数学的定義 滑らかな多様体 M 上では、滑らかなリーマン計量 g は自動的にリッチテンソル Ric g を決定します。定義により、M の各要素pに対して、 g p はp における接空間 T p M 正定値内積 です。1 パラメータ族のリーマン計量g t ∂ ∂ t g t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}} t とpの各特定の値に対して、 T p M 双線形形式 が割り当てられます。リーマン計量のリッチテンソルも各pに対して T p M
滑らかな多様体M と開実区間( a , b ) リッチフローは 、区間( a , b ) tに対して、 M 上のリーマン計量g tを割り当て、 ∂ ∂ t g t = − 2 R 私 c g t \displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\ \mathrm {Ric} ^{g_{t}}} リッチテンソルは、断面曲率 の平均値、あるいはリーマン曲率テンソル の代数的トレース として考えられることが多い。しかし、リッチフローの存在と一意性の解析においては、リッチテンソルが、局所座標において、計量テンソルの1階微分と2階微分を含む式で定義できることが極めて重要である。これにより、リッチフローは幾何学的に定義された偏微分方程式となる。局所座標式の 楕円性 の解析は、リッチフローの存在の基礎となる。対応する結果については、次のセクションを参照のこと。
k を ゼロ ( a , b ) g t 。 すると 、 ∂ / t G t k Ric G t と なる この よう に 、 パラメータ を この よう に ごく 単純 に 変更 する
パラメータt は通常「時間」 と呼ばれますが、これは偏微分方程式の数学分野における標準的な非公式用語の一部にすぎません。物理的に意味のある用語ではありません。実際、非線形シグマモデル のように繰り込み群の 観点からリッチフローを解釈する標準的な量子場理論 では、パラメータt は時間ではなく長さまたはエネルギーに対応します。[ 1 ]
正規化リッチフロー M をコンパクトな滑らかな多様体とし、区間( a , b ) 内のtに対して g t を Ψ( t ) g t の 体積が 1 となるようにΨ: ( a , b ) → (0, ∞) M がコンパクトであるため可能である。（より一般的には、各リーマン計量g t の a でゼロとなるΨ の原始関数をF : ( a , b ) → (0, ∞) と定義する。Ψは 正の値をとるので、 Fはその像 (0, S ) s ∈ (0, S ) に対して定義されるリーマン計量G s = Ψ( F −1 ( s )) g F −1 ( s )
∂ ∂ s G s = − 2 リック G s + 2 n ∫ M R G s d μ G s ∫ M d μ G s G s 。 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.} ここで、Rは スカラー曲率 を表します。これは正規化リッチフロー 方程式と呼ばれます。したがって、明示的に定義されたスケール変換Ψ とパラメータ値の再パラメータ化により、リッチフローを正規化リッチフローに変換できます。上記の計算を逆に行うことで、その逆も成り立ちます。
正規化されたリッチフローを検討する主な理由は、リッチフローの主要な収束定理を簡潔に記述できるためである。しかし、必ずしもそうする必要はなく、ほとんどの場合、標準形式のリッチフローを考慮すれば十分である。さらに、正規化されたリッチフローは、一般的に非コンパクト多様体上では意味を持たない。
存在と独自性 させてM {\displaystyle M} g 0 {\displaystyle g_{0}} M {\displaystyle M} ナッシュ・モーザーの陰関数定理 を利用して、ハミルトン（1982）は 次の存在定理を示した。
正の数が存在するT {\displaystyle T} g t {\displaystyle g_{t}} t ∈ （ 0 、 T ） t ∈ (0,T) g t {\displaystyle g_{t}} g 0 {\displaystyle g_{0}} C ∞ \displaystyle C^{\infty }} t {\displaystyle t} 彼は以下の一意性定理を示した。
もし{ g t : t ∈ （ 0 、 T ） } {\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}} { g ～ t : t ∈ （ 0 、 T ～ ） } {\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}} g t = g ～ t {\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}} t ∈ （ 0 、 ミニ { T 、 T ～ } ） 。 {\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).} 存在定理は、滑らかなリーマン計量の1パラメータ族を与える。実際、そのような1パラメータ族は、パラメータにも滑らかに依存する。正確には、これは、任意の滑らかな座標チャートに関して、（ U 、 ϕ ） {\displaystyle (U,\phi )} M {\displaystyle M} g 私 j : U × （ 0 、 T ） → R {\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} } 私 、 j = 1 、 … 、 n {\displaystyle i,j=1,\dots ,n}
デニス・デタークは その後、バナッハの陰関数定理を用いて上記の結果の証明を与えた。[ 2 ] イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアによるローレンツ幾何学におけるアインシュタイン 方程式 の適切性の証明と解釈の、より単純なリーマン版である。
ハミルトンの存在と一意性の定理の結果として、データが与えられた場合（ M 、 g 0 ） {\displaystyle (M,g_{0})} リッチ フローについては明確に語ることができる。M {\displaystyle M} g 0 {\displaystyle g_{0}} T {\displaystyle T} t {\displaystyle t} g t {\displaystyle g_{t}} M {\displaystyle M}
