複素多様体

微分幾何学および複素幾何学において、複素多様体または複素解析多様体とは、複素構造を持つ多様体であり、複素座標空間における開単位球^{[ 1 ]}へのチャートの集合である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$遷移写像が正則となるように。

「複素多様体」という用語は、上記のような意味での複素多様体（積分可能な複素多様体として指定できる）またはほぼ複素多様体を意味するために様々に使用されます。

正則関数は滑らかな関数よりもはるかに厳密であるため、滑らかな多様体と複素多様体の理論は大きく異なる様相を呈する。コンパクトな複素多様体は、微分可能な多様体よりも代数多様体に近い。特に、複素多様体と複素解析多様体は同一であるが、滑らかな多様体と実解析多様体は同一ではない。

例えば、ホイットニーの埋め込み定理によれば、すべての滑らかなn次元多様体はR ^{2 n}の滑らかな部分多様体として埋め込むことができますが、複素多様体がC ⁿに正則埋め込みを持つことは「まれ」です。例えば、任意のコンパクト連結複素多様体Mを考えてみましょう。最大絶対値原理により、その上の任意の正則関数は定数です。ここで、 MがC ⁿに正則埋め込みを持つとすると、 C ⁿの座標関数はM上の非定数正則関数に制限され、 Mが単なる点である場合を除いてコンパクト性に矛盾します。C nに埋め込むことができる複素多様体はスタイン多様体^と呼ばれ、例えば滑らかな複素アフィン代数多様体などを含む非常に特殊なクラスの多様体を形成します。

複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりもはるかに複雑です。例えば、4次元以外の次元では、与えられた位相多様体はせいぜい有限個の滑らかな構造しか持ちませんが、複素構造を持つ位相多様体は、しばしば数えきれないほどの複素構造を持つことができます。複素構造を備えた2次元多様体であるリーマン面は、種数によって位相的に分類され、この現象の重要な例です。与えられた向き付け可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値性を除いて、それ自体がモジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成し、その構造は活発な研究分野となっています。

チャート間の遷移写像は双正則であるため、複素多様体は特に滑らかで正準的に向き付けられています（単に向き付けられるだけでなく：双正則写像は向きを保存するため、（ C ⁿの部分集合への）双正則写像は向きを与えます）。

• リーマン面。
• カラビ・ヤウ多様体。
• 2つの複素多様体のデカルト積。
• 正則写像の非臨界値の逆像。

以下の空間は複素多様体として異なり、複素多様体の幾何学的性質がより厳密であることを示している（滑らかな多様体と比較して）。

• 複合空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$。
• ユニットディスクまたはオープンボール

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• ポリディスク

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

実数 2n 多様体上のほぼ複素構造は GL(n, C) 構造 (G 構造の意味で) であり、接束は線形複素構造を備えている。

具体的には、これは接束の自己準同型写像であり、その2乗は − Iである。この自己準同型写像は虚数iによる乗算に類似しており、単位行列Iとの混同を避けるためJと表記される。ほぼ複素多様体は必然的に偶数次元である。

ほぼ複素構造は複素構造よりも弱い。任意の複素多様体はほぼ複素構造を持つが、すべてのほぼ複素構造が複素構造から生じるわけではない。偶数次元の実多様体はすべて、局所座標系から局所的に定義されたほぼ複素構造を持つ。問題は、このほぼ複素構造を大域的に定義できるかどうかである。複素構造から生じるほぼ複素構造は可積分と呼ばれ、ほぼ複素構造ではなく複素構造を指定したい場合は、可積分複素構造と言う。可積分複素構造の場合、いわゆるナイエンハイステンソルはゼロになる。このテンソルは、ベクトル場のペアX、Y上で次のように定義される。

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

例えば、6 次元球面S ^{6 は、}八元数の単位球面におけるiの直交補空間であるという事実から生じる自然なほぼ複素構造を持ちますが、これは複素構造ではありません。（複素構造を持つかどうかという問題は、ハインツ・ホップにちなんでホップ問題として知られています。^{[ 3 ]}）ほぼ複素構造を用いることで、正則写像の意味を理解し、多様体上の正則座標の存在について問うことができます。正則座標の存在は、多様体が複素であると言うことと同等です（これはチャートの定義が述べていることです）。

接束を複素数でテンソル化すると、複素化された接束が得られ、複素数による乗算が意味を持つようになります（実多様体から始めた場合でも）。ほぼ複素構造の固有値は ± iであり、固有空間はT ^0,1 MおよびT ^1,0 Mで表される部分束を形成します。ニューランダー・ニレンバーグの定理は、これらの部分束が対合的、つまりベクトル場のリー括弧の下で閉じている場合に限り、ほぼ複素構造が実際に複素構造になることを示しており、このようなほぼ複素構造は積分可能と呼ばれます。

複素多様体に対して、リーマン計量の類似物であるエルミート計量を定義することができる。リーマン計量と同様に、エルミート計量は接束上の滑らかに変化する正定値内積からなり、各点において接空間上の複素構造に関してエルミートである。リーマンの場合と同様に、このような計量は任意の複素多様体上に常に豊富に存在する。つまり、エルミート構造は剛体ではない。

エルミート形式は、実部と複素部に分解できます。${\displaystyle h(X,Y)=g(X,Y)+i\omega (X,Y)}$実部はリーマン計量であり、複素部は歪対称です。歪対称部分がシンプレクティック、つまり閉じていて非退化である場合、その計量はケーラー計量と呼ばれます。ケーラー構造はまれであり、はるかに剛性が高いです。

ケーラー多様体の例としては、滑らかな射影多様体や、より一般的にはケーラー多様体の任意の複素部分多様体が挙げられます。ホップ多様体は、ケーラー多様体ではない複素多様体の例です。ホップ多様体を構成するには、原点を除いた複素ベクトル空間を取り、この空間に整数群を exp( n ) で乗算して作用させます。商空間は、最初のベッティ数が1 である複素多様体であるため、ホッジ理論により、ケーラー多様体にはなり得ません。

カラビ・ヤウ多様体は、コンパクトなリッチ平坦ケーラー多様体、あるいはそれと同等に、第一チャーン類がゼロとなる多様体として定義できる。

• 複雑な次元
• 複雑な解析的多様性
• 四元数多様体
• 実複素多様体

• 小平邦彦（2004年11月17日）「複素多様体と複素構造の変形」『数学古典シリーズ』シュプリンガー。ISBN 3-540-22614-1。