シラッシ多面体

シラッシ多面体の 14 個の頂点と 21 個の辺は、ヒーウッド グラフをトーラスの表面に埋め込む形を形成します。 ^{[ 1 ]} この多面体の各面は、他のすべての面と辺を共有しています。そのため、隣接するすべての面を彩色するには 7 色が必要です。この例は、位相的にトーラスと同等の表面では、いくつかの分割に 7 色が必要であり、 7 色定理の下限を与えることを示しています。定理のもう半分は、すべてのトーラス分割は 7 色以下の色で彩色できると述べています。

シラッシ多面体は180度の対称軸を持つ。この対称性によって3組の合同な面が入れ替わり、多面体と同じ回転対称性を持つ1つの非対称な六角形が残る。

正四面体とシラッシ多面体は、各面が他のすべての面と辺を共有することが知られている唯一の2つの多面体である。^{[ 2 ]}

多面体${\displaystyle f}$面は表面に埋め込まれており、${\displaystyle h}$各面が他の面と辺を共有するような穴を開けると、オイラー標数の操作によって次のことが導かれる。 $${\displaystyle h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}.}$$ この方程式は、以下の四面体に対して満たされる。${\displaystyle h=0}$そして${\displaystyle f=4}$、そしてシラッシ多面体の場合${\displaystyle h=1}$そして${\displaystyle f=7}$[ ^{3 ] [ 4 ]​}

次に考えられる解決策は、${\displaystyle h=6}$そして${\displaystyle f=12}$これは、44個の頂点と66個の辺を持つ多面体に対応する。しかし、このような多面体が（抽象的な多面体としてではなく）自己交差なしに幾何学的に実現できるかどうかは不明である。より一般的には、この式は、まさに次の場合に満たされる。${\displaystyle f}$は 12 を法として 0、3、4、または 7 と合同である。^{[ 3 ] [ 4 ]}