ハミルトン（1993a）は 、リーマン多様体上の放物型微分方程式に対してピーター・リー とシン・トゥン・ヤウ が開拓した手法を利用して、次の「リー・ヤウ不等式」を証明した。[ 5 ]
させてM {\displaystyle M} g t {\displaystyle g_{t}} t ∈ （ 0 、 T ） t ∈ (0,T) g t {\displaystyle g_{t}} g t {\displaystyle g_{t}} γ : [ t 1 、 t 2 ] → M {\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M [ t 1 、 t 2 ] ⊂ （ 0 、 T ） {\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)} d d t （ R g （ t ） （ γ （ t ） ） ） + R g （ t ） （ γ （ t ） ） t + 1 2 リック g （ t ） （ γ ′ （ t ） 、 γ ′ （ t ） ） ≥ 0. \displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.} ペレルマン（2002） は、次の別のリー・ヤウ不等式を示した。
させてM {\displaystyle M} n {\displaystyle n} g t {\displaystyle g_{t}} n {\displaystyle n} ∂ ∂ t ω + Δ g （ t ） ω = 0 {\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0} p ∈ M {\displaystyle p\in M} t 0 ∈ （ 0 、 T ） {\displaystyle t_{0}\in (0,T)} t {\displaystyle t} t 0 t0 γ : [ t 1 、 t 2 ] → M {\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M [ t 1 、 t 2 ] ⊂ （ 0 、 T ） {\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)} d d t （ f （ γ （ t ） 、 t ） ） + f （ γ （ t ） 、 t ） 2 （ t 0 − t ） ≤ R g （ t ） （ γ （ t ） ） + | γ ′ （ t ） | g （ t ） 2 2 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.} ω = （ 4 π （ t 0 − t ） ） − n / 2 e − f d μ g （ t ） {\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}} これら二つの注目すべき不等式は、ポアンカレ予想と幾何化予想の証明において極めて重要な意味を持つ。ペレルマンのリー・ヤウ不等式の右辺の項は、彼の「縮約長」汎関数の定義を促し、その解析は彼の「非崩壊定理」へと繋がる。非崩壊定理を用いることで、ハミルトンのコンパクト性定理（ハミルトン 1995）を適用して、新しい三次元多様体上のリッチフローである「特異点モデル」を構築することができる。ハミルトン・アイビーの評価により、これらの新しいリッチフローは非負の曲率を持つ。そして、ハミルトンのリー・ヤウ不等式を適用することで、各点におけるスカラー曲率が時間の非減少（非負）関数であることがわかる。これは、多くのさらなる議論を可能にする強力な結果である。最終的に、ペレルマンは、彼の特異点モデルのいずれも漸近的に完全勾配収縮リッチソリトンに似ており、それらは完全に分類されていることを示している（前のセクションを参照）。
ハミルトンのリー・ヤウの不等式の詳細については、 Chow、Lu 、 Ni（2006 、第10章および第11章） を参照してください。Chow et al.（2008） とMüller（2006） の書籍には、上記の2つの不等式の説明が含まれています。
例
リッチソリトン リッチソリトン は、微分同相写像を除いてサイズは変化するが形状は変化しないリッチフローである。
円柱S k R l k ≥ 2 の場合) は、微分同相写像を除いて、リッチフローの下で同様に自己縮小する。 2次元の重要な例として、ユークリッド平面上の計量 ( dx 2 + dy 2 )/( e 4 t x 2 + y 2 ) で表される シガーソリトン が挙げられます。この計量はリッチフローによって縮小しますが、その幾何学的構造は変わりません。このような解は定常リッチソリトンと呼ばれます。 3次元定常リッチソリトンの一例として、回転対称性を持ち、正の曲率を持つブライアント ソリトン U ( n )作用 の下で不変であり、Cn に対して 双有理的なケーラー多様体の族が多数存在し、それらはリッチソリトンである。これらの例はCaoとFeldman-Ilmanen-Knopfによって構築された。（Chow-Knopf 2004）トーラス対称性のみを示す4次元の例が、最近、Bamler-Cifarelli-Conlon-Deruelleによって発見された。 勾配収縮リッチソリトンは、 滑らかなリーマン多様体 ( M , g ) とf ∈ C ∞ ( M ) から構成され、
リック g + ヘス g f = 1 2 g 。 {\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.} Perelman (2002) の主要な業績の 1 つは、M が 閉じた 3 次元の滑らかな多様体である場合、M上のリッチフローの有限時間特異点は、完全勾配収縮リッチソリトン ( M とは異なる基底多様体上である可能性もある) でモデル化されることを示したことである。2008 年にHuai-Dong Cao 、Bing-Long Chen、およびXi-Ping Zhu は、 これらのソリトンの分類を完了し、次のことを示した。
( M , g , f ) が dim( M ) = 3の完全勾配縮小リッチソリトンであると仮定します。Mが 単連結である場合、リーマン多様体 ( M , g ) は等長です。R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} S 3 {\displaystyle S^{3}} S 2 × R {\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} } ペレルマン（2003a）がいくつかの追加の条件付き仮定の下で示したものである。M が 単連結でない場合、普遍被覆を考えることができることに注意されたい。π : M ′ → M 、 {\displaystyle \pi :M'\to M,} （ M ′ 、 π * g 、 f ∘ π ） 。 {\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).} 勾配収縮リッチソリトンについては、より高次元の領域ではまだ十分に理解されていない。
