyle M\,}$${\displaystyle \psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle \psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle i,j\,,}$${\displaystyle \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G}$

アフィン多様体は、その普遍被覆が に同相である場合に完全であると呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

コンパクトアフィン多様体 の場合、を の基本群とし、 をその普遍被覆とします。各- 次元アフィン多様体には、展開写像と準同型写像 が伴い、 がに関して浸漬かつ同変であることが示せます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \varphi}$

コンパクト完全平坦アフィン多様体の基本群は、アフィン結晶群と呼ばれます。アフィン結晶群の分類は難しい問題であり、解決にはほど遠いものです。リーマン結晶群(ビーベルバッハ群とも呼ばれる) は、デイヴィッド・ヒルベルトによって提起された質問に答える形で、ルートヴィヒ・ビーベルバッハによって分類されました。ヒルベルトの第 18 の問題に関する研究で、ビーベルバッハは、任意のリーマン結晶群に有限指数のアーベル部分群が含まれることを証明しました。

アフィン多様体の幾何学は本質的には長年の推測のネットワークであり、そのほとんどは低次元およびその他の特殊なケースで証明されています。

最も重要なものは次のとおりです。

• マルクス予想 (1962) は、コンパクトなアフィン多様体が完全であるためには、それが平行体積を持つ必要があると述べている。次元 2 では既知である。
• アウスランダー予想 (1964) ^{[2] [3]}は、任意のアフィン結晶群には有限指数の多環式部分群が含まれることを述べている。6 次元までで知られており、^[4]平坦接続のホロノミーがローレンツ計量を保存する場合。^[5]すべての実質的に多環式の結晶群は体積形式を保存するため、アウスランダー予想はマルクス予想の「場合にのみ」の部分を意味する。^[6]
• チャーン予想（1955）アフィン多様体のオイラー類は消滅する。 ^[7]

• 野水克己、佐々木毅（1994）、アフィン微分幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
• シャープ、リチャード W. (1997)。微分幾何学: カルタンによるクラインのエルランゲン プログラムの一般化。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 0-387-94732-9。
• ビショップ、リチャード L. ; ゴールドバーグ、サミュエル I. (1968)。多様体上のテンソル解析(初版 Dover 1980 版)。マクミラン社。ISBN 0-486-64039-6。