トムソン問題

トムソン問題の目的は、クーロンの法則で与えられる力で互いに反発し合う単位球の表面に拘束されたN個の電子の最小静電ポテンシャルエネルギー配置を決定することである。物理学者のJJトムソンは、中性原子内に負に帯電した電子が存在するという知識に基づいて、後にプラムプディングモデルと呼ばれる原子モデルを提案した後、 1904年にこの問題を提起した^{[ 1 ] 。}

関連する問題としては、最小エネルギー配置の幾何学的構造の研究や、最小エネルギーのNが大きい場合の挙動の研究などが挙げられる。

等しい電荷を持つ各電子対の間で発生する静電相互作用エネルギー（${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$、 と${\displaystyle e}$電子の基本電荷はクーロンの法則によって与えられます。

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

どこ$\displaystyle \epsilon _{0}}$は電気定数であり、${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$は、ベクトルで定義される球面上の点に位置する各電子対間の距離です。$\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$、 それぞれ。

簡略化された単位${\displaystyle e=1}$そして${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$（クーロン定数）は一般性を失うことなく使用される。次に、

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

各N電子配置の全静電ポテンシャルエネルギーは、すべてのペアワイズ相互作用エネルギーの合計として表すことができる。

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

世界的な最小化${\displaystyle U(N)}$N個の異なる点の考えられるすべての配置について、通常は数値最小化アルゴリズムによって求められます。

トムソンの問題は、数学者スティーブ・スメールが提唱した18の未解決数学問題のうち7番目の問題「2次元球面上の点の分布」に関連している。^{[ 2 ]} 主な違いは、スメールの問題では最小化すべき関数が静電ポテンシャルではないという点である。$\displaystyle 1 \over r_{ij}}$しかし、対数ポテンシャルは次のように与えられる${\displaystyle -\log r_{ij}.}$2つ目の違いは、スメールの質問は、点の数Nが無限大に近づくときの全ポテンシャルの漸近的な振る舞いに関するものであり、Nの具体的な値に関するものではないということです。

数学的に厳密な最小エネルギー配置が厳密に特定されたのは、ごく少数の事例に限られている。

• N  = 1の場合 、解は自明である。単一の電子は単位球の表面上の任意の点に存在し得る。電子の電荷は他の電荷源による電場を受けないため、この配置の全エネルギーはゼロと定義される。

• N  = 2の場合 、最適な配置は対蹠点にある電子で構成される。

• N  = 3の場合、電子は任意の大円の 周りの正三角形の頂点に位置します。^{[ 3 ]}大円はしばしば球の周りの赤道を定義すると考えられ、平面に垂直な 2 つの点は、 N個の電子解の静電配置についての議論を助けるために極とみなされることがよくあります。

• N  = 4の場合、電子は正四面体 の頂点に存在する。

• N  = 5の場合、電子は三角両錐 の頂点に位置する。^{[ 4 ]}

• N  = 6の場合、電子は正八面体 の頂点に存在します。^{[ 5 ]}この配置は、赤道を中心とした正方形の角に 4 つの電子が存在し、残りの 2 つの電子が極に存在すると記述することもできます。

• N  = 12の場合、電子は正二十面体 の頂点に存在する。^{[ 6 ]}

N  =  4、6、12 個の電子に対するトムソン問題の解は、すべての面が合同な正三角形であるプラトン立体である。N  = 8 および 20 の数値解は、残りの 2 つのプラトン立体 (それぞれ立方体と正十二面体) の正凸多面体構成ではない。 ^{[ 7 ]}

任意のポテンシャルと相互作用する粒子の基底状態を求めることもできる。数学的に厳密にするために、f を減少する実数値関数とし、エネルギー汎関数を定義する。

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

伝統的に、${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$リースとしても知られる${\displaystyle \alpha }$-カーネル。可積分なリースカーネルについては、1972 年の Landkof の研究を参照してください。^{[ 8 ]}非可積分なリースカーネルについては、ポピーシードベーグル定理が成り立ちます。2004 年の Hardin と Saff の研究を参照してください。^{[ 9 ]}注目すべきケースには次のものがあります。^{[ 10 ]}