ハミルトンのリッチフローに関する最初の研究は、 3次元滑らかな多様体の位相的分類 に関するウィリアム・サーストン の幾何化予想 と同時期に発表された。 [ 6 ] に は、 均質 かつ 等方的な3次元球面S3、3 次元ユークリッド空間E3、3 次元双曲空間H3 、そして 均質で はあるが等方的ではない5つのやや特殊なリーマン多様体が含ま れる。（このリストは、 3次元実リー代数を9つのクラスに 分類するビアンキ分類 と密接に関連しているが、同一ではない。）
ハミルトンは、正の リッチ曲率を持つ計量を持つ滑らかな閉じた3次元多様体は、一意のサーストン幾何学、すなわち球面計量も持つことを証明することに成功した。この球面計量は、体積を保存するように正規化されたリッチフローの下で、実際に吸引固定点のように振る舞う。（正規化されていないリッチフローの下では、多様体は有限時間内に一点に縮退する。）しかし、曲率に関する制約的な仮定があるため、これは完全な幾何化予想を証明するものではない。
実際、19世紀幾何学の偉業の一つは、滑らかな2次元多様体の位相的分類である一様化定理 の証明であり、ハミルトンは、リッチフローが負の曲率を持つ2次元多様体を双曲平面と局所的に等長な2次元多孔トーラスへと進化させることを示した。このテーマは、解析学、数論、力学系、数理物理学、さらには宇宙論における重要なテーマと密接に関連している。
「一様化」という用語は、幾何学における不規則性を滑らかにすることを意味するのに対し、「幾何化」という用語は、滑らかな多様体上に幾何学を配置することを意味することに注意してください。 ここで使用されている幾何学は 、クラインの幾何 学の概念 に似た厳密な意味で用いられています（詳細は幾何化予想を参照）。特に、幾何化の結果は 等方的で はない幾何学になる可能性があります。曲率が一定の場合を含め、ほとんどの場合、幾何学は一意です。この分野における重要なテーマは、実数表現と複素数表現の相互作用です。特に、一様化に関する多くの議論では、実数2次元多様体ではなく複素曲線について言及しています。
特異点 ハミルトンは 、コンパクトなリーマン多様体は常に短時間リッチフロー解を持つことを示した。後にShiは 、この短時間存在の結果を曲率が有界な完全多様体に一般化した。[ 7 ] 曲率テンソルのノルムが変化することを意味する。 | 部屋 | {\displaystyle |\operatorname {Rm} |}
特異点の爆発限界 特異点の形成を研究するには、他の非線形微分方程式の研究と同様に、爆発極限を考慮することが有効である。直感的に言えば、時間と空間のスケールを変更することで、リッチフローの特異領域を拡大する。特定の仮定の下では、拡大されたフローは極限リッチフローに収束する。（ M ∞ 、 g ∞ （ t ） ） 、 t ∈ （ − ∞ 、 0 ] {\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]} これは特異点モデル と呼ばれます。特異点モデルは古代のリッチフローであり、つまり過去へと無限に拡張することができます。リッチフローにおける可能な特異点モデルを理解することは、活発な研究活動となっています。
以下に、拡大手順をより詳細に概説します。（ M 、 g t ） 、 t ∈ [ 0 、 T ） 、 {\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),} t → T {\displaystyle t\rightarrow T} （ p 私 、 t 私 ） ∈ M × [ 0 、 T ） {\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}
K 私 := | 部屋 （ g t 私 ） | （ p 私 ） → ∞ {\displaystyle K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty } として私 → ∞ {\displaystyle i\rightarrow \infty }
g 私 （ t ） = K 私 g （ t 私 + t K 私 ） 、 t ∈ [ − K 私 t 私 、 0 ] {\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]} 放物線状の拡大の下でのリッチフロー方程式の対称性により、計量はg 私 （ t ） {\displaystyle g_{i}(t)}
| R m | ≤ K 私 の上 M × [ 0 、 t 私 ] 、 {\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],} つまり、時間までt 私 {\displaystyle t_{i}} p 私 {\displaystyle p_{i}} （ M 、 g 私 （ t ） 、 p 私 ） {\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})} （ M ∞ 、 g ∞ （ t ） 、 p ∞ ） {\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })} M ∞ {\displaystyle M_{\infty }} M {\displaystyle M}
タイプIおよびタイプIIの特異点 ハミルトンはリッチフローにおけるタイプIとタイプIIの特異点 を区別している。特に、リッチフローは（ M 、 g t ） 、 t ∈ [ 0 、 T ） {\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)} T {\displaystyle T}
すする t < T （ T − t ） | R m | < ∞ {\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty } それ以外の場合、特異点はタイプ II である。タイプ I 特異点の爆発極限は勾配収縮リッチ ソリトン であることが知られている。[ 8 ]
