超完全数

数論では、超完全数とは、次の式を満たす 正の整数 nである。

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

ここでσは約数和関数である。超完全数は完全数の一般化ではないが、共通の一般化を持っている。この用語はD. Suryanarayana (1969)によって造られた。^[1]

最初のいくつかの超完全数は次のとおりです。

2、4、16、64、4096、65536、262144、1073741824、...（OEISの配列A019279 ）。​​​​​​

例を挙げると、 σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31、σ(31) = 1 + 31 = 32なので、16 は超完全数であることがわかります。したがって、 σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16 です。

nが偶数の超完全数である場合、nは2のべき乗、つまり2 ^kでなければならず、2 ^{k +1} − 1はメルセンヌ素数となる。^{[1] [2]}

奇数の超完全数が存在するかどうかは不明である。奇数の超完全数nは、 nまたはσ ( n )のいずれかが少なくとも3つの異なる素数で割り切れる平方数でなければならない。 ^{[2] 7} × 10未満の奇数の超完全数は存在しない。²⁴ . ^[1]

完全数と超完全数は、 m超完全数のより広いクラスの例であり、

${\displaystyle \sigma^{m}(n)=2n,}$

それぞれm = 1と2に対応する。m ≥ 3の場合、 m超完全数は存在しない。^[1]

m-超完全数は、 ( m , k )-完全数の例であり、 ^[3]

${\displaystyle \sigma^{m}(n)=kn\,.}$

この表記法では、完全数は(1,2)-完全、多重完全数は(1, k )-完全、超完全数は(2,2)-完全、m超完全数は( m ,2)-完全となる。^{[4] (} m , k )-完全数 のクラスの例は以下の通りである。