• α  =  ∞、タムズ問題（パッキング問題）
• α  =  1、トムソン問題。
• α  =  0 は距離の積を最大化する問題で、後にホワイト問題として知られるようになった。
• α  =  −1  : 最大平均距離の問題。

より高次元の球面上のN個の点の配置も検討できる。球面デザインを参照のこと。

この問題にはいくつかのアルゴリズムが適用されてきました。2000年以降は、エネルギー関数に適用される局所最適化手法に焦点が当てられてきましたが、ランダムウォークも登場しています。^{[ 10 ]}

• 制約付きグローバル最適化（Altschuler et al. 1994）、
• 最も急な下り坂（Claxton and Benson 1966、Erber and Hockney 1991）、
• ランダムウォーク（Weinrach et al. 1990）、
• 遺伝的アルゴリズム（Morris et al. 1996）

目的は各N電子ケースにおけるグローバルな静電ポテンシャルエネルギーを最小化することだが、いくつかのアルゴリズム的な初期ケースが興味深い。

連続球殻爆薬

表面に電荷が分布した連続球殻のエネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

そして、一般的には、すべてのトムソン問題の解のエネルギーよりも大きい。注：ここで、Nは球殻全体に分布する無限に分割可能な電荷Qを表す連続変数として使用されます。たとえば、${\displaystyle N=1}$単一電子の電荷の均一な分布を表し、${\displaystyle -e}$殻全体にわたって。

トムソン問題は、JJトムソンのプラムプディングモデルにおいて、均一な正の背景電荷がない場合に自然に生じる結果である。^{[ 12 ]}

実験的証拠によりトムソンのプラムプディングモデルは完全な原子モデルとして放棄されたが、トムソン問題の数値エネルギー解で観測された不規則性は、元素の周期表全体にわたる自然界の原子の電子殻充填に対応することがわかった。^{[ 14 ]}

トムソン問題は、多電子バブルやポールトラップに閉じ込められた液体金属液滴の表面秩序など、他の物理モデルの研究においても重要な役割を果たしている。

一般化されたトムソン問題は、例えば、球状ウイルスの殻を構成するタンパク質サブユニットの配置を決定する際に生じる。この応用における「粒子」は、殻上に配置されたタンパク質サブユニットのクラスターである。その他の実現例としては、医薬品、栄養素、生細胞などの活性成分をカプセル化するために提案されているコロイドソーム内のコロイド粒子の規則的な配置、炭素原子のフラーレンパターン、およびVSEPR理論などが挙げられる。長距離対数相互作用の例としては、中心に大きなモノポールを持つ超伝導金属殻内で低温で形成されるアブリコソフ渦が挙げられる。

次の表では${\displaystyle N}$は構成内の点（電荷）の数です。${\displaystyle U_{\textrm {トム}}}$はエネルギーであり、対称性の種類はシェーンフリース記法で表され（3次元の点群を参照）、$\displaystyle r_{i}}$は電荷の位置です。ほとんどの対称性タイプでは、位置のベクトル和（したがって電気双極子モーメント）がゼロである必要があります。

点の凸包によって形成される多面体も考慮するのが一般的である。したがって、${\displaystyle v_{i}}$は、与えられた数の辺が交わる頂点の数です。${\displaystyle e}$はエッジの総数です。${\displaystyle f_{3}}$は三角形の面の数です。${\displaystyle f_{4}}$は四角形の面の数であり、${\displaystyle \theta _{1}}$は、最も近い電荷ペアに関連付けられたベクトルによって張られる最小の角度です。辺の長さは一般に等しくありません。したがって、N  =  2、3、4、6、12 の場合と測地線多面体を除いて、凸包は最後の列にリストされている図と位相的にのみ等価です。 ^{[ 15 ]}

ある推測によれば、もし${\displaystyle P}$は、トムソン問題の解構成の凸包によって形成される多面体である。${\displaystyle m}$電子と${\displaystyle q}$は四角形の面の数です${\displaystyle P}$、 それから${\displaystyle P}$もっている${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$エッジ。^{[ 16 ]}

• 分子構造
• タムズ問題– 球面上の点の配置において、点間の最小距離を最大化する問題

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• このウェブページには、既知の最低エネルギーを持つ電子配置がさらに多数掲載されています: https://www.hars.us。