3次元リッチフローにおける特異点 3次元空間におけるリッチフロー特異点の爆発限界はよく理解されている。ハミルトン、ペレルマン、ブレンドルらの研究によれば、最大曲率点での爆発は、以下の3つの特異点モデルのいずれかにつながる。
縮小する球状の空間形態S 3 / Γ {\displaystyle S^{3}/\Gamma } 縮む円筒S 2 × R {\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} } ブライアントソリトン 最初の2つの特異点モデルはタイプI特異点から生じるのに対し、最後のモデルはタイプII特異点から生じる。
4次元リッチフローにおける特異点 4次元空間における特異点の可能性については、3次元空間の場合よりも可能性がはるかに多いということ以外、ほとんど分かっていない。現在までに、以下の特異点モデルが知られている。
最初の3つの例は、3次元特異点モデルの一般化であることに注意してください。FIKシュリンカーは、自己交差数 が-1の埋め込み球の崩壊をモデル化しています。
拡散との関係 リッチフローを定義する進化方程式が非線形拡散方程式の一種である理由を理解するために、(実数)2次元多様体の特殊な場合をより詳しく考察してみましょう。2次元多様体上の任意の計量テンソルは、指数等温座標チャート に関して次の形式で記述できます。
d s 2 = exp （ 2 p （ x 、 y ） ） （ d x 2 + d y 2 ） 。 {\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).} （これらの座標は等角 座標図の一例を示している。なぜなら、角度は正しく表現されているが、距離は正しく表現されていないからである。）
我々のリーマン2次元多様体に対するリッチテンソル とラプラス・ベルトラミ演算子 を計算する最も簡単な方法は、エリー・カルタン の微分形式法を用いることである。コフレーム場をとろう。
σ 1 = exp （ p ） d x 、 σ 2 = exp （ p ） d y {\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy} そのため、その計量テンソルは 次のようになります。
σ 1 ⊗ σ 1 + σ 2 ⊗ σ 2 = exp （ 2 p ） （ d x ⊗ d x + d y ⊗ d y ） 。 {\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).} 次に、任意の滑らかな関数が与えられたh （ x 、 y ） {\displaystyle h(x,y)} 外微分 を計算する
d h = h x d x + h y d y = exp （ − p ） h x σ 1 + exp （ − p ） h y σ 2 。 {\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.} ホッジのデュアル を例にとると
⋆ d h = − exp （ − p ） h y σ 1 + exp （ − p ） h x σ 2 = − h y d x + h x d y 。 {\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.} 別の外部微分を考えてみましょう
d ⋆ d h = − h y y d y ∧ d x + h x x d x ∧ d y = （ h x x + h y y ） d x ∧ d y {\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy} （ここでは外積 の反交換性 を利用した）。つまり、
d ⋆ d h = exp （ − 2 p ） （ h x x + h y y ） σ 1 ∧ σ 2 。 {\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.} 別のホッジ双対を取ると
Δ h = ⋆ d ⋆ d h = exp （ − 2 p ） （ h x x + h y y ） {\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)} これにより、ラプラス/ベルトラミ演算子の望ましい表現が得られる。
Δ = exp （ − 2 p （ x 、 y ） ） （ D x 2 + D y 2 ） 。 {\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).} 曲率テンソルを計算するには、コフレームを構成するコベクトル場の外微分をとります。
d σ 1 = p y exp （ p ） d y ∧ d x = − （ p y d x ） ∧ σ 2 = − ω 1 2 ∧ σ 2 {\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}} d σ 2 = p x exp （ p ） d x ∧ d y = − （ p x d y ） ∧ σ 1 = − ω 2 1 ∧ σ 1 。 {\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.} これらの式から、唯一の独立したスピン接続 1形式 を読み取ることができます
ω 1 2 = p y d x − p x d y 、 {\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,} ここで我々は接続の反対称性を利用した（ω 2 1 = − ω 1 2 {\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}
d ω 1 2 = p y y d y ∧ d x − p x x d x ∧ d y = − （ p x x + p y y ） d x ∧ d y 。 {\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.} これにより曲率2形式が得られる
Ω 1 2 = − exp （ − 2 p ） （ p x x + p y y ） σ 1 ∧ σ 2 = − Δ p σ 1 ∧ σ 2 {\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}} そこから、リーマンテンソル の唯一の線形独立成分を読み取ることができます。
Ω 1 2 = R 1 212 σ 1 ∧ σ 2 。 {\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.} すなわち
R 1 212 = − Δ p {\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p} そこから、リッチテンソル の唯一の非ゼロ成分は
R 22 = R 11 = − Δ p 。 {\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.} これから、座標コベース に関する成分、すなわち
R x x = R y y = − （ p x x + p y y ） 。 {\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).} しかし、計量テンソルも対角化されており、
g x x = g y y = exp （ 2 p ） {\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)} そして、いくつかの基本的な操作の後、リッチフローの洗練された表現が得られます。
∂ p ∂ t = Δ p 。 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.} これは明らかに、最もよく知られている拡散方程式である熱方程式と類似している。
∂ u ∂ t = Δ u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u} 今どこにいるのかΔ = D x 2 + D y 2 {\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}} ラプラシアン です。読者は、熱方程式は当然線形 偏微分方程式であるのに、リッチフローを定義する偏微分方程式 に約束された非線形性はどこにあるのかと反論するかもしれません。
答えは、ラプラス・ベルトラミ演算子が、計量を定義するために使用した関数 p と同じ関数に依存するため、非線形性が生じるということです。ただし、平坦なユークリッド平面は、次の式で与えられることに注意してください。p （ x 、 y ） = 0 {\displaystyle p(x,y)=0} p {\displaystyle p} 均一化さ れると予想されますが、明らかにゼロに減らすことはできません。同様に、歪んだ球体に適用されるリッチフローは、時間とともに幾何学を丸くする傾向がありますが、それを平坦なユークリッド幾何学に変えることはありません。
最近の動向 リッチフローは1981年以来、集中的に研究されてきた。最近の研究では、リッチフローの下で高次元リーマン多様体がどのように進化するか、特にどのような種類のパラメトリック特異点 が形成されるかという問題に焦点が当てられている。例えば、リッチフローのある種の解は、進化する多様体上にネックピンチ特異点 が形成されることを示している。n {\displaystyle n} オイラー標数 ）を持つ次元計量リーマン多様体において、流れが特性時間に近づくにつれてt 0 {\displaystyle t_{0}} リッチソリトン と呼ばれる多様体が生成されます。
3次元多様体の場合、ペレルマンは多様体に対する手術 を用いて特異点を超えて進む方法を示した。
ケーラー計量はリッチフローの下でもケーラーのままであり、そのためリッチフローもこの設定で研究されており、ケーラー・リッチフロー と呼ばれている。
境界を持つ多様体上のリッチフロー 境界を持つ多様体上のリッチフローの研究は Ying Shen によって始められました。[ 11 ] Brendle [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]によって与えられ、その後、Alexander Murcia [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]
注記 ↑ Friedan, D. (1980). "2+ε次元の非線形モデル" . Physical Review Letters (投稿原稿). 45 (13): 1057– 1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F . doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057 .↑ DeTurck, Dennis M. (1983). "Deforming metrics in the direction of their Ricci tensors" . J. Differential Geom . 18 (1): 157–162 . doi : 10.4310/jdg/1214509286 . ↑ Eells, James Jr.; Sampson, JH (1964). "リーマン多様体の調和写像". Amer. J. Math . 86 (1): 109–160 . doi : 10.2307/2373037 . JSTOR 2373037 . ↑ Gromov, M. ; Thurston, W. (1987). "双曲多様体のピンチ定数". Invent. Math . 89 (1): 1– 12. Bibcode : 1987InMat..89....1G . doi : 10.1007/BF01404671 . S2CID 119850633 . ↑ Li, Peter; Yau, Shing-Tung (1986). "On the parabolic kernel of the Schrödinger operator" . Acta Math . 156 ( 3–4 ): 153–201 . doi : 10.1007/BF02399203 . S2CID 120354778 . ↑ Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds . New York: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 。↑ Shi, W.-X. (1989). "完全リーマン多様体上の計量の変形" . Journal of Differential Geometry . 30 : 223– 301. doi : 10.4310/jdg/1214443292 . ↑ Enders, J.; Mueller, R.; Topping, P. (2011). "On Type I Singularities in Ricci flow". Communications in Analysis and Geometry . 19 (5): 905–922 . arXiv : 1005.1624 . doi : 10.4310/CAG.2011.v19.n5.a4 . S2CID 968534 . ↑ Maximo, D. (2014). "On the blow-up of four-dimensional Ricci flow singularities". J. Reine Angew. Math . 2014 (692): 153–171 . arXiv : 1204.5967 . doi : 10.1515/crelle-2012-0080 . S2CID 17651053 . ↑ Bamler, R.; Cifarelli, C.; Conlon, R.; Deruelle, A. (2022). "新しい完全な2次元収縮勾配ケーラー・リッチソリトン". arXiv : 2206.10785 [ math.DG ]. ↑ Shen, Ying (1996-03-01). "境界を持つ多様体上のリーマン計量のリッチ変形について" . Pacific Journal of Mathematics . 173 (1): 203– 221. doi : 10.2140/pjm.1996.173.203 . ISSN 0030-8730 . ↑ Brendle, S. (2002-11-01). "境界を持つ曲面上の曲率の流れ" . Mathematische Annalen . 324 (3): 491– 519. doi : 10.1007/s00208-002-0350-4 . ISSN 1432-1807 . ↑ Brendle, S. (2002-12-01). "境界を持つ曲面上の曲率流れの族" . Mathematische Zeitschrift . 241 (4): 829– 869. doi : 10.1007/s00209-002-0439-1 . ISSN 1432-1823 . ↑ Cortissoz, Jean C. (2009-02-01). "正の曲率と凸弱臍境界の3次元多様体" . Geometriae Dedicata . 138 (1): 83– 98. doi : 10.1007/s10711-008-9300-y . ISSN 1572-9168 . ↑ Cortissoz, Jean C.; Murcia, Alexander (2019-08-23). "境界を持つ曲面上のリッチフロー" . Communications in Analysis and Geometry . 27 (2): 377– 420. arXiv : 1209.2386 . doi : 10.4310/CAG.2019.v27.n2.a5 . ISSN 1944-9992 . ↑ Cortissoz, Jean C.; Reyes, César (2023). "非線形ロビン境界条件を持つ一次元対数拡散方程式の古典的解" . Mathematische Nachrichten . 296 (9): 4086– 4107. doi : 10.1002/mana.202100415 . ISSN 1522-2616 . ↑ プレモトフ、アルチョム (2013-10-01)。 「準線形放物線方程式と境界を持つ多様体上のリッチ流」 。 Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 。 2013 (683): 97–118 . arXiv : 1012.2941 。 土井 ： 10.1515/crelle-2012-0004 。 ISSN 1435-5345 。 ↑ Gianniotis, Panagiotis (2016). "境界を持つ多様体上のリッチフロー". Journal of Differential Geometry . 104 (2): 291– 324. arXiv : 1210.0813 . doi : 10.4310/jdg/1476367059 . MR 3557306 . ↑ Li, Gang (2025-03-14), A normalized Ricci flow on surfaces with boundary towards the complete hyperbolic metric , arXiv : 2502.00660 ↑ チョウ、ツズ・キウ・アーロン (2022-02-01)。 「任意の初期計量を持つ境界を持つ多様体上のリッチの流れ」 。 Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 。 2022 (783): 159–216 . arXiv : 2012.04430 。 土井 ： 10.1515/crelle-2021-0060 。 ISSN 1435-5345 。
参考文献 数学を専門とする一般読者向けの記事。
Anderson, Michael T. (2004). "Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow" (PDF) . Notices Amer. Math. Soc . 51 (2): 184– 193. MR 2026939 . ミルナー、ジョン （2003）。「ポアンカレ予想と3次元多様体の分類に向けて」（PDF） 。アメリカ数学会報 50 （ 10 ）：1226–1233。MR 2009455 。 Morgan, John W. (2005). 「ポアンカレ予想と3次元多様体の分類に関する最近の進展」 . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 42 (1): 57– 78. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01045-6 . MR 2115067 . Tao, T. ( 2008). 「リッチフロー」(PDF) . Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June ; Leader, Imre (編) 『プリンストン数学事典』所収 279–281。ISBN 978-0-691-11880-2 。研究論文。
Böhm, Christoph; Wilking, Burkhard (2008). "正曲率作用素を持つ多様体は空間形式である". Ann. of Math. (2) . 167 (3): 1079– 1097. arXiv : math/0606187 . doi : 10.4007/annals.2008.167.1079 . JSTOR 40345372 . MR 2415394 . S2CID 15521923 . Brendle, Simon (2008). "高次元におけるリッチフローの一般的な収束結果" . Duke Math. J. 145 ( 3): 585–601 . arXiv : 0706.1218 . doi : 10.1215 / 00127094-2008-059 . MR 2462114. S2CID 438716. Zbl 1161.53052 . Brendle, Simon ; Schoen, Richard (2009). "1/4 ピンチ曲率を持つ多様体は空間形式である". J. Amer. Math. Soc . 22 (1): 287– 307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00613-9 . JSTOR 40587231 . MR 2449060 . S2CID 2901565 . Cao, Huai-Dong ; Xi-Ping Zhu (2006 年 6 月). 「ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明 ― ハミルトン・ペレルマンのリッチフロー理論の応用」(PDF) . Asian Journal of Mathematics . 10 (2). MR 2488948 . 改訂版: Huai-Dong Cao; Xi-Ping Zhu (2006). "Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture". arXiv : math.DG/0612069 . Chow, Bennett (1991). "2-球面上のリッチフロー" . J. Differential Geom . 33 (2): 325– 334. doi : 10.4310/jdg/1214446319 . MR 1094458 . Zbl 0734.53033 . Colding, Tobias H. ; Minicozzi, William P. II (2005). "特定の 3 次元多様体上の Ricci フローの消滅時間の推定と Perelman の問題" (PDF) . J. Amer. Math. Soc . 18 (3): 561– 569. arXiv : math/0308090 . doi : 10.1090/S0894-0347-05-00486-8 . JSTOR 20161247 . MR 2138137 . S2CID 2810043 . ハミルトン、リチャード S. (1982). 「正のリッチ曲率を持つ3次元多様体」 . Journal of Differential Geometry . 17 (2): 255–306 . doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR 0664497 . Zbl 0504.53034 . ハミルトン、リチャード S. (1986). 「正曲率作用素を持つ 4 次元多様体」 . J. Differential Geom . 24 (2): 153–179 . doi : 10.4310/jdg/1214440433 . MR 0862046. Zbl 0628.53042 . ハミルトン、リチャード S. (1988). 「曲面上のリッチフロー」。数学と一般相対性理論 (サンタクルーズ、カリフォルニア州、1986 年) 。現代数学 第 71 巻。アメリカ 数学会、プロビデンス、ロードアイランド州。pp. 237–262。doi : 10.1090 / conm/071/954419。MR 0954419 。 ハミルトン、リチャード S. ( 1993a). 「リッチフローに対するハーナック推定」 . J. Differential Geom . 37 (1): 225–243 . doi : 10.4310/jdg/1214453430 . MR 1198607. Zbl 0804.53023 . ハミルトン、リチャード S. (1993b). 「リッチフローの永遠解」 . J. Differential Geom . 38 (1): 1– 11. doi : 10.4310/jdg/1214454093 . MR 1231700 . Zbl 0792.53041 . ハミルトン、リチャード S. (1995a). 「リッチフローの解のコンパクト性特性」.アメリカ数学ジャーナル 117 ( 3): 545–572 . doi : 10.2307/2375080 . JSTOR 2375080 . MR 1333936 . ハミルトン、リチャード S. (1995b). 「リッチフローにおける特異点の形成」.微分幾何学概論、第 II 巻 (ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993 年) . Int. Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州。pp. 7–136 . doi : 10.4310/SDG.1993.v2.n1.a2 . MR 1375255 . ハミルトン、リチャード S. (1997). 「正の等方性曲率を持つ4次元多様体」 . Comm. Anal. Geom . 5 (1): 1–92 . doi : 10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1 . MR 1456308 . Zbl 0892.53018 . ハミルトン、リチャード S. (1999). 「3 次元多様体上のリッチ フローの非特異解」 . Comm. Anal. Geom . 7 (4): 695–729 . doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n4.a2 . MR 1714939 . Bruce Kleiner ; John Lott (2008). "Perelman の論文に関する注釈". Geometry & Topology . 12 (5): 2587– 2855. arXiv : math.DG/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR 2460872 . S2CID 119133773 . Perelman, Grisha (2002). 「リッチフローのエントロピー公式とその幾何学的応用」. arXiv : math/0211159 .Perelman, Grisha (2003a). "3次元多様体上の手術を伴うリッチフロー". arXiv : math/0303109 .Perelman, Grisha (2003b). 「特定の3次元多様体上のリッチフローの解に対する有限消滅時間」. arXiv : math/0307245 .
教科書 Andrews, Ben; Hopper, Christopher (2011).リーマン幾何学におけるリッチフロー：微分可能な1/4ピンチング球定理の完全な証明 . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2011. ハイデルベルク：Springer. doi : 10.1007/978-3-642-16286-2 . ISBN 978-3-642-16285-5 。 ブレンドル、サイモン（2010）。リッチフローと 球面定理 。大学院数学研究。第 111巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。doi ： 10.1090 /gsm/ 111。ISBN 978-0-8218-4938-5 。 Cao, HD; Chow, B.; Chu, SC; Yau, ST 編 (2003).リッチフローに関する論文集 . 幾何学とトポロジーシリーズ. 第 37巻. マサチューセッツ州サマービル: インターナショナルプレス. ISBN 1-57146-110-8 。 Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2007).リッチフロー：技法と応用。パートI. 幾何学的側面 。Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 135. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/surv/135 . ISBN 978-0-8218-3946-1 。 Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2008).リッチフロー：技法と応用。第II部 解析的側面。Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 144. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/surv/144 . ISBN 978-0-8218-4429-8 。 Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2010).リッチフロー：技法と応用。第III部 幾何解析的側面 。Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 163. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/surv/163 . ISBN 978-0-8218-4661-2 。 Chow, Bennett; Chu, Sun-Chin; Glickenstein, David; Guenther, Christine; Isenberg, James; Ivey, Tom; Knopf, Dan; Lu, Peng; Luo, Feng; Ni, Lei (2015).リッチフロー：テクニックと応用。第 IV 部 長時間解と関連トピック 。Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 206. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/surv/206 . ISBN 978-0-8218-4991-0 。 Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004).リッチフロー入門 . 数学概論およびモノグラフ. 第 110巻. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. doi : 10.1090/surv/110 . ISBN 0-8218-3515-7 。 Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006).ハミルトンのリッチフロー . 大学院数学研究. 第 77巻. 北京、ニューヨーク: アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州; サイエンスプレス. doi : 10.1090/gsm/077 . ISBN 978-0-8218-4231-7 。 Morgan, John W.; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds . University Lecture Series. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/053 . ISBN 978-0-8218-4963-7 。 モーガン、ジョン； ティアン、ガン（2007）。リッチフローとポアンカレ予想 。クレイ数学モノグラフ。第 3巻。ロードアイランド州プロビデンスおよびマサチューセッツ州ケンブリッジ：アメリカ数学会およびクレイ数学研究所。ISBN 978-0-8218-4328-4 。ミュラー、レト（2006）。微分ハーナック不等式とリッチフロー 。EMS数学講義シリーズ、第5巻。チューリッヒ ：欧州数学会（EMS）。doi ： 10.4171 / 030。hdl：2318 /1701023。ISBN 978-3-03719-030-2 。 トッピング、ピーター（2006）。リッチ フローに関する講義 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第325巻。ケンブリッジ ：ケンブリッジ大学出版局。doi ：10.1017/ CBO9780511721465。ISBN 0-521-68947-3 。 Zhang, Qi S. (2011). Sobolev Inequalities, Heat Kernels under Ricci Flow, and the Poincaré Conjecture . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-3459-6 。 
![{\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2318ea903c118cb493d5dce6064121fba99a548e)
![{\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a9641a283f7a3cc054d54a858f11879d66413e)
![{\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21834ef125f4f1bebd466be063833445a5508d51)
![{\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c717737bc735286aaeac52de1c31ef4935ab1a17)
![{\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee94f98755cbf809ccfbf9c87b06633e770e82a9)
